1955年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析 一、解答题（共8小题，共100分）1．以二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：计算题分析：由韦达定理可知已知方程两根的关系，再利用平方转换即可．解答：解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=﹣1，又，α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=11，α2β2=1，故所求的二次方程为x2﹣11x+1=0．点评：本题考查了学生对韦达定理的利用，和两根之间平方的转换．2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．考点：余弦定理分析：根据题意可得到AB=AC=4BC，再由余弦定理可求出各角的余弦值．解答：解：设AB=AC=4BC，而AD为底边上的高，于是=点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征分析：设S﹣ABCD为正四棱锥，SO为它的高，从而∠SAO为侧棱与底面的交角，在等腰直角三角形△SOA中即可求出棱锥的高．解答：解：设S﹣ABCD为正四棱锥，SO为它的高，底边长为a，∠SAO=450∵AO=∴由△SOA为等腰直角三角形，故棱锥S﹣ABCD的高SO=点评：本小题主要考查直线与平面所成的角，以及棱锥的结构特征等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．4．写出二面角的平面角的定义．考点：与二面角有关的立体几何综合题。
专题：阅读型分析：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角就是为了衡量两个相交平面的相对位置的，为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．解答：解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．点评：二面角的平面角作图关键：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内；三是平面角的两边都与二面角的棱垂直．5．多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件：（1）被x﹣1整除；（2）被x﹣3除时余2；（3）被x+2除时与被x﹣2除时的余数相等，求b，c，d的值．考点：带余除法专题：计算题分析：由（1）多项式x3+bx2+cx+d能被x﹣1整除，故f（1）=0，由（2）多项式x3+bx2+cx+d被x﹣3除时余2，故f（3）=2，由（3）多项式x3+bx2+cx+d被x+2除时与被x﹣2除时的余数相等，则f（2）=f（﹣2）由此可以构造一个关于b，c，d的方程组，解方程组即可得到答案．解答：解：根据余数定理及题设条件可得f（1）=1+b+c+d=0①f（3）=27+9b+3c+d=2②f（2）=f（﹣2）=﹣8+4b﹣2c+d=8+4b+2c+d③化简③式可得c=﹣4将其分别代入①②可得b+d=39b+d=﹣13解得b=﹣2，d=5．综上，b=﹣2，c=﹣4，d=5．点评：本题考查的知识点是带余除法，其中利用已知条件构造一个关于b，c，d的方程组，是解答本题的关键．6．由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G，求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质。
专题：证明题分析：要证明EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项，即证EG2=EA•EB=ED•EF，分析积等式中的线段所在的位置，发现EG为直角△AGB的斜边AB上的高，由射影定理，我们易得，EG2=EA•EB，再根据直角△AEF∽直角△DEB，根据相似三角形的性质，我们可以得到对应边成比例，然后利用等量代换的思想，即可得到结论．解答：证明：连接GA、GB，则△AGB也是一个直角三角形，因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，所以，EG为EA和EB的比例中项，即EG2=EA•EB∵∠AFE=∠ABC，∴直角△AEF∽直角△DEB，即EA•EB=ED•EF．又∵EG2=EA•EB，∴EG2=ED•EF（等量代换），故EG也是ED和EF的比例中项．点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．7．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义。
专题：计算题分析：本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．解答：解：cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）=0，（cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）=0．如果cosx+sinx=0则得1+tgx=0，tgx=﹣1，∴如果cosx+sinx﹣1=0则得cosx﹣sinx=1，∴，∴点评：本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．考点：等差数列的性质；数列的应用专题：应用题分析：根据等差数列的性质可设出三边长x﹣d，x，x+d，因为其周长为12尺，故可求出x，再利用海伦公式列出方程，求出d，根据勾股定理的逆定理进行证明．解答：证明：可设其长分别为x﹣d，x，x+d，因为三角形的周长为12尺，∴（x﹣d）+x+（x+d）=12，∴x=4（尺）于是该三角形的三边又可表示为4﹣d，4，4+d．由该三角形的面积为6，三边长为4﹣d，4，4+d，代入求面积的计算公式，得36=12（2+d）（2﹣d），d2=1，d=1．由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形．点评：本题是数列的实际应用题，通过数量关系的分析把生活语言借助符号转化为数列语言，从而将实际问题转化为数列问题．。