2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在第磔纸指定位置上.)(1)已知当Xfo时，/(x)=3SinX—sin3犬与以“是等价无穷小，则()（八）Z=l,c=4. (B)k=∖yc=~^. (C)Z=3,C=4. (D)k=3,c=-4.jcf(x)-2f(x,∖(2)已知在X=O处可导，且〃O)=0,则1盘一~~口」=( )(Λ)-2/(0). (B)-/(O). (C)/(O). (D)0.(3)函数/(幻=Inl(XT)(X-2)(x-3)∣的驻点个数为()（八）0. (B)1. (C)2. (D)3.(4)微分方程/-22y= +e-λx{λ>0)的特解形式为()（八）a[eλx+e~λx). (B)ax(eλx+e~λx).(C)x(aeλx+be~λx). (D)x1(aeλx+he~λx).(5)设函数/(x),g(x)均有二阶连续导数，满意/(0)>0,g(0)<0,且/(0)=g'(0)=0,则函数Z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得微小值的一个充分条件是()（八）/〃(0)<0,g〃(0)>0. (B)/70)<0,g〃(0)<0.(C)Γ(0)>0,^(0)>0. (D)/〃(0)>0,g〃(0)v0.£££⑹设/=JjInsinxdt,7=∣JIncotxtZx,K=Jjlncosxdv,则/,/,K的大小关系是()（八）I
b[010；（八）PiP2.(B)Pl-yP2.(C)P2P1. (D)P1P^(8)设4=(囚,%，/，％)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1,0,LO)7■是方程组AX=O的一个基础解系，则A-=O的基础解系可为()（八）al,a3. (B)ava2. (C)apa2,a3. (D)a2,a3,a4.二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)1 +2r-(9)lim( Y=XfO2(10)微分方程y'+y=e-'cos%满意条件MO)=0的解为(11)曲线y=[tandf(0≤x≤^)的弧长S=(12)λe~λx,x>090,x≤0,2>0,则 J , xf{x}dx =(13)设平面区域由直线y=x,圆金+产=2)，及y轴围成，则二重积分j∣.i)√σ=.D(14)-S/(x1,x2,x3)= +3xJ++2xix2+2xlx3+2x2x3,则/的正惯性指数为.三、解答题(15〜23小题，共94分.请将解答写在答朗纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)Γln(l+rMr已知函数/(%)=包 ，设Iim/(X)=Iim/(X)=O,试求。
的取值范围.Xa X→÷∞ A∙→0*(16)(本题满分11分)x=-t÷r+-,设函数y = y")由参数方程，: ；确定，求y=y(x)的极值和曲线1,3 1y=-t-t+-,3 3y=y(∕)的凹凸区间及拐点.(17)(本题满分9分)设函数Z=∕Uy,yg(x)),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(%)可导且在X=Io2处取得极值g(l)=l,求kk∂x∂y(18)(本题满分10分)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线/:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线/在点(x,y)处切线的倾角，若华=孚,求y(x)的表达式.dxdx(19)(本题满分10分)(I)证明：对随意的正整数〃，都有一L(3^3)与尤2+、2=i(y≤1)连接而成的.(I)求容器的容积；（三）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少须要做多少功？(长度单位：〃，重力加速度为gm/$2,水的密度为10"g/m3).(21)(本题满分11分)已知函数/(x,y)具有二阶连续偏导数,且/(1,y)=0,/(x,l)=0,∫∫∕(x,y)dxdy=Q,D其中0={(x,y)∣0≤x≤l,0≤y≤l},计算二重积分/=口初图1/)公力，.D(22)(本题满分11分)设向量组%=(1,0,1)7,4=(0，1，1尸，％=(1，3,5)7,不能由向量组4=(IJl)T,分2=(1,2,3)7,A=(3,4,α)7"线性表示.(I)求。
的值；(II)将4,夕2,夕3由线性表示.(23)(本题满分11分)r1 f-11、A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,即r（八）=2,且Aoo=O0「1JUL(I)求4的特征值与特征向量;(II)求矩阵A.2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)【答案】(C).r.n,r--E、1，•3sinX-sin3x,.3sinx-sinxcos2x-cosxsin2x［解析］因为Ilm ： =Iim ； aex r→0 CX1.sinx(3-cos2x-2cos2x)3-cos2x-2cos2x=Iim ； =Iim - KTO cχk x→0 CX3-(2cos2x-1)-2∞s2x4-4cos2x1,4sin2x=Iim—— r√ =Iim ———=Iim r-r-x→o cχλ^, XTocxk'iχ→θc√^,1. 4 1=Iim—γ-γ=1.x→θC?一所以c∙=4,Z=3,故答案选(C).(2)【答案】(B).【解析】IimXv(X)-27(巧= IimXTo//(力//(0)2/(炉)+ 27⑼X3=IimΛ→0“x)r(o)/M)T(O)χ 2=Γ(0)-2∕(0)=-Γ(0).故答案选(B).(3)【答案】(C).【解析】/(x)=ln∣x-l∣+ln∣x-2∣+ln∣x-3∣尸(X)=一+——+——x-1x-2x-33x2-12x+11^(x-l)(x-2)(x-3)令/¢0=0,得Λb=W叵，故/3）有两个不同的驻点.（4）【答案】（C）.（解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2-Λ2=0,解得特征根ri=λ,r2=-λ.所以非齐次方程V-λ2y=eλx有特解M=X∙α• ,非齐次方程y〃-λ2y=有特解y2=xb^e'λx,故由微分方程解的结构可知非齐次方程y,,-λ2y=eλx+e-λx可设特解y=x{aeλx+be~λxY(5)【答案】（八）.【解析】由题意有年=r*)g(y),当=f(χ)g'(y)ox oy所以，包=r(0)g(0)=0,当 =∕(0)g,(O)=0,即(0,0)点是可能的极值点.班(0.0) 小他。
)又因为g4=f"(χ)g(y),2~=r(χ)g'(y),哈∙=g"(y)∕(χ),ox ∂x∂y ∂y所以，A=*Igo)=Jr(O)∙g(0),B=⅛U=Γ(0)∙√(0)=0,∂x ox∂yC=ZTho)=f(°)∙g"(°),依据题意由(O,O)为微小值点，可得482=4・〉0,且4=/〃(0)超(0)>0,所以有C=F(O)∙g"(0)>0.由题意F(O)>0,g(0)v0,所以广(O)VO,g"(0)>0,故选（八）.(6)【答案】(B).【解析】因为OVX<工时，Ovsinxvcosxvlvcotx,4又因InX是单调递增的函数，所以InSinjIVlnCoSX即鸟B=E,故B=ET=巴.因此，A=P2P;1,故选(D).(8)【答案】(D).【解析】由于(1,0,LO)7"是方程组AX=O的一个基础解系，所以A(l,0,l,0)7^=0,且r（八）=4-l=3,即4+%=。
且IH=0.由此可得A*A=∣A∣E=即A,(a^a2,a3,a4)=Ot这说明因,%，%,%是A-=O的解.由于r（八）=3,2=6 7(14)【答案】2.【解析】方法1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数.二次型/对应矩阵为A== Λ(Λ-l)(2-4),-2Λ—2故4=0,4=1,4=4.因此/的正惯性指数为2.方法2：）的正惯性指数为标准形中正的平方项个数.= (xi +x2 +x3)^ + 2%2，/(λpλ⅛,∙⅝)=片+3考+W+2x1x2+2x1λ⅛+2x,a¾y∣=xl+x2+x3,y2=x2,则∕=Xz+2y)故/的正惯性指数为2.三、解答题（15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）体题满分10分）[ln(↑+t2)clt ex【解析】假如α≤0时，Iim虫 =Iimx-a∙[ln(l+r2)^=+∞,X→∙M> £ X→+OOJo明显与已知冲突，。