电路 第十四章 网络函数

第十四章 网络函数14．1 基本概念14．1．1 网络函数的定义及性质1. 定义：性非时变的电路中，电路在单一的独立激励下，其零状态响应的象函数 与激励 的象函数 之比定义为该电路的网络函数 ，即trsRtesEsHEsHdef2. 网络函数的形式（1）驱动点函数：与网络在一对端子处的电压和电流有关，又分为驱动点阻抗函数和驱动点导纳函数 ，定义为：sZsYsYIUsZ1“驱动点”指的是若激励在某一端口，则响应也从此端口观察2）转移函数：又称传递函数转移函数的输入和输出在电路的不同端口，它的可能的形式有以下几种：电压转移函数 sUH12电流转移函数 sII12转移阻抗函数 sIHZ12转移导纳函数 sUY123. 网络函数的性质（1）网络函数是一实系数的有理分式，可写成两个 多项式的比值： 011bssbaasDNHnnmmL函数 ， 是系数分别为 和 的 多项时，系数 和 是实数sNk k（2）当输入信号 为单位冲激 时， ，则输出tet1tsEHsR该式说明,电路的单位冲激响应网络函数的原函数，即 sLth114．1．2 网络函数的零极点与冲激响应 的关系1. 网络函数的零极点：若对上式中的 ， 作因式分解，网络函数可写成sNDnmmpsspzzasDHL21式中： ， ，…， 称为网络函数的极点， ， ，…， 称为网络函数的零1p2npzz点。

网络函数的零点和极点可能是实数、虚数或复数网络函数的极点仅取决于电路参数而与输入形式无关，故称为网络变量的自然频率或固有频率2. 零极点与冲激响应的关系零点不影响 的变化形式，仅影响波形的幅度，极点的分布直接影响 的变化形式：th th（1）若网络函数的极点位于 平面的原点，比如 ，则 ，冲激响应ssH1)(t的模式为阶跃函数2）当网络函数的分母中含有一个一阶因子 时（ 为实数） ， 含有下列形sth式的指数分量 tke式中： 是极点处的留数 ，则冲激响应是增长的指数函数； 则冲激响k00应是衰减的指数函数3）当网络函数含有复数极点 时，则 含有下列形式的分量jthekktcos2式中： 是极点处的留数， 表示 的辐角 ，则冲激响应振荡且幅值衰减；kk0则冲激响应振荡且幅值增加， ，则为等幅振荡00冲激响应在 时，实际上是零输入响应而零输入响应表征了网络与电源无关的0t固有特性也就是说，分析网络函数的极点与冲激响应的关系可以预见时域响应中的自由分量（瞬态分量）的特性3. 网络函数的零极点与系统的稳定性之间的关系当冲激响应在时间趋于无限大时衰减到零，称这种电路为稳定的。

如果极点全部位于的左半平面，则电路是稳定的；如果极点位于 的右半平面或在虚轴上且具有二阶以上s s的重极点，则电路是不稳定的；当极点位于 平面的虚轴上，且只有一阶极点，这种情况称为临界稳定系统14．1．3 网络函数与频率响应令网络函数 中复频率 等于 ，即为相应的频率响应函数即sHsjjsH14．1．4 卷积定理线性无源电路对外加任意波形激励的零状态响应，等于激励函数与电路的单位冲激响应的卷积积分，即 tehtr现在激励的象函数为 ，故sEsHEtehL也就是，激励函数与单位冲激响应的卷积的象函数等于激励函数的象函数乘以单位冲激函数的象函数这叫做卷积定理14．2 重点和难点14．2．1 本章重点网络函数是由系统本身的特性决定的，与系统的激励无关，它在系统分析和系统综合中占有很重要的地位学习网络函数重点在于：1. 网络函数的定义及性质；2. 网络函数的求解；3. 网络函数与冲激响应之间的关系；4. 网络函数的零极点；5. 网络函数的零极点分布与时域响应之间的关系；6. 网络函数的零极点分布与频率响应之间的关系；7. 利用网络函数求系统的零状态响应14．2．2 本章难点根据极点和零点的分布判断瞬态响应和频率响应的性状是本章的难点。

14．3 典型例题例 14-1 求图 14-1（a）所示电路的网络函数 )(0sUHi)(14a图iu1uF111u2o )(14b图 )(sUi 1)(sUs11s1 )(2sU)(sO 解 运算电路模型如图 14-1（ b）所示结点电压方程为：)(1)()(2)()(1(00sUssUsssnnin经整理，得：)2.(.)(21)()( 11302 sssnin将（2）式代入（1）式，将 )()(300sUssi网络函数为 12)(0sUsHi例 14-2 如图 14-2 所示电路中，开关闭合前电容无电压，电感无电流求 S 闭合后，电路对应响应 的网络函数i解 这是个平衡电桥电路， 电阻两端电位相等，从电源端看进去的输入阻抗1ssZ21)(所求的网络函数 iF1H1F1H1V1S214图 12)()(sZsUIY例 14-3 求图 14-3（a ）所示电路中的电压比 图中的运算放大器是理想)(0Ki运算放大器  iu1R2C2R1C ou)(314a图  1R 2R)(314b图)(1sI)(sUi )(1sU)(2sI1sC)(2sU)(3sI 21sC)(4sI )(sUo解 运算电路模型如图 14-3（ b）所示，其中20204 01201321212i1 RsU)s()s(I )(C)()(IsU)s(U)s()(IRs）（虚 短 在 两个结点，可得如下关系 ,1U虚 断 ）.().()423sIKCL即)2.(..R)s(U)s(C 1)s(U201 01211i将（2）代入（1）并整理，可得， 1)( 21210 sCRsCsUKi例 14-4 如图 14-4 所示电路中，已知 = ， ， 。

求网络函0F5n数 )(2sHSu1R1iC2i:n1u2u2R41图解 在复频域列结点电压方程 ）（）（）（ ）（）（）（ sIUsCR1sCU)(2221 1s根据理想变压器特性再列补充方程 ）（）（ sn21）（）（ IsI将已知数代入上述方程并整理得： 0)(51.041.)(521sIUss联立解得 ）（）（ ss62所以 2105)(2sUHs例 14-5 若已知电路的转移函数 ，试求：Hss()24（1) 网络的极零点；（2) 绘出极零点分布图；（3) 绘出幅频特性曲线（由极零点分布情况画出幅频特性） 解（1） Hss()24p12163, j电路零点 ，极点 、z013j2j（2） 极零点图如图 14-5（ a）所示  3z1 3p2 jp1 )(514a图OH(j )122 )(514b图设 点由原点沿虚轴上移，在零点附近 为极小， 而极点附近s Hs()达极大，可得幅频特性如图 14-5（b） 。

Hs()例 14-6 已知某线性网络在 作用下，响应相量 与激励相utUtSm()co&OU量 之比为 试求当激励为 时，该网络的零状&SUjOS7271uttS()e()V2态响应 uto()解 网络函数 Hss()271输入的象函数 UsuttsSS()()e()L2响应的象函数 ssssO())()()27112零状态响应Vuttto()ee)(22例 14-7 图 14-6（a）电路中，R=1，C=0.5F， 为激励， 为响应试求：u1tu2（1）网络函数；（2）单位冲激响应；（3）单位阶跃响应；（4）网络函数的幅频特性  RRCC)(1tu )(2tu)(614a图 02 21kj 1M1Nk k)(64b图 01)(jH)//(srad)614c图解 （1）求 sH )(1)(1)(1)(2 sURCssRCUs网络函数=sH21)(12ss（2）对 取拉氏反变换，单位冲激响应为：sHV)(4)(2)( 21 tetsLth（3）当激励为阶跃函数时，有： sU1)(2)(2)(12 s对上式取反变换，有：V)()(2tetu（4）可用两种解法求，方法一：计算法。

令 s=jω，网络函数的模值为幅频特性如图 14-6（c）12)(jjH方法二：图解法首先求网络函数的零极点零点， ；极点， 画出零极21RCZ21RCP点分布图，如图 14-6（b）所示由此画幅频特性 方法是从零极点所在的复平面)(jH的虚轴上取不同的点 连接极点、零点得出线段 由于,..1k,.;,.1kNM，所以无论 为何值，均有 而 在 的情况下，ZPk kNM)(j是一条平行于 ω 轴的直线 如图 14-6（c）所示)(jH例 14-8 如图 14-7 所示电路为一阶低通滤波器，若 的冲激响应utO()V试求：httt()esin()22（1） 之值；LC、（2） 频率为何值时，输出辐度为零频率时的 ？12ui uO1CL7-14图解（1） HsLtt()esin()2212s对图示电路sULCs()()Oi12比较可得 H， F L2C1（2） H(j)j12(j)14时， 0H(j)时， (j)012240rads例 14-9 回答下列各题：(1) 已知一线性电路（零状态）的单位阶跃响应为 21ttBeAtg）（求单位冲激响应 和网络函数 ；thsH(2) 一线性电路，当输入为 时，其响应为 ，又知这时其零状态为 。

te)(R1t )(R2t试问该电路当输入为 时其响应 为多少？k解：（1）单位阶跃响应的导数则为单位冲激响应， )()()()()()(21 212121 tBAteBAtettBeAdtgthtt ttttt   的象函数就是网络函数thsH211)()( sshL（2） 因为线性电路的全响应=零输入响应+ 零状态响应本题给出了输入为 时的全响应 ，又给出了零状态响应为 ，因此，零输te)(R1t )(R2t入响应 ，)(R)(213t按照线性电路的性质：当该电路的激励增加时，其零状态响应将按同样的比例增加即当输入变为 时，其零状态响应 ；本题中改变了电路的激励，而初tke )()(2'2tkt始状态不变，因此这时的零输入响应仍为 ，其全响应 为：)(R3t)(t)(1)(212' tktt例 14-10 电路如图 14-8 所示，已知在相同的初始状态，当 Ｖ时，全响应)t(6usＶ；当 Ｖ，全响应 )(28)(.00tetu)(12tUsVe21)t(t.00 Su ou网 络线 性RC814图求：当 Ｖ，初始状态仍不变时的全响应 。

)(6)(5tetus )(0tu解 （１）计算。