word行星的轨道和位置的数学解法 石磊a，林川b指导教师：乐经良C教授a : 某某交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309885) , ：54740807b : 某某交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309880) , ：54741769c : 某某交通大学理学院数学系摘要：本文主要涉与常微分方程与对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的Runge-Kutte法特别对Runge-Kutte法进展较深入的讨论并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件关键词：微分方程 数值方法 Runge – Kutte法问题的重述17世纪初，在丹麦天文学家观察工作的根底上，Kepler提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；3. 行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数对这三条定律的分析和研究导致Newton发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型设太阳中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t，行星位于 〔4.1〕所表示的点P这里均是t的函数，分别表示的模和辐角于是行星的速度为其加速度为 (4.2〕 而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为，方向由行星位置P指向太阳的中心O，故为，其中为太阳的质量,m是行星的质量，为万有引力常数依Newton第二定律，得到 〔4.3〕 将〔4.2〕代入〔4.3〕，然后比拟实部和虚部，有 (4.4)(4.5)如设时，行星正处于远日点，远日点位于正实轴上，距原点O为,行星的线速度为,那么就有初值条件： (4.6〕(4.7〕(4.8〕(4.9〕方程(4.4) ~ (4.9)就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型将式〔4.4〕乘以r，即得 〔4.10〕其中 这样，有向线段在时间内扫过的面积等于 (4.11)而这正是Kepler第二定律 将式(4.10)改写后代入式(4.5)由此得到行星运动的较为简单形式的数学模型：实验任务1． 在求解方程(4.24)时,试用矩形法、梯形法和Simpson法来计算数值积分，并对所得的结果加以比拟？解答：由于行星的运动满足Kepler第二定律式(4.11),改写该式为如果要求时相应的和，如此意味着首先要解方程其中 (4.24)利用矩形法计算次积分，并带入水星数据，得计算得到数据hnr角速度v754.74679*10^101.20416*10^-63784.76145*10^101.19675*10^-67574.76396*10^101.19549*10^-637904.76649*10^101.19422*10^-675804.76649*10^101.19422*10^-6379054.76675*10^101.19409*10^-6758114.76677*10^101.19408*10^-63790604.76680*10^101.19407*10^-6利用梯形法计算此积分并代入水星数据，得计算得到数据：hnr角速度v754.77162*10^101.19166*10^-63794.77162*10^101.19166*10^-67584.76905*10^101.19294*10^-637904.76700*10^101.19397*10^-675814.76700*10^101.19397*10^-6379064.76685*10^101.19404*10^-6758124.76682*10^101.19405*10^-63790614.76681*10^101.19406*10^-6用Simpson法计算，并代入水星数据计算得到数据：hnr角速度v754.75896*10^101.19801*10^-63794.76905*10^101.19294*10^-67584.76777*10^101.19358*10^-637904.76675*10^101.19409*10^-675814.76688*10^101.19403*10^-6379064.76682*10^101.19405*10^-6758124.76681*10^101.19406*10^-63790614.76681*10^101.19406*10^-6从上面计算得到的数据进展比拟可以明显看出，矩形法在所取步长下未得道准确数据，梯形法在步长为0.00001时得到准确数据，而Simpson法在步长为0.00005就得到了准确数据。
显然，梯形法比矩形法准确，Simpson法又比梯形法准确，而我们随后将要用的Runge-Kutte法如此比Simpson法更准确分别利用矩形法，梯形法，Simpson法计算此积分，并带入冥王星数据得到数据：矩形法hnr角速度v127.04384*10^125.47844*10^-10646.99164*10^125.56056*10^-101286.99164*10^125.56056*10^-106436.98764*10^125.56693*10^-1012876.98697*10^125.56799*10^-1064356.98697*10^125.56799*10^-10128716.98690*10^125.56810*10^-10643596.986685*10^125.56818*10^-10梯形法hnr角速度v127.04384*10^125.47844*10^-10646.99164*10^125.56056*10^-101286.99164*10^125.56056*10^-106436.98764*10^125.56693*10^-1012876.98697*10^125.56799*10^-1064356.98697*10^125.56799*10^-10128716.98690*10^125.56810*10^-10643596.98685*10^125.56818*10^-10Simpson法hnr角速度v126.97826*10^125.58190*10^-10646.97826*10^125.58190*10^-101286.98497*10^125.57119*10^-106436.98630*10^125.56905*10^-1012876.98630*10^125.56905*10^-1064356.98684*10^125.56820*10^-10128716.98684*10^125.56820*10^-10643596.98684*10^125.56820*10^-102．水星到太阳的最远距离为0.6982*1011m，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886*104m/s，试求：1） 水星到太阳的最近距离；2） 水星绕太阳运行的周期；3） 求从远日点开始的第50天〔地球天〕完毕时水星的位置。
解答： 1 － 基于压缩映射的求根方法 首先，回到水星的轨道曲线，我们引进轨道椭圆的参数方程求解由于椭圆的半长轴，半短轴，从而中心到焦点的距离为于是得到参数方程它们与的关系为这样由于，从而上式改写成于是，我们要求T1=50天时的水星位置就意味着要求解方程记，不妨取，于是依照迭代格式得到的不动点与上式唯一的根为据参数方程可以将转化到相应的，即由得此时的距离r和线速度v分别为从数据结果来看，显然，这里机遇不动点的快速收敛迭代格式具有不容置疑的优势，即快速而且准确针对水星，有得答案为：水星到太阳的最近距离：水星运行周期: 87.9914 天第50某某星的位置：第50 某某星的速度: 56918.7 m/s2 － Runge-Kutte法试用行星绕太阳运行的数学模型 (4.12) ~ (4.16),令,可以得到一阶微分方程组： 利用四阶Runge-Kutte法迭代格式在迭代过程中出现的12个参数表示为 在代入计算前需要注意的是这12个参数的计算顺序，计算K2需要先计算L1，而计算L1如此需要计算K1，在计算N2时同样需要先计算L1，依此类推，正确的计算顺序应为：利用Microsoft Visual C++ 6.0编制程序〔程序代码见附件〕计算结果：hT(s)T(d)Rm(m)0.05*(107s)8e+0064.66746e+0100.01*(107s)7.7e+0064.60142e+0100.005*(107s)7.65e+0064.60154e+0100.001*(107s)7.61e+0064.60159e+0101000s7.603e+0064.60159e+010100s7.6025e+0064.60159e+01010s7.60246e+0064.60159e+0101s7.60246e+0064.60159e+010最后得到答案为：这与第一种方法得到的答案完全一。