单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,习题课,#,第三章 复变函数的积分,第,3,节 柯西积分公式,柯西积分公式,高阶导数公式,第三章 复变函数的积分第3节 柯西积分公式柯西积分公式高,1,设,B,为单连通域,f,(,z,),在,B,内解析,z,0,B,在,C,内部作,C,R,:,|,z,-,z,0,|=,R,(,取其正向,),绕,z,0,的任一正向简单闭曲线,则,设,C,为,B,内,B,C,一、柯西积分公式,设B为单连通域,f(z)在B内解析,z0B,2,定理,(,柯西积分公式,),：如果,f,(,z,),在区域,D,内处处解析,C,为,D,内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,D,z,0,为,C,内部,的任一点,则,D,C,定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析,3,证明,:,由于,f,(,z,),在,z,0,连续,D,C,C,R,z,z,0,R,且,R,0,存在,d,0,当,|,z,-,z,0,|,d,时,|,f,(,z,),-,f,(,z,0,)|0,使得,|,f,(,z,)|,M.,又因为,z,0,是,C,内部区域内的点,所以存在,R,0,使,在,C,的,内部区域,.,因此当,z,在,C,上时,取,则,所以,其中,L,是曲线,C,的弧长,.,于是存在M 0,使得|f(z)|M.又因为z0,13,利用类似的方法可求得,因此,当 时,从而,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数,.,利用类似的方法可求得因此,当,14,例,1.,求积分,解,因为函数 在复平面解析,在 内,n,=3,根据,例1.求积分解 因为函数,15,例,2.,求积分,解,因为函数 在复平面解析,在 内,n,=1,根据,例2.求积分解 因为函数,16,例,3.,求积分,解,.,函数 在,C,内的 处不解析,.,在,C,内分别以,i,和,-,i,为中心作正向圆周,C,1,和,C,2,由,其中,C,是正向圆周,例3.求积分解.函数,17,于是,同理,于是同理,18,柯西,-,古萨,(,Cauchy,Goursat),基本定理,设,B,为,单,连通域，则,f,(,z,),在,B,内解析,C,为,B,内任何一条闭曲线。
Morera,定理,设,B,为,单,连通域，,如,f,(,z,),在,B,内连续，,且对,B,内任,何一条简单闭曲线,C,有,则,f,(,z,),在,B,内解析柯西-古萨(CauchyGoursat)基本定理,19,典型例题,例,4.,计算积分,解 由,典型例题例4.计算积分解 由,20,例,5.,设,C,表示正向圆周,求,于是 而,1+,i,在,C,内,所以,解 根据,当,z,在,C,内时,例5.设C表示正向圆周求于是,21,例,6.,计算积分 其中,解,(1),根据,例6.计算积分 其中解 (1,22,(2),根据,(2)根据,23,(3),根据 以及前面的结果,(3)根据 以,24,解,例,7.,求积分,其中,n,为整数,.,(1),n,0,时,函数 在 上解析,.,(2),n,=1,时,由 得,由 得,解例7.求积分其中n为整数.(1)n 0时,函数,25,可得,(3),n,1,时,根据,可得(3)n1时,根据,26,例,8.,计算积分 其中,C,是正向圆周,解 因为函数 在,C,内,z,=1,处不解析,但 在,C,内处处解析,所以根据,例8.计算积分 其中C是正向圆周解,27,作业,P59,：,5(3,4);6(3,5,7,9),；,7(1,3,5),；,8,；,11;14.,P60-61,：,9,；,15.,作业P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；,28,。