知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式比方：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数〔〕的图象注意： 〔1〕一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； 〔2〕表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； 〔3〕解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集知识点三：解一元二次不等式的步骤 〔1〕先看二次项系数是否为正，假设为负，则将二次项系数化为正数； 〔2〕写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且〔注意灵活运用因式分解和配方法〕；②时，求根； ③时，方程无解 〔3〕根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式a*2+b*+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；假设为负，则将其变为正数；2．假设相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，假设不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．假设所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析类型一：解一元二次不等式1．解以下一元二次不等式 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比拟简洁〔如第2、3小题〕；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比拟快捷，〔如第1小题〕. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三： 【变式1】解以下不等式 (1) ； (2) (3) ； (4) . 【变式2】解不等式：类型二：一元二次不等式的解集求待定系数2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键举一反三： 【变式1】不等式a*2+b*+12＞0的解集为{*|-3＜*＜2}，则a=_______, b=________变式2】的解为,试求、,并解不等式.【变式3】关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题3．关于*的不等式(m2+4m-5)*2-4(m-1)*+3＞0对一切实数*恒成立，数m的取值围 思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论举一反三：【变式1】 假设关于的不等式的解集为空集，求的取值围. 【变式2】假设关于的不等式的解为一切实数，求的取值围. 【变式3】假设关于的不等式的解集为非空集，求的取值围. 类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法4．解以下关于*的不等式 〔1〕*2-2a*≤-a2+1； 〔2〕*2-a*+1＞0； 〔3〕*2-(a+1)*+a＜0； 总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根。
当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论 举一反三：【变式1】解关于*的不等式： 【变式2】解关于的不等式：〔〕 5．解关于*的不等式：a*2－(a+1)*+1＜0总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的根底，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进展分类讨论，分类时要“不重不漏〞举一反三： 【变式1】解关于*的不等式：(a*-1)(*-2)≥0； 【变式2】解关于*的不等式：a*2＋2*-1＜0； 【变式3】解关于*的不等式：a*2-*+1＞0 学习成果测评根底达标： 1．不等式*2－a*－12a2＜0〔其中a＜0〕的解集为〔 〕 A．〔－3a，4a〕 B．〔4a，－3a〕 C．〔－3，－4〕 D．〔2a，6a〕 2．使有意义的*的取值围是〔 〕 A． B． C． D． 3．不等式a*2+5*+c＞0的解集为，则a，c的值为〔 〕 A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6 4．解不等式得到解集，则的值等于( ) A．10 B．-10 C．14 D．-14 5．不等式*2－a*－b＜0的解集是{*|2＜*＜3}，则b*2－a*－1＞0的解集是〔 〕 A． B．C． D．6．抛物线y=－*2+5*－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量*的取值围是____。
7．如果关于*的方程*2－(m－1)*+2－m=0的两根为正实数，则m的取值围是____8．解以下不等式 (1) 14-4*2≥*； (2) *2+*+1>0； (3) 2*2+3*+4<0； (4) ； (5) ； (6) ； (7) 9．不等式a*2－3*+6＞4的解集为{*|*＜1或*＞b} 〔1〕求a，b； 〔2〕解不等式a*2－(ac+b)*+bc＜0 10. 不等式m*2+1＞m* 的解集为实数集R，数m的取值围．能力提升：11．不等式的解集是全体实数，则a的取值围是( )A． B． C． D．12．对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的*的取值围是 __ .13． 的解集为，则不等式的解集是________.14．假设函数的定义域为R，则a的取值围为________________.15． 假设使不等式和同时成立的*的值使关于*的不等式也成立，则a的取值围是________________.16．假设不等式a*2+b*+c＞0 的解集为{*|2＜*＜3}，则不等式a*2-b*+c＜0 的解集是___________；不等式c*2+b*+a＞0的解集是_____________． 17． ， (1)如果对一切*∈R，f(*)＞0恒成立，数a的取值围； (2)如果对*∈[-3，1]，f(*)＞0恒成立，数a的取值围. 18．解以下关于*的不等式 ； 综合探究： 19．解关于*的不等式：. 20. 设集合A={*|*2-2*-8＜0}, B={*|*2+2*-3＞0}, C={*|*2-3a*+2a2＜0}，假设C(A∩B)，数a的取值围．. z.。