函数连续性的应用研究摘要函数连续性的定义对分析函数的性质，以及讨论由实际问题所建立起的函数 的性质、并通过这些性质解决实际问题具有重耍理论与实际意义对函数连续性 的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研 究成果，但对函数连续性的应用研究进行总结，以及将函数的连续性应用丁•新的 领域是非常有意义的木文围绕函数连续性的应用展开讨论，首先讨论了函数连 续性的定义，其次讨论了函数连续性的性质，最后重点介绍了函数连续性的应用关键词：函数连续性应用Application of the Continuity of FunctionAbstractFunction definition of the continuity of the nature of the analysis functions, and to discuss practical issues established by the nature of the function, and solve practical problems through these properties have important theoretical and practical significance. Continuity of the function has been much attention, after years of tireless research, many scholars have made a lot of research results, but the application of the continuity of the function to sum up, as well as the continuity of the function applied to the new area is very significant:. This paper focuses on the application of the continuity of the function to discuss, first discuss the definition of continuity of function, followed by discussion of the nature of the function continuity, and finally focuses on the application of the continuity fiinction.Keywords:funcation;continuity;application(%1) 相关的背景和意义高等数学是工科学生一门十分重要的基础课，也是高职工科院校各专业学生一门必修的 重要基础理论课。
通过这门课程的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法训练，它为 许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫山于它的理论性强，概念抽象而且深刻，令许多 学生畏惧叫苦血函数的连续性问题是函数理论中最基本最重耍的问题之一，连续性是自然 界中广泛存在的一种性质，它是描述变量之间最基本的连续关系的概念学习函数连续性的 重要性在于：高等数学中的函数连续性与间断点等内容具有承上启下的作用,対于函数连续 性的掌握、函数极限的运算、零点定理、介值定理以及一致连续性等方面的学习都具有重要 的意义，I大I此，研究函数理论及应用具有理论和应用的双重意义1) 相关的文献综述关于函数连续性的问题，很多学者都做了研究，主要有：李敏，刘戍军(2002)在试论 利用函数连续性求极限中，对两个重要极限的应用作了进一步讨论，并给出英规律性対于 处理“0/0”，“1”未定型的极限起到了重要的作用李静，李义成(2004)在介值定理及 其应用中讨论了连通域上连通函数的性质及封闭凸曲线及空间凸体的外切正方形，得到了一 些有用的结果金友良(2007)在关于一元函数连续性的几个问题中阐述了一元函数在某点 连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题，更加深 刻地理解 元函数连续性这一重要概念。
潘闻天、杨兴东(1999)讨论了函数连续性在求极 值、函数有界性、压缩映射及其不动点等的应用虽然这些研究己经很深入，但笔者认为对 函数连续性的应用还可以做进一•步的研究二、函数连续性的定义(-)函数在一点的连续性定义1⑴设函数f在某U(%o)内有定义,若lim/(x) = /(x0),则称f在点兀连续)一致连续性定义2⑴设f为定义域在区间I上的函数，若对任何的 >0,存在6 = 6(8 )>0,使得对任何 只要就有lf(X)-f(X )l0 (或vO),则对任何正数 r < /(x0)(或厂 v—fOo)),存在某 U(x0),使得对一切 x gU(x0)有 /(x) > r(Wc/*(x) <-r). 定理3(四则运算)若函数f和g在点兀连续，则/ + g J /g(这里g(x0)工0)也都在点心连续定理4若函数f在点X连续，g在点"o连续，”0=/(兀0),则复合函数fog在点X。
连续)闭区间上连续函数的基本性质定理5(最大、最小值定理)若函数f在闭区间［a,b］上连续，则f在［a,b］W大值与最小 值定理6 (介值性定理)设函数f在闭区间血b］上连续，f(a)Hf(b).若U为介于f(a)与f(b)Z间 的任何实数(f(a)<卩vf(tO或f(a)> u >f(b))，则至少存在一点x0 e (a, b),使得f (x0 )= u .(%1) 反函数的连续性定理7若函数f在［a,b］上严格单调并连续，则反函数厂|在英定义域［f(a),f(b)J或［f(b),f(a)］上 连续定理8 (—致连续性定理)若函数f在区间［a, b］上连续，则f在［a,b］一致连续1) 初等函数的连续性定理9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数定理10任何初等函数都是在英定义区间上的连续函数)连续性在求函数极限中的应用通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它农明了连续函 数的记号f与极限的记号lim的可交换性所以当我们知道某个函数是连续函数时，求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理9和定理10,在理论 上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一 •个求初等函数极限的简便方法。
总结出一•个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点兀0,那么，只须将 兀代人f(x),即可计算出f(x)在兀的函数值，就立刻得到想要求的lim /(x)的值了・丫0例1求lim旦匕xtO COS X解： W(l + x)是初等函数,点x=0是它定义域中的点，所以COSXlimh^=/(0)=h^=0xtO COS X cos 0lim(XT+0分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所2+x3+x谓的“幕指函数”，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成l+Vx. 2+x log 2 —2 l+x - 3+x即可将它看成是初等函数“-摆呃記与基本初等函数y = 2“复合•次的结果,故是一个初等函数，而x=0是它的定义域中的点,所以很容易可以求岀结果l+Vo, 2+0 . 2 n9^Flog2^=2 5=-3冷. l+>/x \+\fx 2+xlim (土竺)〒7 = lim 2EF XT+O 3 + X XT+O求 lim^—I) X分析：x=0不是初等函数S■定义域中的点，不能直接运用我们的一般方法求解,但利用对数运算性质，令t=ev-L则有x=ln(l+t),函数变为lim XT0 X二 lim —0 ln(l + f)lim 1^2/->0 tex-l tX_ln(l + r)limln(l + r)7 ln(lim(l + O7)ftO ftO注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求英他极限时直接运用。
它當对某些包括指数、对数运算及幕运算的所谓“9”不定式的极限求法有很大帮助0\lx + 14—4例 4 求心2厶+ 2-2Jx +14 — 4分析 因为点x=2不在初等函数 一的定义域中，所以不能直接用一般方法求心 + 2-2解,但是，注意到分子在x=2时也是零,所以我们用消去零因子的方法，先将分子、分母分别均乘上它们各自的共犯因式厶+ 14+ 4与V^+2+2,使零因子x-2分离出来，然后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点x=2在其定义域内，再进行求解解v 厶 + 14-4 厶 + 14-4 厶+ 14+4 厶+ 2 + 2 lim / = lim / ‘ / / •_>2 J x + 2 - 2 v_>2 Jx + 2-2 Jx + 2 + 2 Jx + 1 -44i. (x — 2 y* + 2 + 2 Jx + 2 + 2=lim 广 . =lim 「 . x->2 (兀 _ 2) Vx + 14 + 4 xt2 7x + 14 + 4_ J2 + 2 + 2 _4_\_~ V2 + 14 + 4_8 ~2(-)介值定理的应用1、判定方程f(x)=O在区间［a, b］内是否有根若f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)*f(b)vO,山介值定理知，f(x)=O在［a,b］上必定有根。
例如 证明方程门兀)= x3+x2-\在xe(O,l)内必定有根=>证明 设/(x) = x3+x2-l,它在［0,1］连续,又 f(0)=-l<0, f(l)=l>0故对于介于f(0)与f(l)之间的介值c=0,根据介值定理可知,必存在 g e (0,1),使 f( ) =0即f + F -1 =0 ,这说明x= E是方程F +F = 1的根 2、求方程的根达到的指定精确度的近似值例如 求/(x) = x3+x2-l中根g的一个近似值解 先取［0,1］的中点0.5,因f(x)二(0.5)3+(0.5)2-l<0，M ［0.5,1］中至少存在一个根,再取［0.5,1］的中点0.75,算得f(0.75)v0,则［0.75,1］中至少存在一个根,不断这样作 下去，可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间，以致这个小区间的长度小于 所指定的精确度这时，我们就可以取小区间的左端点(或者右端点)作为根的一个不足(或者过 剩)近似值，它与根E的精确值误差(2不超过所指定的精确度1) 判断函数在区间上是否有界若f(x)在区间［a,b］连续,则f(x)在区间低b］有界例如 判断函数f(x)=arcsin x在区间［・1,1］上是否有界解 因为f(x)=arcsin x是初等函数，在定义域连续f(-1)=-1.57 ,f(l)=1.57所以r/2Wf(x)W 口/2,即有界.(%1) 利用连续性求表达式中的常数例如 选择“的值，使下面的苗数处处连续rr当x