2017 届高三第一轮复习专题训练之届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可技巧在于：设哪一条直线？ 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 考如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型： 模型一：“手电筒”模型模型一：“手电筒”模型 例题、 （例题、 （07 山东）山东）已知椭圆 C：若直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B1 34 22 yx mkxyl： 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l 解：解：设，由得， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 3412 ykxm xy 222 (34)84(3)0kxmkxm ， 2222 6416(34)(3)0m kkm 22 340km 2 1212 22 84(3) , 3434 mkm xxxx kk 22 22 12121212 2 3(4) () ()() 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点且，(2,0),D1 ADBD kk ，， 12 12 1 22 yy xx 121212 2()40y yx xxx ， 222 222 3(4)4(3)16 40 343434 mkmmk kkk 整理得：，解得：，且满足 22 71640mmkk 12 2 2 , 7 k mk m 22 340km 当时，，直线过定点与已知矛盾；2mk :(2)l yk x(2,0), 当时，，直线过定点 2 7 k m 2 :() 7 l yk x 2 ( ,0) 7 综上可知，直线 过定点，定点坐标为l 2 ( ,0). 7 方法总结：方法总结：本题为“弦对定点张直角”“弦对定点张直角”的一个例子：：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点。
（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦) )( , )( ( 22 22 0 22 22 0 ba bay ba bax 对定点张直角的一组性质” ） 模型拓展：模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 BPAP kk 定值，定值） ，直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型） （参 BPAP kk 考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节） 此模型解题步骤： Step1：：设 AB 直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；mkxy Step2：：由 AP 与 BP 关系（如） ，得一次函数；1 BPAP kk)()(kfmmfk或者 Step3：：将代入，得)()(kfmmfk或者mkxy 定定 yxxky)( 迁移训练迁移训练 练习练习 1：过抛物线 M:上一点 P（1,2）作倾斜角互补的直线 PA 与 PB，交 M 于 A、B 两点，pxy2 2 求证：直线 AB 过定点 （注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习练习 2：： 过抛物线 M:的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、 OB，求证： 直线 AB 过定点。
经典xy4 2 例题，多种解法） 练习练习 3：： 过上的点作动弦 AB、AC 且，证明 BC 恒过定点 （本题参考答案 ：12 22 yx3 ACAB kk ）) 5 1 , 5 1 ( 练习练习:4：： 设 A、B 是轨迹：上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角C 2 2(0)ypx POOAOB 分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标 （参考答案, 4 AB ） 2 ,2pp 【答案】 设， 由题意得， 又直线 OA,OB 的倾斜角满足， 1122 ,,,A x yB xy 12 ,0 x x , 4 故，所以直线的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为从而设 AB 方程为0, 4 AB ，显然，ykxb 22 12 12 , 22 yy xx pp 将与联立消去，得ykxb 2 2(0)ypx Px 2 220kypypb 由韦达定理知 1212 22 , ppb yyyy kk 由，得 1== 4 tantan() 4 tantan 1tantan 12 2 12 2 () 4 p yy y yp 将式代入上式整理化简可得：，所以， 2 1 2 p bpk 22bppk 此时，直线的方程可表示为即ABykx22ppk(2 )20k xpyp 所以直线恒过定点.AB2 ,2pp 练习 5：练习 5：（2013 年高考陕西卷（理） ）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为 8. ()求动圆圆心的轨迹C的方程; ()已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平 分线, 证明直线l过定点. 【答案】解:() A(4,0),设圆心 C 2222 , 2 ),,(ECMECMCA MN MEEMNyx，由几何图像知线段的中点为 xyxyx84 ) 4 22222 （ () 点B(-1,0), 2 2 21 2 121212211 8,8, 00),,(),,(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设. 080)()(8 8811 21122121 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyyyyyyy y y y y x y x y 直线 PQ 方程为:)8( 1 )( 2 1 12 11 12 12 1 yx yy yyxx xx yy yy 1, 088)(8)()( 12 2 112112 xyxyyyyxyyyyyy 所以,直线 PQ 过定点(1,0) 练习练习 6：：已知点是平面上一动点，且满足1,0 ,1,0 ,BCP|| ||PCBCPB CB （1）求点的轨迹对应的方程；PC （2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直( ,2)A mCACADAEADAE 线是否过定点？试证明你的结论.DE 【解】【解】 （1）设 （5 分）.4,1) 1(||||),( 222 xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入 ).2 , 1 (, 14)2 ,()2( 2 的坐标为点得代入将AmxymA , 044,4 22 tmtyxytmyxDE得代入的方程为设直线 ）（（，则设*016)44,4),(),,( 2 21212211 tmtyymyyyxEyxD 4)(21)()2)(2() 1)(1( 212121212121 yyyyxxxxyyxxAEAD 5)(2) 44 ( 44 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 yyyy yyyy 5)(2 4 2)( 16 )( 2121 21 2 21 2 21 yyyy yyyyyy mmttmt tmt 845605)4(2)4( 4 )4(2)4( 16 )4( 22 22 化简得 ) 1(23) 1(4348496 2222 mtmtmmtt）即（即 0*, 1252）式检验均满足代入（或mtmt 1)2(5)2(ymxymxDE或的方程为直线 ））不满足题意，定点（（过定点直线21).2, 5( DE 练习练习 7：： 已知点 A（1，0） ，B（1，1）和抛物线.，O 为坐标原点，过点 A 的动直线 lxyC4: 2 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图. （I）证明: 为定值;OM OP （II）若POM 的面积为，求向量与的夹角； 2 5 OMOP （）证明直线 PQ 恒过一个定点. 解：（I）设点、M、A 三点共Py y Py y M),, 4 (),, 4 ( 2 2 2 1 2 1 线， , 44 1 4 , 2 2 2 1 21 2 1 1 yy yy y y kk DMAM 即 4, 1 4 21 21 2 1 1 yy yyy y 即 . 5 44 21 2 2 2 1 yy yy OPOM (II)设POM=，则 . 5 cos||||OPOM 由此可得 tan=1. . 5 sin||||, 2 5 OPOMS ROM 又 .45,45),, 0(的夹角为与故向量OPOM ()设点、B、Q 三点共线，My y Q),, 4 ( 3 2 3 , QMBQ kk 3133 2222 331313 2 31331313 11 ,, 4 1 444 (1)()4,40.11 yyyy yyyyyy yyyyy yyy 即即 即分 , 04 44 , 4 , 4 3 2 3 22 121 y y y yy yyy即 即 .(*)04)(4 3232 yyyy 第 22 题 , 4 44 32 2 3 2 2 32 yyyy yy kPQ ) 4 ( 4 2 2 32 2 y x yy yyPQ 的方程是直线 即 .4)(,4))(( 3232 2 2322 xyyyyyyxyyyy即 由（*）式，代入上式，得, 4)(4 3232 yyyy).1(4))(4( 32 xyyy 由此可知直线 PQ 过定点 E（1，4）. 模型二：切点弦恒过定点模型二：切点弦恒过定点 例题：例题：有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有 222 ryx),( 00 yxP 2 00 ryyyx 结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆 C：),()0( 1 00 2 2 2 2 yxPba b y a x 上一点1 2 0 2 0 b yy a xx 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A、B.1 4 2 2 y x （1）求证：直线 AB 恒过一定点； （2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求ABM 的面积。
【解】【解】 （1）设 M1 4 ),,(),(),)(, 3 34 ( 1 1 221, 1 yy xx MAyxByxARtt的方程为则 点 M 在 MA 上 同理可得1 3 3 11 tyx1 3 3 22 tyx 由知 AB 的方程为)1 (3, 1 3 3 tyxtyx即 易知右焦点 F（）满足式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F（）0 , 30 , 3 （2）把 AB 的方程0167, 1 4 )1 (3 2 2 yyy x yx化简得代入 又 M 到 AB 的距离 7 16 7 2836 31|| AB 3 32 31 | 3 34 | d ABM 的面积 21 316 || 2 1 dABS 方法点评：方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用 本题的书写步骤替换之，大家注意过程 方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？ 参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3 下” ，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理，资料 练习 1：练习 1：（2013 年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc 到直线l: 20 xy的距离为 3 2 2 .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PA PB,其中,A B为切 点. () 求抛。