R、L、C 串/并联谐振电路的特性分析及应用摘要：本文对RLC串联、RLC并联及RL-C并联三种谐振电路的阻抗Z、谐振频率、 及品质因数Q三种特性进行了分析其中品质因数Q是电路在谐振状态下最为重要的 电路特性，我们从Q的几种定义出发，着重研究了它对三种最基本的谐振电路的几个 重要影响同时简单介绍了串/并联谐振电路在生活中的具体应用 关键词：谐振电路；谐振特性；品质因数目录0 引言： 11 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率 21.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率 21.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率 21.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率 32 R\L、C 串/并联电路的品质因数 Q 32.1 电路的品质因数 Q 32.2谐振电路的品质因数Q的几点重要性 42.2.1 Q对回路中能量交换及能量储存的影响 42.2.2 Q值与谐振电路的选择性 42.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性 42.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性 62.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性 83 谐振电路在生活中的应用 110 引言：构成各种复杂电路的基础通常是 RLC 串/并联谐振电路，本文就简单介绍了其三 种连接方式如图，而了解这些基本电路的频率特性对于理解更复杂的电路甚至实用电 路是非常有益的,并且对于深入了解其它重要的相关特性是十分有帮助的。
本文简单 阐述了下面三种电路图的z、O及Q以及一些具体实际的应用下面是R、L、C串/ 并联谐振电路的简图，如图 1，图 2，图 3 所示＋U图 1, RLC 串联谐振电路UCRL＋U图2, RLC并联谐振电路—1>L~IZ图3, RL - C并联谐振电路1 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率 1.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率由图1知RLC串联电路的复阻抗Z和阻抗z分别为Z = R + j®L — jCl—电路中的I和z以及U之间的关系为:Uz(1)由于谐振时cL-ICC = 0，故谐振时的电流I U R这是在U 一定时可能达到的最大电流当电压角频率满足cL—0即化=1 —时RLC串联电路的电流有效值（振幅）取最大值，这相当于机械系统的共振，在电路中称为谐振c是谐振角频率，它可以理解为RLC串联电路的固有角频率，就是说当电压角频率 0近似等于电路的固有角频率时串联谐振才会发生，这与机械共振条件类似讨论：令Z的虚部cL — 1‘Cl — M，若M = 0时，电路具有纯电阻性，Z有最 小值R ;若M丰0时，当M > 0时，电路就表现出电感性；当M < 0时，电路就表 现出电容性。
1.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率同理，由Z = R,Z =-j ”、厂,Z = jcL且图2的RLC并联电路图知RLC并联电 R C /Cc L路的复阻抗Z为推知Z二ZZZ R_C_L Z Z + Z Z + Z ZL C R L R CL R 2;： C 2；LR 2(CL — 1 cc ) C 2jL2 C2 + R2 (cl — 1 cc令Z的虚部为M，当M=0时解得c = c° = 17LC此时电路处于并联谐振状态,这里的c为谐振角频率01.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率且图3的RL-C并联电路图知RL-C并联电路同理，由 Z = R + j®L,ZLC复阻抗为：Z ZZZ + Z(2)_(R + 减兀 j 1 )、—(R + j^L )+C j1 )RL C-R wC(bL-1 wC) .R2 wC + L C(bL-1 wC)R 2 + (roL -1wC P R 2 + (roL -1 bC j2令Z的虚部为M,当M=0时解得w0//~Lc '1-CR 2 L当R <<1TLc这时并联谐振角频率等于串联谐振角频率，即此时两电路的频率特性基本相同从上面推导过程我们可以得到，如果电路处于“谐振状态”，那么电路的等效阻抗 Z 就相当于等效电阻R,用式子表示为Z=R。
并且并联电路的电流有效值及谐振频率与 串联电路的表达形式相同，都为w0_LLC与1 _ R所以，在电路元件R、L、C特 性参数都相同时串并联谐振电路部分特性类似但是,在并联电路中所有元件所承受 的电压比串联谐振时所承受的电压大的多，所以R较小时，通常了利用串联谐振电路 获得较强的电信号2 R\L、C串/并联电路的品质因数Q2.1电路的品质因数Q根据“品质因数” Q的定义，可以把图1,图2,图3中的电路的Q写为：RLC串联谐振电路中，Q -站—1 —丄「土 (3)串 R w CR R\C0RLC并联谐振电路中，Q - — — w CR — R上 (4)并 1 w L o \ C0RL- C并联谐振电路，Q -巴上— — (5)并2 R w CR R^Co可见Q是一个只由R、L、C决定的参数2.2谐振电路的品质因数Q的几点重要性2.2.1 Q对回路中能量交换及能量储存的影响我们知道，电能可以被储存在电容器中而磁能可以被储存在电感中，它们并不消耗电磁能，在谐振状态下串联或者是并联电路的LC元件的储能情况如下：①= LI 2 = CU 2LC L C Lmax C max现将（3）4）5）中Q值作一定的等量变换如下：小 ① L 12® L 12 L c ” 12 L c 12 LQ = —0— = o— = ® = 2 兀f = 2 兀串 R 12R 0 12R / 12R 12RTCU 2U 2T RQ CR1U^并 1 0 1 U 22 = Q串 = 2 兀12 L12 RT而电阻在一周期内所耗损的电能为Q = I2RT = ~R~则我们从能量角度来重新定义Q： Q值表示谐振电路中电容和电感储存的电磁能 和每个周期电阻耗损的能量之比的2沢倍。
用式子可以把q表示为Q = 2沢矿R其中， W 表示电容和电感储存的电磁能， W 表示电阻每一个周期内耗损的SR能量这表明电路的Q值越高，相对于储存一定电磁能量所要付出的能量耗损越小,表征谐振电路的储存能量的效率就越高2.2.2 Q值与谐振电路的选择性 2.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性当U、R、L、C值一定时，可根据式G）绘出曲线表示I与®的关系，如图2-1叫做串联谐振曲线02-1串联谐振曲线谐振曲线表明当外加电压（有效值）U及电路参数给定时，电流（有效值）I并 非一定，它取决于电压的角频率O这说明RLC串联电路也具有选择频率的性质将 n个有效值相同而频率不同的简谐电动势串联加于RLC串联电路上如图2-2，则每一 电源都将激起一个与它同频率的电流这些电流的有效值各不相同若有一个电动势 的角频率等于电路的谐振角频率®，它所激起的电流必定最大，因此可以设法把这 0个电动势所代表的信号取出这种选择性被广泛应用于电子电路中而Q值较大的对 应的电路的选择性比较好从多个频率不同的信号源中选择所需的信号如图2-3所示为串联电路的电流I和频率f的关系曲线图从图2-3（a）中可看 到，在f二f时，电路发生共振，电流达到最大值，称为谐振峰。
谐振曲线愈是尖锐 的对应的Q值愈是大而谐振曲线的尖锐程度决定着电路选频性的好坏，如果曲线比 较尖锐那么电路对频率的选择性就比较好因为这时只要外加电动势的频率稍稍偏离 固有频率，它的信号就大大减弱通常引入通频带宽度这个名词来对频率选择性的优 劣程度进行量化说明人们规定，在谐振两边的I值等于最大值的1,^2 = 70%处e对应频宽为“通频带宽度”即纣二f -f，如下图2-3（b）所示，说明谐振曲线的尖21锐程度决定于的宽度，要想得到选择性较好的电路可以通，过使纣较小而达到理 论上可以证明，纣二f0./Q，即谐振电路的Q值与纣成反比，要想使谐振电路的选择 性较好可以通过调整电路使 Q 值较大（能量损耗较小）来达到a）谐振峰的尖锐程度与Q值的关系 （b）谐振曲线的频带宽图2-3串联电路的谐振曲线2.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性由1 << Q二①LR可知①L >> R ,即谐振时的感抗远大于电阻0 ' 0当0>>0时①L更大于R若o> R.于是式（2）成为(6)Z u / CR + j (wL - 1®C )因而阻抗z = |Z 卜LC,R2 + OoL -1 wC 丄(7)把上式与（1）比较可知，并联时的z-o曲线与串联时的I-o曲线在谐振点附近有相同的形状如图2-4.z在谐振时达到最大值:0图2-4RL-C并联谐振电路的阻抗z与角频率o的关系。
谐振（w =①时阻抗为最大值如果并联网络的电压（有效值）U 一定，则网络电流（有效值）I在谐振时取最小值：I = U =竺U 这与串联谐振恰巧相反再讨论L支路电流与C支路电流的 0 z L0电流t及ICLCL厶“圧与R + j®L(8)=j®cU可见I与Ic相位近似差“谐振时，①L沁1® C，由式（8）有L c 0 0I u I u QI，即谐振时L支路与C支路电流几乎相等并且是I的Q倍L0 c 0 0 0现给图3电路接一电源如图2-5.iZ图2-5并联RL-C谐振电路对电源频率的选择性ERi我们来讨论当电动势频率变化而有效值不变时谐振电路电压U的变化设电路的 阻抗为z，而U = Iz而 Iu ! （9）R + Zi其中£及R分别是电源的电动势（复有效值）及内阻，z为谐振电路的复阻抗i先讨论R >> z的特殊情况这时由式⑼得I ug ；R.，代入U = Iz 得：U u z （10）Ri当£和R不变而改变⑷时，z随®按（7）或图2-4的规律变化，固U也随⑷按相 i同的规律变化如图2-6曲线1，这就说明，从电压角度看，并联谐振电路对频率具有选择性如果用n个频率不同而£相同的电源串联起来给并联谐振电路供电，则电路两端的电压将出现n个频率不同的成分，其中与电路频率相同的成分最大。
在电子线 路中经常利用这种方法从多频率的信号中选择所需的频率成分在讨论另一种特殊情 况一一R为零的情况这时电源的端压（及谐振电路的电压）u总与e相等，即iU =£ =常量，故U-w曲线为一直线，如图2-6曲线2,这时电路毫无选择性一般情况下R介于上述两种特殊情况之间，其曲线也介于2-6的曲线1、2之间如曲i线 3 所示可见为了提高并联谐振电路的选择性应使用高内阻电源要准确比较图2-6三条曲线的选择性，可改用UU为纵轴得图2-7，由图可清楚地看出：曲线1 『0的选择性比3高，而2则毫无选择性w 图2-6RL-C并联谐振电路中电源内阻R与电压选择性的关系图2-7如下图2-7所示，2.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性根据品质因数 Q 与通频带关系来重新定义 Q。