由马走日步所想到的

由马走日步所想到的白泽凯摘要：在对弈象棋中，由马走“日”字型联想至：若在棋盘中，马按“日”字型走所围成的凸多边形面积最大值跟所走次数有什么关系？先论证奇数步不能围成凸多边形的情况，再分步数分别研究各种情形凸多边形面积最大的问题关键词：马走日步 奇数 偶数 面积最大一、问题起源周末，与父亲会会象棋，忽然想起了表兄经常挂在嘴边的一句话：马可是棋盘中的得力帮手，要好好利用起来在下棋中，马可以阻拦甚至击杀对方将领，通常来协助己方围住对方帮助击杀观察着马日字形的走法，又忽然产生了一个疑问：马围成的封闭图形面积最大是多大呢？首先马的走法大家是十分清楚的，按照“日”字形的步法为了方便研究，在此规定以下前提条件：1、设棋盘的每一格为正方形，每格边长为 1，楚河汉界宽为1，则马每步走的长度为 2、 马只能走在棋盘内的格点上3、以马所在位置为原点（0 ，0）4、走的路线不能交叉重叠，围成封闭凸多边形二、问题的探究历程（一）迷雾重重5乍一看，这个问题好似无从下手在平日的探究里我们学会了从特殊的一般，从简单到复杂的探究过程因此我决定先从最为简单的问题开始通过动手画图，我发现当马跳的步数为 3、5、7……即奇数时，均不能围成封闭图形，而当马跳的步数为偶数时又都能围成封闭图形。

面对这一情形，我百思不得其解，后来我请教了老师并查阅了资料，终于明白了其中的道理二）峰回路转马从起始位置跳 n 步后，经过的路径能否围成封闭图形，将问题转化为“马从任何位置只有经过偶数次才能跳回原地”进行证明建立直角坐标系，设马的起始位置为坐标原点（0，0）则马每走一步坐标的增量的绝对值一定是一个变化 1，一个变化 2，具体来说，假设 x 轴的一步增量为 n，y 轴的一步增量为 m.则 n, m 的取值有以下几种1,2)、（2，1）、（2，-1）、（1，-2）、（-1，-2）、（-2，-1）、（-1，2）、（-2，1）设各种走法的次数为 a、b、c、d、e、f、g、h（均为自数数），即如下表：增量 （1，2） （2，1） （2，-1） （1，-2） （-1，-2） （-2，-1） （-1，2） （-2，1）设元 a b c d e f g h已知马最终回到起点，即，x 轴 y 轴上的增量之和分别为 0.可得：a+2b+2c+d-e-2f-g-2h=0（1） 2a+b-c-2d-2e-f+2g+h=0（2）∵a+b+c+d+e+f+g+h=P（3）（P 为总次数）（1）+（2）+（3）得4a+4b+2c-2e-2f+2g=PP=2（2a+2b+c-e-f-g）∴P 为偶数∴马只有经过偶数次才能跳回原地。

由此，大大节省了我的探究时间，下面只要探索当马走的步数为偶数次时，所围成的凸多边形的面积问题三）一路向前1、当马走四步时经试验得只有两种面积不同的情况如图 1-甲，第一种情况围成的图形为边长 的正方形，其面积为如图 1-乙，第二种情况围成的图形为菱形，对角线长分别为 2和 4，则面积为 所以 S 甲 ＞S 乙5S甲 5124乙（图 1—甲） （图 1—乙）DCBA   BADC结论：当马走四步时，围成的封闭图形面积最大为 52、当马走六步时∵面积要最大∴围成的封闭图形要凸多边形经试验，有以下几种方案 141422ABCADFEFSSA甲 250ABFA乙 141422ABCADFEFSSA丙所以面积最大为 12结论：当马走六步时，围成的封闭图形面积最大为 123、当马走八步时 围成的封闭图形有以下几种情况，其中甲图为正八边形，丙图为正方形，显然正八边形的面积最大FEDCBA   FEDCBA  FEDCBA（图 2—甲） （图 2—乙） （图 2—丙）144 242BCDEFSAA甲乙图的面积计算可利用割补法转化为一个矩形，则 371S矩 形乙 2(5)0ACEG丙所以当围成八边形时，面积最大为 24。

4、当马走十步时 围成的封闭图形有以下几种情况如图 4HGFEDCBA   HGFEDCBA  FGHEDCBA（图 3—甲） （图 3—乙） （图 3—丙）  BCDEFGHIJA   JIHGEDCBAF（图 4—甲） （图 4—乙）（图 4—丙） （图 4—丁）利用割补法计算各个图形的面积 14(6)22 236ABJCDHIBIJSSA梯 形甲(9)302BCDA梯 形 F乙图丙可以看作图乙将右边的四边形 AFGH 轴对称变换然后拼接成而，因此其面积也是 30图丁是一个矩形，其长和宽分别为 ，所以25与 32530S丁结论：当马十步时，所围成的最大面积为 36三、总结和感悟当马走十二步时，试验得：在棋盘内无法围成凸多边形，所以之后的步数也围不成凸多边形，探究到此结束在本次探究中我发现了以下规律：1、马走步数为奇数时，不能回到起始点，故不能围成凸多边形所走的步数越多，所围成的封闭凸多边形的面积越大 （所走步数小GFJIHEDCBA  JIHGFEDCBA（图 4—丁）（图 4—丙）于十二步）2、当步数不变时，图形内的每个内角越大，面积也会越大，当达到正多边形时，面积最大。

3、所围成的凸多边形均为对称图形（轴对称或中心对称） 感悟：通过本次探究，我学会了从简单到复杂的探究过程，发现了数学在生活中无处不在，生活中的一些的小事都可以联想的一些数学问题或是发现一些新问题体会到数学与生活的密切关系数学不仅存在于课本中，更是在生活中的每一个方面，要用好数学来创造更美好的明天点评：本文从日常生活中的游戏联想到由“马走日步”所围成的封闭图形的最大面积，进而展开研究其数学问题的本质可归纳为边长为 的线段如何围成面积最大的封闭多边形，研究过程运用5分类讨论的数学思想，先论证奇数步不能围成凸多边形的情况，再分步数分别研究各种情形凸多边形面积最大的问题作者在研究过程中虽历经艰难，也没气馁，而是坚定地一次又一次迈开探索的脚步，在寻觅的执着中收获美好，他说：“成功解决一道数学难题，体会其中探究推理的乐趣，我很有自豪感！”。