第三讲 数阵图一、知识点：某些数按照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上，这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,绚丽多彩,这里只向人们简介三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图在解答此类问题时，要善于拟定所求的和与核心数字间的关系式，用实验的措施,找到相等的和与核心数字:要会对基本解中的数进行合适调节,得到其她的解，从而培养自己的观测能力，思维的灵活性和严密性二、典例剖析:例(1) 将1~６分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9． 分析： 由于 1+2+3+4＋5+6 ＝ 21 ，而每条边上的三个数的和为9,则三条边上的和为 9×3 ＝ 27 ， 27-２1 ＝ 6 ， 这个 6 就是由于三个顶点都被反复算了一次因此三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将４、5、6填入此外的三个圈即可 解: . . ． .162453153426261534 3 351624342615243156 ． . .练一练:把1~8个数分别填入○中，使每条边上三个数的和相等．18372465 答案: 例(2 )把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等. 分析: 中心圆填入的数设为ｘ,ｘ参与３条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意： 1+2+3＋…+7+２x=3S 即２8＋２x＝3S或28+２x≡０（mod 3) 借用同余工具,是在两个未知数的不定方程中先缩小x应当取值的范畴.在mod３状况下，只要试探x≡0,1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），答复到x取值范畴为1,２,…,7.有x1＝1,x2=4,x3＝7, 得到：x1=1，S1=10;x２=4,S2=12；x3=7,Ｓ3＝14; 由此看出核心在求S(公共和)及x（参与相加次数最多的圆中值)．6173452解: . . . 56243177241536练一练：把1～１1填入图中，使每条线上三个数的和相等.1116392105847 答案: 例(３）把2０以内的质数分别填入下图的一种○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析 :由上图看出，三组数都涉及左、右两端的数,因此每组数的中间两数之和必然相等20以内共有2，3,5，７,1１，１3，17，1９八个质数，两两之和相等的有 5+19＝７＋17＝11＋１3 解: 于是得到下图的填法练一练： 将1～８个数分别填入图中，使每个圆圈上五个数和分别为20，２1，22. 答案: 824713568612475326831457． . .例(４)在右图的六个○内各填入一种质数(可取相似的质数），使它们的和等于２0,并且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等 分析:由于大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又由于每个三角形顶点上的数字之和相等，因此每个三角形顶点上的数字之和为2０÷2=1010分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法 解: 练一练：把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.369452718答案: 例(5)将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d。
由上讲例４知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d由此计算出第一行中间的数为２d—b,右下角的数为2d-c（见下图） 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 ３d-c-(2d-b）=３d-ａ-（2ｄ-c), 3d-c-２d+b＝３ｄ-a－2ｄ+c, d－c＋ｂ＝ｄ-a＋c, ２c=a＋b, 值得注意的是，这个结论对于ａ和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相似,也可以不同练一练：在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90 答案: 例(6)在右图所示立方体的八个顶点上标出１～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于ｋ，并且ｋ不能被未标出的数整除分析：设未被标出的数为ａ，则被标出的八个数之和为1+2＋…+9-ａ＝４5-ａ由于每个顶点都属于三个面，因此六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（4５-a）, 2k＝４5－ａ 2ｋ是偶数,45－a也应是偶数,因此a必为奇数 若ａ＝1，则k=22; 若a=3,则k=21； 若a=５,则ｋ＝2０; 若ａ＝7，则k=1９; 若a＝９,则k=1８。
由于k不能被a整除,因此只有a＝７，ｋ=19符合条件 由于每个面上四个顶点上的数字之和等于1９，因此与9在一种面上的此外三个顶点数之和应等于10在1，２,３,４，5，6，8中,三个数之和等于1０的有三组： 1０=1+3+６ ＝1+4＋5 ＝2＋3+5，解: 将这三组数填入９所在的三个面上,可得下图的填法 练一练：把1～12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.112581037624911答案： 模拟测试（ 3 ）1、把1~8这8个数，分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.2、把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等. 3、把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.４、把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18.5、将1~9这九个数分别填入图中○内，使每条线段三个数相等.6、 把1~8这8个数填入下图，使每边上的加、减、乘、除成立.-÷×=+===7、把０～9填入１0个小三角形中,使每4个小三角形构成的大三角形的和相等.8、图有五个圆，它们相交互相提成9个区域,目前两个区域里已经填上１０与6，请在此外七个区域里分别填进2.3．4.5.６.７.9七个数，使每圆内的和都等于15.106９、把1～8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.10、在下图中的几种圈内各填一种数,使每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，目前已经填好两个数,那么( ).1713１1、把1~１6这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.12、将1－12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.13、将１~1０这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个顶点上○内数的和也相等.１4、把1～11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?１5、 把1~16填入下图中,使每条边上４个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.模拟测试( 3 ) 解答1、38246571 ２、295381746392751846 ａ ｂ 658110273943、 4. 6759484713829565、 6、56-÷32×4=87+===1 7、8170942356 ８、1036465729 9、68327451 1０、75131517911 11、162310912115871441156131011456713829 12、 13、10216945783 １4、481113122569710 １５、19152134611314710512168。