2《因式分解》常见题型例析因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程 的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现 将关于这部分知识的常见题型介绍如下题型一：分解因式的意义此类考题多数以选择题的形式出现解决此类问题需要对分解因式的概念正 确的理解例 1下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）（A）(x-4)(x+4)=x2-16 (B)x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2(C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x-1)(x-2)=(x-2)(x-1).分析 : 根据多项式分解因式的概念 : 把一个多项式化成几个整式积的形式 , 叫 做分解因式. 所以要判断从左道右的变形是否是分解因式 ,关键是看左边是否是多 项式,右边是否是整式的积.解:选(C).练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）. (A)a(x-y)=ax-ay (B)x2-2x+4=(x-1)2+3(C)8x -4x=4x·2x (D)y2-y+1 1=(y- )24 2答案: (D)题型二、直接提公因式分解此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。
求解时应 按照提公因式法则将公因式提出即可例 2分解因式 2a(b-c)-3c(b-c).分析:把(b-c)看作一个整体,则(b-c)就是此多项式的公因式.解: 2a(b-c)-3c(b-c)=(b-c)(2a-3b).练习:分解因式: (2x-3y)(a+b)+(a+b)(3x-2y).答案:5(a+b)(x-y).题型三、直接利用公式因式分解求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选 择合适的公式求解1例 3、分解因式:a2－1=_______.析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解其结果 为：（a－1）（a＋1）.练习：分解因式： x2-4 y2=________.答案：（x－2y）（x+2y）题型四、提公因式后再用公式此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选 择有关公式求解例 4、把 a3－ab2分解因式的正确结果是（ ）A、(a+ab)(a－ab) B、a (a2－b2)C、a(a+b)(a－b) D、a(a－b)2析解：本题首先将公因式 a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差 公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选 C.练习∶分解因式： x2y -4 xy +4 y =_________.答案：y（x－2）2 .题型五、利用因式分解进行数字计算此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙 的组合，再运用因式分解求解。
例 5、计算：2－22－23－……－218－219 +220,析解：我们注意到：－219 +220=219（2－1）=219，而 219－218=218按此规律采用“逆序”的方法，将 218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止其结果为：6 练习：算式 22 +2 2 +2 2 +2 2 可化为（ ）A． 24B． 8 2C． 28D． 216答案：A.题型六、利用因式分解求值此类题的常见的求解方法有（ 1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母 的值，再将其代入求值式求解如本考点例 62）不需求出求值式中字母的值，2bb而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件， 再将已知条件整体代入求解，如本考点例 73）与完全平方式有关的求值问题， 求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解 时不要丢解如本考点例 8例 6、若非零实数 a、b 满足 4a2+b2=4ab，则 =___________.a析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为：（2a－b）2=0，据此得出 a、b 的关系：b=2a，再将其代入求值式即得结果： =2。
a练习：已知：x2+4y2－4x－4y+5=0,求：x－y 的值答案：1.51 1例 7、已知：x+y=1,求 x 2 +xy + y2 22的值解析：本题无法直接求出字母 x、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，1 1 1使求值式中含有已知条件式，再将其整体代入求解因 x 2 +xy + y 2 = （x+y）2 2 221 1 1，所以将 x+y=1 代入该式得： x 2 +xy + y 2 =2 2 2练习：已知 a+b=13,ab=40,求 a2b+ab2 的值答案：5201例 8、已知：多项式 x 2 +mxy +25 y 2 是一个完全平方式，求 m 的值4析解：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解由完全平方式各项的特点可知本题中 mxy=±5xy，所以 m=±5练习：已知：x 2+2（m－3）x+16 是一个完全平方式，求 m 的值答案：7 或－1 题型七、利用因式分解求解整除问题求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能 出现作为除数的因式，再去判断例 9、设 n 为整数．求证：（2n+1）2－25 能被 4 整除。
析解：判断（2n+1）2－25 能否被 4 整除，主要看其因式分解后是否能写成 4 与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n－2），由此可知该式能 被 4 整除 练习：证明：817－279－913能被 45 整除提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324 ）题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题31 2 31231 2 3 1 2 3123求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正 方形的边长求解例 10、已知矩形的面积为 6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为 3：2，求这 个矩形的周长析解：由于矩形的面积等于长 ×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分 解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解因 6m2+60m+150=6（m+5）2 =3 （m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为 3：2，故知该矩形的长与宽分 别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为 10m+50练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且 x>0,y>0,求该正方形的周长。
答案：12x+8y题型九、利用因式分解求解实际问题此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目 的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解例 11、已知电学公式：U=IR +IR +IR ，当 R =12.9, R =18.5 R =18.6, I=2 时， 求 U 的值析解：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母 的值代入求解因 U=IR +IR +IR =I（R +R +R ），将条件 R =12.9, R =18.5 R =18.6, I=2 代入上式得：原式= 100练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为 0.24m,0.37m,0.39m 的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π 取 3.14 ）答案：6.28m题型十、求解数字规律探索问题求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要 时可将已知条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律如本考点例 12 ）例 12、观察下列各式9－1=816－4=1225－9=1636－16=20………4这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n（n≥1）表示自然数，用关于 n 的等 式表示这个规律为 。
析解：观察上面各式的左边均可写成两个数差的形式，故本题可借助平方差 公式巧妙求解求解时可首先将上面各数可写为：32－1=842－22=12 52－32=1662－42=20再根据各式与相应等式序数的关系，推知本题的规律为： （ n+2 ） 2－ n2=4（n+1）练习：请先观察下列各式，再填空32－1=8×152－32=8×2（1）72－52=8×（ ）（2）92－（ ）=8×4 （3）（ ）2－92=8×5（4）132－（ ）2=8×（ ）…………通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 答案：（1）3（2）7（3）11 （4）11，6结论是：两个连续奇数的平方差能被 8 整除，或是 8 的倍数题型十一、因式分解开放题此类题的求解方法较灵活，往往解法不唯一，须认真分析题意，按要求选择 简洁且有把握的式子求解例 12、请任意写一个能在实数范围内分解因式的二次三项式 （该 二次三项式的字母、系数不限）析解：本题答案不唯一，由所求的式子是二次三项式，故选我们熟悉的完全 平方式最好，如：x2－2x+1 或 9y2+6y+1 等练习：结合生活实际，自编一个提公因式的应用题。
5参考答案：在半径为 R 的圆形钢板上，冲去半径为r 的四个小圆，当R=7.2cm,r=1.4cm 时，求剩余部分的面积（π取 3.14，结果保留三个有效数字） 答案：138cm2。