毕业设计文献综述信息与计算科学IB一类广义Burgers方程的行波解-孤立子研究综述孤了是最早在自然界观察到，并且可以在实验室产生的非线性现象之一，从发现孤了到 现在虽经历了一百多年，但是它的重大发展和在许多学科（例如光纤孤子通信，非线性光学 中的空间光孤了，磁通量了起见，约瑟夫逊计算机，电荷密度波和自旋密度波，生物学中的 达维多夫孤子，等离子体中的孤波等）卜3】中的应用开始于20世纪70年代.孤了的发现应迫溯到1834年的夏口，英国科学家Russel骑马正沿着一条运河岸道旅行, 偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，被船体带动的水团积聚在船头并剧烈地翻 动着.不久，一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成，并急速离开船头向前运动.波长 约10米，高约0.5米，在行进中波的形状和速度并无明显改变，以后高度逐渐下降.在跟踪 二至三公里后，终于消失在蜿蜒的河道上.这次发现的奇特景观促使Russel开始广泛的水波 实验研究.他认为这类波应是流体运动的一个稳定解，并称为孤波.但他始终未能从理论上 证实孤波的存在.结果导致Russel I可英国科学院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论. 直到1895年，荷兰著名科学家Korteweg和他的学生de Vries在对孤波进行全面分析后指出 这种可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程#5].drj 9 ,3 2 1 q Th cy = -hJ 3 PgPg其中〃为波面高度,h为深度,G为重力加速度，p是水的密度，a是与水的匀速流动有关的 小常数,T是水的表面张力.此后Korteweg和de Vries利用行波法求出与Russel描述一致的 孤波解，争论才告终止.如果作变换1 rr & 1 1则方程(1)可写成标准的形式u, + uYYY +6uur = 0 , (3)后人为了纪念这两位伟大的学者对孤波做出的贡献将(1)或(3)称为KdV方程.时间跨越了 70年，转眼之间来到了 1965年，美国科学家Kruskal和Zabusky利用先进 的计算机通过数值计算详细研究了 KdvS7＞方程两波互相作用的全过程.他们对作用后所 得的数据进行对比，发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散色的性质，所以Kruskal 和Zabusky 乂将这种稳定的孤波成为孤了.从此一个研究非线性发展方程与孤了的热潮在学 术蓬勃地开展起来.随着研究的深入，大批具有孤了解的非线性波动方程在物理的各领域不断被揭示出，其 中包括等离了中的非线性Schrodinger方程、振子运动的Toda链与二维流体流动的KP方程 等.研究的结果表明，这些方程具有共同的性质.例如它都存在Lax对于无穷守恒律，都存 在等谱流于非等谱流，且相关的等谱流方程族构成无穷维Hamiton系统等.此外在这一时期 求解技术也取得长足的发展，除反散色变换外还产生出Hirota双线性导数方法，Backlund变 换与Wronskian技术.现在孤子己经形成了自己独特的理论和研究方法，并且在自然科学的 各领域中寻觅到它应用的踪迹.孤了不仅是非线性偏微分方程的一类特殊解，而且还代表某种具体的物理过程.存在非 线性是产生孤子的必要条件，而要维持孤了波形稳定不变，则需要同时存在别的物理效应. 非线性和这些物理效应共同作用的结果，使得孤了能够产生并维持波形稳定不变.例如光纤 中的时间光孤了，同时存在非线性效应和色散.色散使波形展宽，非线性效应使波形变窄. 在一定条件下两种效应达到平衡，维持波形稳定.而对于光折变介质中的空间光孤了，则是 存在非线性效应和衍射.孤了解是非线性偏微分方程的一类特殊解.一个非线性偏微分方程代表某种物理过程, 孤了解也具有确定的物理意义.KdV方程，非线性薛定说sine-Gordon方程等具有孤了解⑻.从数学的观点看，具有下列两性质的特殊解称为孤了解：⑴能量有限，且分布在有限的空间范围内；(2) 弹性碰撞(即在碰撞后能恢复到原来的波形和速度).但是，从物理学的观点看，一般认为，具有性质⑴的特殊解就可以称为孤子.以粒子物 理学中的孤子问题来说明这一点是最清楚的.在粒子物理学中，将孤子看成是量子场的激发 态，微观系统中的能量状态是分立的，人们所关注的是碰撞前后处于什么量了态，而不是波 形是否改变，又例如在单模光纤中的亮孤了，其中高阶孤子的波形在传播过程中会产生周期 性的变化，对于这些波形在穿传输过程中有明显变化的孤子，在物理学上任然称为孤子.所 以一般的只具有性质(1)的就可以称为孤子.研究一类广义的Burgers方程有很多种方法，例如：迭代法、微扰法、直接积分法和椭 圆函数法等［91. Burgers方程可描述许多物理现象，如黏性介质中的声波，具有导电的磁波流, 充满流体的黏弹性管中的波等，其一般形式为Ut^llUx- auXX = 0，其中。
为耗散系数.本文是用直接积分法求解一类广义Burgers方程的行波解.在现代科学中，广义的Burgers方程模式是一个重要的和普遍的非线性模式，Burgers方 程是非线性耗散方程，它在等离了体物理，非线性光学，量了场论和通信技术等领域有着重 要的地位和作用.众所周知，自从发现Burgers方程的孤立波解或孤立了以来，在理论和数 值方面已经出现了许多重要的文献发展它的孤了理论.因此求得Burgers方程更多的新的精 确解受到了数学和物理工作者的关注，它们对理论和应用的研究都有重要的价值.参考文献[1] M. J. Ablowitz, P. A. Clarkson. SolitonsNonlinear Equations and Inverse Scattering [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.[2] S. A. Elwakil, S. K. EL-labany, M. A. Zahran. Exact solutions for a generalized variable caefficients 2D KdV eqution [J], Chaos, Solitions and Fractals, 2004, 19〜1083.[3] E. G. Fan. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equation [J]. Phys- lettA, 200(), 277〜212.[4] Z. T. FU, S. K. Liu, S. D. Liu. Jacobi elliptic function expansion and new periodic solutions of nonlinear wave solutions [JJ. Phys, a, 2001, 290〜72.[5] 谷超豪等.孤立了理论及其应用[M].杭州:浙江科学技术出版社,1990.[6] W. Hereman, P. P. Banerjee, A. Korpelet al. Exact solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct algebraic method [JI. J. Phys. A: Math. Gen. 1986,19〜607.[7J G. X. Huang, S. Y. Lou, X. X. Dai. Exact and explicit solitary wave solutins to a model equ -ation for water waves [M]. Phys. Lett. A, 1989, 139〜373.[8] 李志斌，姚若侠.非线性耦合微分方程组的精确解析解[J].物理学报,2001, 50〜2062.[9] 刘式适，刘式达，赵强等.变系数非线性方程的Jacobi椭圆函数展[J].物理学 报,2202, 51 〜1923.[10] 周宇斌，王明亮.物理学中一个非线性耦合偏微分方程组的精确解[J].兰州大学学报,1996, 32〜31.。