精练14-二次函数压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a 7 +f o c +c与x轴交于A ( - 2 , 0 ) , B (4 , 0 )2两点，与)， 轴交于点C ,连接A C、BC.(1)求抛物线的函数表达式；(2 )点P为直线B C下方抛物线上一动点，连接O P交B C于点E ,当四的值最大时，0E求点P的坐标和煦的最大值；0E(3 )把 抛 物 线 产 工2+H+C•向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线2y' , M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程.=a ? +b x+c (a W O )与x轴交于点4 ( -2 , 0 )、点B (点A在点8左 侧 )，与 〉 轴交于点 C (0 , 3 ) , t a n / CB O =上.2(1)求二次函数解析式；(2 )如图2 ,点P是直线B C上方抛物线上一点，PD//y轴 交B C于D, PE//BC交x轴于点E ,求尸Q+B E的最大值及此时点P的坐标；(3 )在(2 )的条件下，当P D+B E取最大值时，连接P C ,将△ P CD绕原点。
顺时针旋转9 0至△ P C将原抛物线沿射线C A方向平移义亘个单位长度得到新抛物线，点2〃在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M, N, C , D '为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标. 图1图2 备用图3 .如图，已知直线B C的 解 析 式 为 尸 青 -3 ,抛物线y=/ +/ ? x+c与坐标轴交于A、B、C三点.(1)求抛物线的解析式;(2 )如 图1,若M ( ，〃 ，yi ) ， N (4 -/ n , y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且加< 2 .分别过点例，N作x轴的垂线，交线段B C于点£> 、E .通过计算证明四边形MO E N是平行四边形，并求其周长的最大值;(3 )抛物线y ^ + b x + c沿射线C B方向平移区■个单位，得到新抛物线yi ,点尸为yi的3 2对称轴上任意一点，若以点B , C, F为顶点的三角形是以8 C为腰的等腰三角形，直接a ^ +bx+2的图象与x轴交于A ,4 .如图，已知抛物线y=B两点，与y轴交于点C. - 1 , 3是关于x的一元二次方程a ? +灰+2 = 0的两个根.(1)求该抛物线的解析式;(2 )过点A作A O 〃 B C交抛物线于点。
A O与),轴交于点E , P为直线8 c上方抛物线上的一个动点，连 接 外 交8 c于点尸，求& P E F的最大值及此时点P的坐标;(3 )在(2 )的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点M 是否存在以点A , M , N , P为顶点的四边形是以物为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.平面直角坐标系中，已知抛物线y=o v2 +/ ? x+c Q WO)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C ,其中 A ( - 1, 0 ) , OB = 40A, t a n / CA B =3 ,连接 A C、B C.(1)求该抛物线的解析式；(2 )如图2 ,过4作A £> 〃B C,交抛物线于点点P为直线B C下方抛物线上任意一点，连接P ,与B C交于点E ,连接A E ,当△A P E面积最大时，求点P的坐标及△A P E面积的最大值；(3 )如图3 ,在(2 )的条件下，将抛物线先向右平移上个单位，再向上平移3个单位后2与X轴交于点足G (点F在 点G的 左 侧 )，点 为直线A C上一点，连 接QP、Q G、P G ,当△ QP G是以P G为腰的等腰三角形时，请直接写出点。
的坐标.6 .如 图1,在平面直角坐标系xO y中，抛物线y=/ +b x+c,(氏c为常数)与y轴交于点C ,对称轴为直线x = - 3 ,点N ( -4 , - 5 )在该抛物线上. (1)求该抛物线的函数表达式；(2 )连接C N ,点尸是直线C N下方抛物线上一动点，过点P作 尸 轴 交 直 线C N于点H,在射线C H上有一点G使得P H = P G .当△ P G H周长取得最大值时，求点P的坐标和△ P G H周长的最大值；(3 )如图2 ,在(2 )的条件下，直线/ ： 丫=1 - 3与 》轴、y轴分别交于点区F ,将2 2原抛物线沿着射线F E方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E ,动 点M在平移后的抛物线上，点7是平面内任意一点，是否存在菱形ME 7 P ,若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由.角坐标系中，抛物线y=a ? +b x+c (“ 、b、c为常数，a / 0 )的图象与x轴交于点A (1,0 )、B两点，与y轴交于点C(0 , - 3 ) ,且抛物线的对称轴为直线尤= -1.(1)求抛物线的解析式；(2 )在直线2 c下方的抛物线上有一动点P ,过点P作尸轴，垂足为点M ,交直线BC于点、N,求尸N+ &C N的最大值，并求出此时点P的坐标；(3 )如图2 ,若抛物线沿射线4 c方向平移也个单位长度得到抛物线y ，点E为新抛2物线y'上一点，点尸为原抛物线对称轴上一点，取(2 )中最大值时点P ,是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点£的坐标，若不存在，请说明理由 . 1,抛物线y=a / +〃x+4交无轴于A ( - 2 , 0 ) , B (4 , 0 )两点，与)， 轴交于点C ,连接AC, BC.(1)求此抛物线的解析式；(2 )户是抛物线上位于直线8 c上方的一个动点，过点尸作P Q〃y轴交B C于点Q ；过点P作P E V B C于点E ,过点E作E F L y轴于点F ,求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；(3 )如 图2 ,将抛物线y=〃 / +H +4沿着射线C 8的方向平移，使得新抛物线y '过点(3 , 1 ) ,点 。
为原抛物线y与新抛物线＜ 的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点 ，为新抛物线y '上一动点，直接写出所有使得以A , D, G, H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来.面直角坐标系中，抛物线y=a ? +b x+3 (a W O )与x轴交于A ( - 1, 0 ) , B (3 , 0 ) ,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2 )如 图1,点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作P Q〃 A C交B C于E ,交x轴 于点D ,求3叵P E + & B E的最大值以及此时点尸的坐标；5（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，将抛物线沿着射线C A方向平移行个单位长度得到新抛物线） “ ，新抛物线yi和原抛物线相交于点E新抛物线yi的顶点为点G,点M是直线F G上的一动点，点N为平面内一点.若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程.直角坐标系xO y中，抛物线＞ = 2 ? + & - 2与x轴交于A、B两点（ 点A在点B的左侧） ,3 3与y轴交于点C.点A的坐标；（ 2 ）如 图1,连接A C ,点 。
为线段4 c下方抛物线上一动点，过点E 〃y轴交线段A C于E点，连接E记△ A DC的面积为S i , a A E的面积为S 2 ,求S i - S 2的最大值及此时点的坐标；（ 3 ）如图2 ,将抛物线沿射线C B方 向 平 移 个 单 位 长 度 得 到 新 抛 物 线 ，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△ A MN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标. 11.如 图1,在平面直角坐标系中，抛物线+法+c (” w o )与直线丫=_^ _*+2交于x轴上的点8 , y轴上的点C ,且其对称轴为直线乂菖.该抛物线与x轴的另一交点为点A ,顶点为M.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2 )如图2 ,长度为遥的线段 尸段3 c上 滑 动 (点 在点F的 左 侧 )，过 尸分别作y轴的平行线，交抛物线于E , P两点，连 接P E .求四边形P F DE面积的最大值及此时点P坐标；(3 )在(2 )问条件下，当四边形P F D E面积有最大值时，记四边形P F D E为四边形P\F\D\E\.将四边形PIFIDIEI沿直线B C平移，点P i , E 1关于直线B C的对称点分别是点尸2 , E 2.在平移过程中，当 点 P2,及 中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P 2 ,Ez的坐标.tan N A C。
］ ，( 1 )求抛物线的解析式;( 2 )如 图1 , P点为一象限内抛物线上的一个动点，点是BC中点，连 接PBD,P B .求△ 8 O P面积的最大值以及此时P点坐标；( 3 )如图2 ,将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线yi , M为新抛物线对称轴上一点，N为直线A C上一动点，在( 2 )的条件下，是否存在点M,使得以点P、B 、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 平面直角坐标系中，抛物线)' =— + 灰+4与x轴交于点A ( - 6 , 0 ) , B ( 4 , 0) ,与y轴交于点C.( 1 )求该抛物线的解析式；( 2 )如 图1 ,点 与 点C关于抛物线的对称轴对称，连 接8交y轴于点G,作直线O点P为线段上方的抛物线上任意一点，过点P作P E 〃y轴交8于点E ,过点P作直线于点F.当P E +渔尸尸为最大时，求这个最大值及此时点尸的坐标；2( 3 )如 图2 ,连 接BC, C D ,将△ O CO绕 点 顺时针旋转a ( 0 °
平移得到O 7 T ,连接A O ' , A D " ,请问在平移过程中，是否存在△ A O 7 T是 以07r为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出O”的坐标，若不存在，请说明理由.交y轴于点C ,且O C=3 .( 1 )求该抛物线的解析式；( 2 )点P为直线B C下方抛物线上的一点，连 接AC. B C、C P、B P ,求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标； ( 3 )把抛物线丫=0 ?+ 桁+ , 平移，使得新抛物线的顶点为( 2 )中求得的点P , R为新抛物线上一点，S 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A , C, R, S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个求点R的坐标过程写出来.线- 4与 x 轴交于A , B 两 点 ,与 y 轴交于点C ,且点A的坐标为( - 2 , 0 ),直线B C的解析式为y = L - 4 .2( 1 )求抛物线的解析式.( 2 ) 如 图 1 , 过点人作A Q 〃 B C交抛物线于点 ( 异于点A ) , P是直线BC 下方抛物线上一点，过点尸作P Q 〃 y轴，交AD 于点° , 过点。
作 R _ L B C于点R,连接P R . 求△ PQR面积的最大值及此时点P的坐标.( 3 )如图2,点 C 关于x轴的对称点为点C ',将抛物线沿射线C' 4的方向平移2 遥个单位长度得到新的抛物线y‘，新抛物线了 与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有一动点N,平面直角坐标系内是否存在一点K,使得以O , M, N, K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.图1图21 6 . 如图，在平面直角坐标 系中，抛物线y ' x 2亭+2交x轴于A、B两点( 点A在点B左侧)，交y轴于点C,一次函数y=A x + b ( A # 0 )与抛物线交于B、两点, 已知 cosZAB D=5( 1 )求点的坐标;( 2 )点F是抛物线的顶点，连接B F . P是抛物线上尸 、两点之间的任意一点，过点P作 PE〃 B F交BD 于点E ,连接P F、P D 、F E .求四边形P F E Q面积的最大值及相应的点P的坐标；( 3 )连接A C ,将抛物线沿射线A C方向平移5遥个单位长度得到新抛物线y ，新抛物线与原抛物线交于点G . S是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G 、S、A、T四点能否构成以A S为边的菱形？若能，请直接写出点7的坐标；若不能，请说明理 精练14-二次函数压轴题1 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a7 + f o c + c与x轴交于A ( - 2 , 0 ) , B ( 4 , 0 )2两点，与)， 轴交于点C ,连接A C、BC.( 1 )求抛物线的函数表达式；( 2 )点P为直线B C下方抛物线上一动点，连接O P交B C于点E ,当四的值最大时，0E求点P的坐标和煦的最大值；0E( 3 )把 抛 物 线 产 工2+H+C•向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线2y' , M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程.A ( - 2 , 0 ) , B ( 4 , 0 )代入 丫=1 2 + 8 +小2得( 2 - 2 b+ c =0 ,I8 + 4 b+ c =0解得(b l,I c =- 4工抛物线的函数表达式为y = "- x - 4 .2( 2 )如 图1 ,作P G L工轴于点G,交B C与 点 、F,也物线 - x - 4 ,当 x =0 时，y=- 4 ,2： .C ( 0 , - 4 ) ,设直线8 c的函数表达式为 > = 依 -4 ,则4 k - 4 =0 ,解得左= 1,，直线8 C的函数表达式为y=x - 4 , 设 P Cx, -Xr - x - 4 ) ,则 尸( x, x - 4 ) ,2PF=x - 4 - (-kr2 - x - 4) = - -Xr2+2x,2 2'：PF//OC,: ./\PEFS/\0EC,/. - = — = A ( - = - — ( x - 2 ) 2+ A ,OE OC 4 2 8 2. . . 当x = 2时，煦的值最大，最大值为工，此时尸( 2 , - 4 ) ,0E 2. . . 点P的坐标为( 2 , - 4 ) ,四的最大值为工.0E 2(3) V j —Ax2 - % - 4—— (x - 1 ) 2 - - ,2 2 2,该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线为y' = L (X-2 )22 一 乌2 ，即＜ = ：- Z r - 9 ,该抛物线的对称轴为直线x = 2 ,顶点坐标为( 2 , -迫 ) ，2 2 2如图2 , 8 c的中点为。
2 , - 2 ) ,当点M与抛物线的顶点重合时，则点N与点M ( 2 , - 1 1 )关于点 2 , - 2 )对称，2'：BQ=CQ, MQ=NQ,：.四边形BMCN是平行四边形，此时 N ( 2 , 5) ；2如图3 ,四边形B C M N是平行四边形，且点M在直线x = 2的左侧，过点M作直线x = 2的垂线，垂足为点R ,'：MN//BC, Q N 〃y 轴，NMNR= NBQN= ZBCO,"：MN=BC, NMRN=NBOC=90° ,:./XMRN沿丛BOC CAAS),：.RN=OC=4, RM=OB=4,. . . 点M的横坐标为-2 ,抛物线y' = l r2 - 2 x -旦，当x = - 2时，y' = 1 ,2 2 2：.M ( - 2 , 3 ) , R ( 2 , 3) ,2 2 .".yw=—+4=AL,2 2：.N (2, -1 1 )；2如图4 ,四边形BCNM是平行四边形，且点M在直线x = 2的右侧,过点M作直线x = 2的垂线，垂足为点从■: MN//BC、QN〃 y 轴，工 NMNH= NBQH= NBCO,,:MN=BC, NMHN=NBOC=90° ,:.△MHNQ2BOC (AAS),：.HN=0C=4, HM=0B=4,. •. 点例的横坐标为6,抛物线 y' =-kx2 - 2x - - ,当 x=6 时，y ' =—,2 2 2：.M (6, 3 ) , H (2, 3 ) ,2 2• • yjv=-^- - 4= -’2 2：.N ( 2 ,- 反 )，2综上所述，点N的坐标为( 2 ,互 ) 或( 2, 1 1 )或( 2, - 1 ) .图3图4 二次函数y=n / + bx + c ( a# 0 )与x轴交于点A ( - 2 , 0 )、点8 ( 点月在点8左 侧 )，与 y 轴交于点 C( 0 , 3 ) , tan/C B O =JL.2( 1 )求二次函数解析式；( 2 )如 图2 ,点P是直线B C上方抛物线上一点，P £ >〃y轴 交B C于 。
P E 〃 B C交x轴于点E ,求尸O + 8 E的最大值及此时点尸的坐标；( 3 )在( 2 )的条件下，当P D+ 8 E取最大值时，连接P C ,将△ P CD绕原点顺时针旋转9 0至△ P C将原抛物线沿射线C 4方向平移义巨个单位长度得到新抛物线，点2M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M , N , C , D '为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标.图1图2 备用图【 解答】解：(1)• • , 点C的坐标为(0 , 3 ) ,O C = 3,；t a n N C B O = C 2 = LB O 2： .OB = 6, . . . 点B的坐标为(6 , 0 ),由抛物线经过点A ( - 2, 0 ) , B (6 , 0 )设抛物线的解析式为y = " (x +2) (x - 6 ),将 点C (0 , 3 )代入解析式为“ 义(0 +2) X (0 - 6 ) = 3,4. •. 抛物线的解析式为)- -A (x +2) (x - 6 ) = - f、x2+x +3.(2)过点尸作尸F〃x轴交B C于点八' ： PE//B C,四边形PEB F为平行四边形，： .PF= B E,： .PD+B E= PD+PF,设直线B C的解析式为y = H +〃 ，则, c = 3 ，解得：|16k+b=0 |b = 3直线B C的解析式为y = - Xx+3,2设点P的坐标为Cm, - L /+〃? +3),则点。
的坐标为(m, - —m+3) ,4 2PD- - -ni2+m+3 - ( - L 〃+3) - - ^ m2+—m,4 2 4 2；P F〃x 轴，点尸和点尸的纵坐标相等，即- _ k r +3= - L p+m +3,2 4, *. x = A w2 - Im,2• •. 点 F 的坐标为( I / - 2m, - - i m2+n ? +3) ,2 4PF= m - (A z n2 - 2/n ) = - A w2+3w ,2 2PD+B E= - -n^ +—m+ ( - A /n2+3w ) = - - m2+—m = - — (m - 3) 2+^ -L ,4 2 2 4 2 4 4当 机=3时，PD+B E的最大值为Z L4此时，点尸的坐标为(3,生) ；4(3)由(2)中得，点P的坐标为(3, 1互 ) ，4. •. 点的坐标为(3, 3 ) ,2 •. •△P C D绕着点顺时针旋转9 0 °得到△P ， CC (0 , 3 ) ,. •. 点的坐标为(3, 0) ,点 , 的坐标为(旦，- 3 ) ,2「A ( - 2, 0 ) , C (0 , 3 ) ,•,-AC=-^2^+3^ = V ^ 3 ,• • •抛物线沿射线C 4方向平移2抛物线向左平移了 1个单位长度，向下平移了3个单位长度,2. . . 平移后抛物线的对称轴为直线X =* __1 = 1 ,2设点 M (1, y ) , N (a , b) , C (3, 0 ) , D' (A , - 3 ) ,2①以 MN为对角线时，如图①，^XM+XN=XC'+XD', yM +yN = yc' +yD' , C M2+ C N2=MN2,3l +a = 3+y1 y +b= 0 - 3 ， 解 得, (3- 1) 2 +y 2 + (a - 3) 2 +b2= (a-l ) + (y - b) 2，7a^2V 5 - 3. •. 点N的坐标为(工， - 旦 + 近 ) 或 ( 工 ， - 旦 - 近 _ ) ；2 2 2 2 2 2② 以MC为 对 角 线 时 ， 如 图 ② ，有XM+XC' = XN+X» , yM +yd =川+”7 , C M2 =3l +3= a +- ^ -y +0 = b-3(3- 1) 2+y 2= (a - 3) 2+b2 + (a - l ) 2 + (y - b) 2. . . 点N的坐标为(5 , 1 ) ；2 4解得:y =11T③以 为对角线时，如 图③，有 XM+XD'XN+XC', yM +yD' yN +yc' , C M2+ M N2 =C N2, Ql埼=a+3y-3=b(3-1)2 +y2 + (a-1)之 + (y-b) ^ = (a-3) +b2，解得：b=-2y=l. •. 点N的坐标为（- 工 ，- 2）；2综上所述，当以点M , N, C' , D '为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（ 工， -23 +亚 _ ）或 （ 工，-2 -V I ）或（ 5,工）或 （- 工 ，- 2）.2 2 2 2 2 2 4 2图①3 .如图，已知直线B C的解析式为 >=当 -3 ,抛物线y= 7 +云+。
与坐标轴交于A、B、C三点 、 .（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如 图1,若） ， i ） , N （ 4 - m, "）是第四象限内抛物线上的两个动点，且根< 2 .分别过点M , N作x轴的垂线，交线段B C于点E .通过计算证明四边形M O E N是平行四边形，并求其周长的最大值；（ 3）抛物线y = /+f e v +c沿射线C 3方向平移班个单位，得到新抛物线y i ,点F为y i的32对称轴上任意一点，若以点B , C ,尸为顶点的三角形是以8 c为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标. 线8 c的解析式为y = M v - 3,' 4令y = 0 ,则x = 4 ,即点B是（ 4 , 0 ）令 x = 0 ,则 y = - 3 ,即点 C 是(0 , - 3 ) .把点 8 (4 , 0 ) ,点 C (0 , - 3 ) .13代入到抛物线y = 7+原+c中 . 得 ｛ D- 4 .c=-3抛 物 线 的 解 析 式 为- 4 - 34(2) • ••若M (m, y i ) , N (4 - m, ") 是第四象限内抛物线上的两个动点，y\ = m2- 3, y2= (4 - /n ) (4 - m) - 3.4 4, /直线B C的解析式为y = - Ir - 3.4・ ・ •过点M , N作％轴的垂线，分别交线段B C于点 。
E,(m ,旦加- 3) , E (4 - z n , - - m ) .4 4： ・M D = - (m2 - ^ -in - 3 ) - (3 - - m ) = - m2+4/n94 4:・ EN = - (4 - m) 2+4 (4 - m) = - nr+4m.:.M D= EN .• ・•过点M , N作x轴的垂线，分别交线段B C于点O , E,： .M D//EN .・・・四边形M D E N为平行四边形.过 作于R则= 4 - 2小，如图, ・ ・ ・ 0B=4, 0C=3.：.BC=5,• : DF〃OB.:"EDF=ZOBC. •:/COB=/DFE=90° ,:•△DFEs^BOC.. DF = DE• •丽 B C '・ 4 - 2m _ DE・, 一厂V：.DE^^- (2 - /n ).2，平行四边形MOEN的周长=2MC+2OE=2(- 序+4瓶)+2X$(2 -2；- 2»+3血+10= - 2 (m 3 ) 2+毁 ，4 8又 -2<0,. . . 当〃?= 3时，四边形MOEN的周长有最大值 毁 .4 8( 3 )设平移后的抛物线的解析式为：y\=^+b\x+c\,点C平移后对应的点Ci的坐标为(f, 3 ),4点B平移后对应的点B的坐标为(s, J.Z -3 ),4其中，t>0, s>4.• . , 抛物线了= /+云+。
沿射线CB方向平移至个单位，C (0, - 3)32m)= - 2扇+3/n+10., B (4, 0 ),:.C C i= {t2 +号 t )=寻 = （S-4 ）2 + （ -|-S-3 ）= 零解得：仁卫_ , $= 全 -8 8的坐标为（ 红 ， -世 ），8 328 1的坐标为（ 壁 ，- 2 3 ）.； •抛物线的对称轴为直线：x = 3., /点尸为y i的对称轴上任意一点，二设点尸的坐标为（ 3, 〃 ）.VB （ 4 , 0 ） , C （ 0 , - 3）,： .B C= 45-• • •以点5 , C, F为顶点的三角形是以8 c为腰的等腰三角形,. . . 当 B尸= B C 时，（ 4 - 3）2+n2 =5）解得：” = +2遍 .二点尸的坐标为（ 3, 2娓 ）或（ 3） -2娓 ）.当 C尸= 8 C时，62 + 7 + 3 ） 2= 5 ,解得：〃= 1或 -7.・• ・点尸的坐标为（ 3, 1）或（ 3- 7）.综上所述：符合条件的点尸的坐标为（ 3, 2泥 ）或（ 3, - 2遍 ）或（ 3, 1）或（ 3 ,-7）.4 .如图，已知抛物线y = a /+f c v +2的图象与x轴交于A , B两 点 ,与y轴交于点C . - 1, 3是关于x的一元二次方程0 ? +公+2 = 0的两个根.（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）过点A作4 D〃 B C交抛物线于点。
A与y轴交于点E , P为直线8 c上方抛物线 上的一个动点，连 接 外 交B C于点F ,求& P E F的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点M 是否存在以点A ,M , N , P为顶点的四边形是以以为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存 在， 请 说 明 理由.备用图【 解答】解：( 1) ； - 1, 3是关于x的一元二次方程以2+ 加+2 = 0的两个根，( b … (2—O =-1+ 3 a=" s
90° ,：.ZOAQ=ZOQA=45° ,・・・OQ=OA=L Q (0, - 1 ) ；设直线A M 的 解 析 式 为 - 1, 则-〃7 - 1 = 0 , 解得m= - 1,.\y = - x - 1 ；设直线PN 的解析式为y = -x + 〃 ，则 管 " = " | , 解得〃=4,- x+4.'y= -x-l f X 1=-由4 2 2 4 ，得4y=-g-x q x + 2 [y ^O:.M ( 9 ， 」 1 ) ；2 2 设直线MN的解析式为y= x+r,则 £ + _ =--lk,解得r- - 10,•\y= x - 10,由(y= -x+ 4 ,得f x=7 ,...可( 7 , - 3 ) ；ly=x-10 ly=-3设P N交抛物线于另一点M ', 作M' Nf 〃A P交AM于点N' .： . Mf ( 2 , 2 )，设直线M' N'的解析式为y=x+ d,贝i」2 + d=2 ,解得d=0,•\y= x9( =」由 产- x - 1 ,得「 一3I y=x v =_l当矩形A N' M ' P以A P、P M'为邻边，则N '（」 ，_ A ）.2 2综上所述，点N的坐标为（ 7 , -3 ）或 （ 一L」 ）.2 2面直角坐标系中，已知抛物线y=a? + fe r+ c QW0 ）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C ,其中 A ( - 1, 0) , O 2 =4O A , tan/ CA B=3 ,连接 A C、B C. ( 1)求该抛物线的解析式;（ 2 ）如图2 ,过A作A O 〃 BC,交抛物线于点。
点P为直线B C下方抛物线上任意一点，连接P ,与B C交于点E ,连接A E ,当△人产£ 面积最大时，求点P的坐标及aA P E面积的最大值： ( 3 )如图3 ,在( 2 )的条件下，将抛物线先向右平移工个单位，再向上平移3个单位后2与x轴交于点R G ( 点尸在点G的 左 侧 ) ，点 为直线A C上一点，连 接Q P、Q G、P G ,当a O P G是以P G为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标.图1图2图3【 解答】解：( 1) VA ( - 1, 0) , OB=4OA,： .B ( 4, 0) ,V tan Z C A B = 3 ,• 0C—q0A： .C ( 0, - 3 ) ,将 A ( - 1, 0) , 8 ( 4, 0) , C ( 0, - 3 )代入 y=o v2 + b x+ c 得：f 30=a-b + c 4< 0=16 a+ 4b + c ，解得〈卜__-3 =c 4c= "3抛物线的解析式为y = ¥ - 9 3 ；(2 )过P作 PF // AD交x轴于F ,连接D F ,如 图 ： 则［ 0=4d+e,解 得 ,吟,直 线8 c为丫= 工-3 ,4由A £ ) 〃8 C,设 直 线A £ >为y=>|、K / ,把A ( - 1, 0 )代 入 得 :0= - 1 + f , 解 得 / = 旦 ，4 4直 线 A D 为 > = 工+3 ,-4 4：.D (5, 9 ) ,2'：A D //B C ,• • Sd ADE= S M D B,而 SAADB— ^ A B,\yD\ — — X 5 X — — —,2 2 2 4Sz\ADE=必 ,4设 P ( m, I m2 - I m- 3 ) ,而 P F / / A D ,设 直 线 P F 为 y=W x+ g,4 4 ' 4则- 3 =3 / 〃+ ? ,解 得g=§m2 _ 3 ," - 3 ,...直 线 pF为 > = 当 +3 ," 2 - 3 ," - 3 ,4 4 4 4 - 4 4令 y=0 得 x= - W2+4/M+4, A F ( - m2+4m+4, o ) ,,: PF 〃 AD,S & ADF= S & ADP,而 SAADF=-X4F>|yD| = A = A [ -加2+4团+4 - ( - 1 ) ]・ 9 = - -^m2+9/??+-^->2 2 2 2 4 4Q AH' .S^ ADP= -斗广+ 9 m+金^,4 4-'.SM P E=SM DP - S/\ADE= - -^/ n2+ 9 / n= - — ( w - 2 ) 2+ 9 ,4 4； .m=2时，SA”E最大，最大值为9 ,： .P ( 2 , - 2 ) ；2( 3 )将抛物线) ， = 当2 - l x - 3先向右平移工个单位，再向上平移3个单位，得到的抛” 44 2物线解析式为 y=— ( x - A ) 2 -9 ( x - _L ) - 3 + 3 =m2 - 3X+ 2 L4 2 4 2 4 16令>,=0得x=1•或x = —,2 2： .G ( 工，0) ,2VA ( - 1, 0) , C ( 0, -3 ) ,直线A C的解析式为y= - 3 x - 3 ,设 Q ( 〃 ， - 3 〃 - 3 ) ,则 Q G2 ：( 〃-工)2+ ( - 3 〃 - 3 ) 2,。
产 =( 〃 -2 ) ， ( - 3 〃 -23 + 9 )2, PG2= ( Z -2 ) 2 + ( 9 ) 2 =里 ，2 2 2 2△ Q P G是以P G为腰的等腰三角形，分两种情况：® P G =QG 时，( ”- 工产+ ( - 3 ” - 3 / =至 ，解得” =二11理 叵 _或_ 2 2 2 0 2 0• Q ( Z11+ 3 VH -2 7 -9 V19 )或( -11-3阮 -2 7 + 9任).“ 2 0 ’ 2 0 - 2 0 ' 2 0 _ _ _②P G-Q P 时，( “ -2 ) 2 + ( -3 〃-3 + 9 )2 - 45 , 解得” =13 + 3相或〃=13 -3何,2 2 2 0 2 0:.Q ( 13 + 3标,-9 9 -9 V9 1)或( 13 -3相,-9 9 + 9标), 综上所述， 的坐2 0 2 0 2 0 2 0 _ _标为： 「11+ 3匹-2 7 -9内、 或， -11-3 -用 -2 7 + 9后、 或 “3 + 3何,_ 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0-9 9 -9拘)或( 13 -3何 -9 9 + 9阿、-2 0 一 2 0 2 0 ,6 .如 图1,在平面直角坐标系尤。
) ， 中，抛物线y=/ + 6 x+ c ( b、c为常数) 与y轴交于点C, 对称轴为直线x = - 3 ,点N ( -4, - 5 )在该抛物线上.( 1)求该抛物线的函数表达式；( 2 )连接C M点P是直线C N下方抛物线上一动点，过点尸作P 4〃y轴交直线C N于点H ,在射线C H上有一点G使得P H = P G .当△ P G H周长取得最大值时，求点P的坐标和△P G ”周长的最大值；( 3 )如图2 ,在( 2)的条件下，直线/：) ， = 工 一 旦 与x轴、y轴分别交于点E、F ,将2 2原抛物线沿着射线F E方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E ,动 点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形M E T P ,若存在，请直接由 , 图1 图2【 解答】解：( 1 )根据题意得：｛ 2 , ，16-4b+c= _5解得：卜 =6,1 c=3该抛物线的函数表达式为y= f + 6 x+ 3 ；( 2)如 图1 ,过点P作P K L C N于点K,设直线C N交x轴于点M ,令 工=0 ,得y= 3 ,： .C ( 0 , 3 ) ,设直线C N的解析式为y= f c c + " ,把C ( 0 , 3 )、N ( - 4 , - 5 )代入得：J n = 3I-4k+n= _5解得：产，[n=3直线C N的解析式为y= 2x+ 3 ,令 y = 0 ,得 2x+ 3 = 0 , 解得：X = - -,2：.M ( 一 旦，0 ) ,22VC (0, 3 ) ,OC=3,在 Rt^CMO 中，CM ={oc20M 2 =荷 +(_|)2=嘤设 P ( 6 P+6f+3),则 H (t, 2f+ 3 ),：.PH= (2r+3) - (P+6r+3) = - ? - 4z,:.PG= - P-4f,,:PH=PG, PKLHG,：.HG=2HK,■: PKLCN,:.NPKH=NMOC=90° ,：P/7〃 y 轴，:.NPHK=NMC0,:APH Ks/\M C0,. H K = O C 即 H K" P H C M ,、_ t2_4 t 3代2:( - ? - 4 r ) ,5：.H G = .^~ ( - ? - 4 r),5_.♦.△PG“周长= Ph+PG+HG= ( - ? - 4r) + ( - ? - 4/) ( - ? - 4r) = - 4V s+10_ _ _ 5 5(?+4z) = - 4、 而+ 1 0 ( ,+2)2+ 16V5 +40 ； _ 4 ^ tlP.,ME=PL: A M JE经ATU3 （ AAS）,: .MJ=TL= , PL=JE= 5 ~ ^ ,2 2 _. . . 点T 的横坐标为-2+且 返 =返 包 ，纵坐标为- 5+左 医 =- 5 - 、后 ,_ 2 2 2 2点的坐标为（ 运 包 ， -旦 返 ），2 2②当M 点的坐标为（ 上 正 ， 旦过）时：2 2 _ _同理①可得T 点的坐标为（ 土近返心），综上所述，7 点的坐标为（ 运 包 ,_ _ _ 2 2 23 7 5 - 9）或（1-后痣 _ 至 ）2 - 2 , 2 如 图1 ,在平面直角坐标系中，抛物线y= a /+ f e v+ c ( “ 、氏c为常数，。
#0 )的图象与无轴交于点A G , ( ) ) 、8两点，与) ， 轴交于点C ( 0 , - 3 ) ,且抛物线的对称轴为直线x= - 1 .( 1 )求抛物线的解析式；( 2)在直线B C下方的抛物线上有一动点P ,过点P作轴，垂足为点例，交直线8 C于点N,求PN+&CN的最大值，并求出此时点P的坐标；( 3 )如图2 ,若抛物线沿射线A C方向平移逗个单位长度得到抛物线八点E为新抛物线V上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取( 2)中最大值时点P ,是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理b= - 〃 + 3 ,• ・•函数的对称轴为直线l=- 1 ,: . - - ^ - = - 1 ,即 b= 2a ,2a :.-a +3 — 2a ,• ・ =1 , / ? — ■ 2, c = - 3 ,二次函数的解析式为y= f + 2r - 3 .( 2)当 y= 0 时 ,x^ +2x - 3 = 0 ,解得：x = l或x= - 3 ,： .B ( - 3 , 0 ) ,过点C作直线PM的垂线，垂足为点H ,• . , 点 8 ( - 3 , 0),点 C ( 0 , - 3 ) ,： .OB = OC= 3,. •. △O B C是等腰直角三角形，. . . △C H N是等腰直角三角形，:.CN= MCH,： .PN +近 CN = PN +2CH,设直线B C的解析式为y= f c v+ 6 ,则1 3k+b=0,解得：(k = -l,Ib=_3 Ib= -3，直线5 c的解析式为y= - x- 3 ,设点P的坐标为( 尤，X2+2X - 3 ) ,则点N的坐标为( x, - x - 3 ) ,： .PN = -x-3- ( 7+ 2x- 3 ) = - x2 - 3x, C H = - x,:. P N + M C N = - ? - 3 x+ 2 ( - x) = - 7 - 5 x= - ( x+ 5 ) 2+ 至 ，2 4. . . P N + & C W的最大值为空，此时点P的坐标为( - 5 , -1).4 2 4( 3 ) • . •点 A ( 1 , 0),点 C ( 0 , - 3 ) ,A O A = 1 , O C = 3 ," .AC= yfld，• . •抛物线沿射线A C方向平移呼•个单位长度得到抛物线y' , . . . 抛物线先向左平移/个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y‘ ，2二抛物线 y'的解析式为 > •= ( x+ A ) 2+ 2 ( x+ A ) - 3 - 3 = /+ 3 x -旦 ，2 2 2 4设点 E ( e , e2+3e - H )，点 F ( - 1 , /) , B ( - 3 , 0 ) , P (- 自， - 工 ) ，4 2 4 ① 以 尸E为对角线时,56 -1 = -3-3_ . ，解得：＜e2+ 3e -^ -+ f = -44 4e =f=~22红 ’T. ..点E的坐标为（-9 ,22) ；②以“ 为对角线时,R-l -^ -= e-3，解得：，f 4- = e2+ 3e -^ -4 4e =1 _222. ♦ .点E的坐标为（-工,2③ 以F 8为对角线时,5,-l -3= e — y ( 一g _, ci解得：I ° = 万f= e2+3 e- f4 |f= -7点E的坐标为（-3, - 2 1 ）；2 4综上所述，点E的坐标为（ -9,工）或（ -L - 9）或（- 旦，- 2 1 ）.2 2 2 2 2 4一 》图1 8 .如 图1 ,抛物线y = «?+ b x+ 4交x轴于A ( - 2, 0) , B (4,0）两点，与y轴交于点C ,连接A C , BC.（ 1 ）求此抛物线的解析式；（ 2） P是抛物线上位于直线B C上方的一个动点，过 点P作P Q〃y轴交B C于点Q ；过点尸作尸E L B C于点E ,过点E作E FL y轴于点F ,求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；（ 3）如 图2 ,将抛物线） ， = 以2+云+4沿着射线C B的方向平移，使得新抛物线y '过点（ 3, 1 ）,点 。
为原抛物线y与新抛物线y 的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点 ”为新抛物线y '上一动点，直接写出所有使得以A , D, G, H为顶点的四边 形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来.答】解： ( 1 ) ；抛 物 线 ＞ = /+ 公 + 4 交 x 轴于A ( -2 , 0) , B (4, 0 ) 两点，. (4a~ 2b + 4= 01 1 6 a+ 4b + 4= o '' J解得：. 一 三 ，b = l. ••此抛物线的解析式为y= -XX2+X+4；2( 2 ) 如 图 1 , 延长FE交 P于点G,则 FGA.PQ ,：抛物线y= -AX2+X+ 4与 y 轴交于点C,2： .C (0, 4 ) ,,:B (4, 0 ) ,； .O 8=O C =4,；NBOC=90 ° ,...△BOC是等腰直角三角形，ZCB O= ZB CO= 45° ,设直线4 c 的解析式为＞= 履+ ” ,将 5 (4, 0) , C (0, 4 ) 代入得I4 1 s 4 n=°,I n = 4解得：(k = T ,1 n = 4直线A C的解析式为y= - x+4,• . •点P 在抛物线上，PQ〃)， 轴交8 c 于点Q,. •.设 P (w, —— w2+/n+4) , 则 Q (机， - 771+4), 其中 0＜机＜4,2/. P Q = _^ -m2+m+4 - ( - m+4) =^ -m2+2m,2 2 • ： PE IB C, P Q〃)， 轴，： .ZPEQ = 90° , N PQ E= N B CO= 45° ,C.^ PEQ是等腰直角三角形，: EGL PQ ,.' .EG= —PQ = —X (— -m2+2m) = - ^ -m2+m,2 2 2 4： .EF= FG - EG= m - ( - = X n2,4 4： .2PQ +EF= 2X ( _ X n2+ 2m ) + AW2= - -3^2+ 4/7?= - 3 ( 〃L 旦 )2+ J A ,2 4 4 4 3 3：-3 V O ,4. •.当加= 旦时，2P Q+ E F最大值为西，此时P (3, 28)；3 3 3 9(3) ; B (4, 0) , C (0, 4) , y= J^ +x+4= -X (J C - 1 ) 2+ 2,2 2 2. ..将抛物线y = *+ x+ 4沿着射线C B的方向平移，即向右平移t个单位，向下平移t2个单位，平移后的新抛物线解析式为y = [ (无--) 2+ _ 1 -t,• • •新抛物线＞'过 点(3, 1 ),二1 =」(3 - 1 -力 2+ 9 7,2 2解得：1 = - 1(不符合题意，舍 去 )或 ，= 3,・'新抛物线的解析式为y =」(x - 4) 2+ —= ,A r2+ 4x --,2 2 2 2y= _y x +4X-7~由 f 得1 2 ,y = -7-x + x + 4x4： .D (工，1 1 ) ,2 8• • •点G为原抛物线的对称轴上一动点，点〃为新抛物线y '上一动点,. •.设 G (1 , s ) , ” (r , _ A /2+ 4r -空)，而 A ( - 2, 0),2 2① 以AH, D G为对角线时, 7-2,+ r = —+ 1则《12 , 1 3 A 1 17 r + 4i •-〒+0 =s%解得：r = J l,2_A/-+4/-- 至=- A x （ 至 ）2+4X卫- 至=- 迫 ,2 2 2 2 2 2 8： .H （ 卫 ， - 乌；2 8②以AG、。
”为对角线时，则《7-3+ l = r + ^ -c 12 4 1 3 1 1s + O = -q r + 4r -”■气解得：r = 」工，2-r+4r - - A x ( - .11.) 2+4X ( - A L)2 2 2 2 2( 卫， 型) ；2 81 3 = _ 349~2 ~3~,③以AG” 为对角线时，-2 -^ = r+ l则|，1 1 A 1 2 ， 1 3-g -+O = -y r +4r -+s解得：r = 2，2/ .，2+4,. 一 区=- A x (A ) 2+4XA -型=-3L ,2 2 2 2 2 2 8： .H ( X - 3 7 );综上所述，H 的坐标为：H (1 1 , - 1 1 ) 或 H ( J I , -3 4 9)2 8 2 8 2 8或呜-乳 角坐标系中，抛物线y= a x2+hx+3 (aW 0)与x轴交于A ( - 1 , 0) , 8 (3, 0 ) ,与y轴交于点C.(1 )求抛物线的解析式；(2)如 图1 ,点P是直线上方抛物线上的一点，过点尸作P £> 〃A C交B C于E ,交x轴于点D ,求 司 叵 的 最 大 值 以 及 此 时 点P的坐标；5(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线C A方向平移J记个单位长度得到新抛物线y i ,新抛物线y i和原抛物线相交于点F .新抛物线y i的顶点为点G ,点M是直线F G上的一动点，点N为平面内一点.若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接【 解答】解：(1 )将A ( - 1 , 0) , 8 (3, 0 )代入,0=a* (-1) 2+b* (-1) +3,0=a* 32+3b+3解 得 卜 = 工lb=2，抛物线的解析式为y = -?+ 2x+ 3. (2)如图，过点E作x轴的平行线，过点P作轴于J ,并与过E点的平行线交点H ,过点B作B K L E H的延长线于K ,由（ 1 ）可得 C （ 0, 3）,则有 R tZ X A O C 中，C O = 3, OA= \, A C = V 1 Q ，• : A C " DP, E K 〃x 轴，K B _ L x 轴，C O _ L x 轴，:.N C A O = N PDJ= N PEH, /OCB = N EB K ,• ，-s i n Z C A Q= s i n Z P E H= > co s /0C B = co s /E B K = ^ ，41 0 1 0 2.P H^ s V l O B K ^2* 'P E= 1 0 而于’ _ _A W =MFP E ，B K斗"B E ，二 百 醇P E + ^ B E n P H+ B K n P H+ HQ/V ，X v 乙 X v 乙当p在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，. ..当p在抛物线顶点时，有 百 停P M除B E最大值，: 抛物线的解析式为y = -/+ 2X + 3,求得抛物线的顶点坐标为（ 1 , 4）,,当P点坐标为（ 1 , 4）时，PJ= 4,(3)二 .抛物线沿射线C A方 向 平 移 个 单 位 得 到 新 的 抛 物 线y i ,且C A = J记,. ♦ .平移之后原来的C点到了 A点的位置，原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，:新 抛 物 线 的 解 析 式 为= _ (x+ 1 ) 2+2(X+1)+3-3=-X2+1，： .y\的顶点坐标为G (0, 1 ), V - ? + l= *+ 2x+ 3,解得x= - 1,则 -/+ 1 =0,F ( - 1, 0 ) ,①当P, G, M, N 四点为顶点的菱形如图所示时( P G = P N ) ：为平面内任意一点,此情况时，只要求PN =PG 即可,VF ( - 1, 0) , G (0, 1 ) ,可求出FG 的解析式为y=x+l,. , . 设 N (小 n+1) VP (1, 4) , G (0, 1) , PG=PN,• * - P G = q (1 - 0 ) 2 + (4 - 1 ) 2 = 7 7 5 = P N = F (n - l ) 2 (n + l - 4 ) 2 '求得〃= 4,・ " + l= 5 ,・ ・ ・ N 坐 标 为 (4, 5 ) .② 当 R G, M, N 四点为顶点的菱形如图所示时( G P = G N ) ：同理①可求出N(- V s , + 1 )，③当尸，G, M, N 四点为顶点的菱形如图所示时( G P = G N ) ： yLV/X同理①可求出N （ 遥，V 5 + 1 ）,④ 当 P , G, M , N四点为顶点的菱形如图所示时（ NP=NG）：综上所述，N坐 标 为 （ 4 , 5 ）或 （ 一 而 ，一 而 +D或 （ y，V 5 + 1 ）或 （ 工 ，空）.4 41 0 . 如图，在平面直角坐标系X 。
） ， 中，抛物线y =2f+£ -2与 x 轴交于A 、8两 点 （ 点A3 3在点8的左侧），与y 轴交于点C .点 A的坐标;（ 2 ）如 图 1 , 连接AC,点 为线段AC下方抛物线上一动点，过点作 D E 〃 y轴交线段 AC于 E点，连接EO,记△ A C C 的面积为Si , ZV IE O 的面积为S2 , 求 Si - S2 的最大值及此时点的坐标；（ 3 ） 如图2 , 将抛物线沿射线C B 方向平移近个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与） ， 轴的交点，当△ A M N 为以AM为腰的等腰三角 形时，请直接写出点N的坐标.【 解答】解：(1 ); 抛物线丫 *2售乂-2 ,与x轴交于A、B两点,令y = 0 ,得2 * 2屋x- 2 = 0 ，解 得 用 = -3 , X2-1,3 3: 点A在点B的左侧,. , . 点A的坐标为( -3 , 0 )；(2 )如 图1 ,延长O E交x轴于点K ,• • •抛物线与y轴交于点C ,： .C (0 , - 2 ) ,设直线A C的函数表达式为〉 = " + 〃(%#0 ) ,V A ( - 3 , 0 ) , C (0 , - 2 ) ,. f n = - 2* l-3k+n=0，， 工解得| k - "T ，二直线A C的函数表达式为丫= 上* -2 ,n=-2设 D (t , 居 t - 2 ) ,其中一 3 V V 0 ,E (t , K(3 0 ) ,： .DE= - 2於-It,3△皿号H— f2- " 一j ,S2 = SAAEO=等技像S『 +3 ，- S2= - P - 3f - f - 3= - P - 4f - 3= - (r+2) 2+l,. •. 当f = - 2时，Si - S2取得最大值，最大值为1 ,此时点。
的坐标为(- 2 , - 2 ) ；(3 ) V C (0 , - 2 ) , B (1 , 0 ) ,- 0B 10 C 2• . •抛物线沿射线C B方向平移去而个单位长度，抛物线向右平移旦个单位长度，向上平移3个单位长度,2 平移后的抛物线解析式为y = 2 (x + 1 -l) 2-1 + 3 = 1 (x -1 ) 2+1,3 2 3 3 2 3当 x=0 时，y=—,2：.M (0, A ) ,2• . •原抛物线的对称轴为直线x = - 1 ,设 N ( - 1 , " ),①当 4M=A N 时，9 + 」=4 + 〃 2 ,4•〃= +历2_； . N ( - 1 , 2 i S l ) 或 N ( - 1 , - )；2 2②当 4M=MN时，9+A=l+ (_1-") 24 2. • . “ =上 返 或 “ 二1 ±且，:.N （ - 1 , 上运）或 N （ 7,上场）；2 2 2 2综上所述：N点坐标为（-1 , 返 L） 或 （ -1,一返L） 或 （ -1 , 上场） 或 （ -1 ,_ 2 2 21W33）- 2~ ,cv?+bx+c （ a ^ O ）与直线y= — ^ x+ 2 交于*轴 上 的 点 & y 轴上的点C,且其对称轴为直线 该 抛 物 线 与 x 轴的另一交点为点4 顶点为M .2（ 1 ）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（ 2 ）如图2,长度为泥的线段。
尸段B C上 滑 动 （ 点 在点尸的左侧），过 尸分别作y 轴的平行线，交抛物线于E , P两点，连接P E . 求四边形P F O E 面积的最大值及此时点P坐标； (3 )在(2 )问条件下，当四边形P F D E面积有最大值时，记四边形P F D E为四边形P\F\D\E\.将四边形P i Q O i E i沿直线B C平移，点P i , E i关于直线B C的对称点分别是点P 2 , £2 .在平移过程中，当 点P2, E 2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点尸2 ,Ei的坐标.. •. 点 8 (4 , 0),点 C (0 , 2 ) ,将点3和点C的坐标代入yu o ^ + bx+ c ,得( 11 1 6 a + 4 b+ c = 0 ,化简得：b= - 4 a - q,1c = 2 c = 2• . •对称轴为直线x= 3 ,2/ . - - L _ = 3 ,即有 h= - 3a ,2 a 2/. - 4a - - = - 3a ,2' .a = - A , b = —,2 2抛物线的解析式为产- 工？+ 当+ 2 = (x-旦)2+ 至 ，' 2 2 2 2 8• • ・顶点M的坐标(旦，空 ) .2 8(2 )如图2 ,过点尸作尸Q J_ P F于点Q,过点P作P M L D E于点N ,；P F _ L x 轴 ,£© _ L x 轴,； ./DQ F= N B OC= 90° , ZQ DF^ ZOB C, DQ = PN ,:.△ DQ Fs^ B OC,；B (4 , 0 ) , C (0 , 2 ) ,： .OB = 4, OC= 2, :.B C= 2 辰,， :D F =Q• D Q _ D F _ Q F 叩 D Q _ _ Q F"BO "BC "o c " ' T = 2A/5 = 2： .DQ = PN = 2, FQ = l,设点。
的坐标为(x, - X v+ 2 ) ,则点 E (x, - 1 ^ + ^ + 2 ) , F (x+ 2 , - X c + l ) , P2 2 2 2(x+ 2 , - - k r2 - , k r+ 3 ),2 2： .ED= - XX2+2X, PF= - 1^ +2,2 2•' ' S 四边彩 PF DE = 5 A D P F + 5 A PDE = - i - p p . D Q + - ^ E D •P' H=PF'+ED = - - 1 ^ + 2 - XV2+2X=2 2/ + 2 x+ 2 = - (x- 1 ) 2 + 3 , . •. 当》 =1时，四边形P F O E面积的最大值为3 ,此时，点E的坐标为(1 , 3 ) ,点P坐 标 为(3 , 2 ) .(3 )由(2 )得到点 P (3 , 2 ) , E\ (1 , 3 ) , D\ (1 ,旦 ) ，F\ (3 , A),2 2： .EiDi= ^ -, P F i = S,2 2E\D\= P\F\,V £101/7 Pl Fi,・・・四边形E\D\F\P\是平行四边形，・ • ・直线P1E1与直线3 C平行，直线P2E2与直线B C平行，如图3 ,记直线P\E\和直线尸2及 与y轴的交点分别为G、H ,则CG= CH,设直线P1E1的解析式为y = - 1+加，则 - 」X I+ / n = 3 ,2 2解得：m= L ,2； ♦直线P\E\的解析式为y= - - k r+ —,2 2. ♦ . 点 G (0 ,工 ) ，2;.CG=CH=3,2. •. 点 H (0 , A),2，直线P1E1的解析式为y = - jx+l, X=2+V7由｛ 1 C 2 ,解得：［ V 7 1或1V 7■ L 2 s — “ 二 — — — —y=- X 5 X + 2 y 2 2 2当 点P 2落在抛物线上时，点P2 （ 2 - J L- 1 ）,_ 2 2（ 2+W，- 2 ZL - A）, E i（ V 7 ，- 2 ZL + A ）；2 2 2 2当 点 及 落在抛物线上时，点E 2 （ 2-1-1） , /_ 2 2（ 2 + 7 7 ，- 2 Zz _ - A）, p2（ V 7 ，- 2 Z L - 2 ）；2 2 2 2综上所述：点 P 2 （ 2 - J 7 ，2 / L - A ） , f 2 （ - V 7 ） 近2 2 2-A ）, E i（ V7-- 互 + 工 ）或 公（ - V 7 > 近-3 ）2 2 2 2 2或P 2 （ V 7，-近-3 ）,点 及（ 2+W，- 2 Z L -2 2 2 2fa. M2E2 （ - V 7 > ^ - + —）或点 P22 2>2 （ - V 7 ，近-3 ）或点 E22 2一 + 工 ）或点 P 2 （ 2 + j y , - Y L2 2，点 、E2 （ 2 - V 7 .近」）2 2图2图3与x轴相交于点A ( - 1 , 0 )和点8，交y轴于点C,1 2 .如图，抛物线y = f + b x + ct a n N AC。
］ 1 )求抛物线的解析式;(2 )如 图1 , P点为一象限内抛物线上的一个动点, 点是B C中点，连 接 尸 B D,P B .求△ 8O P面积的最大值以及此时P点坐标;(3)如图2 ,将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线y i , M为新抛物线对称轴上一点，N为直线A C上一动点，在(2 )的条件下，是否存在点M,使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. (1 ) V A (- 1 , 0 ),【 解答】 解:： . OA= \f• t a n / ACO 总 ，二 =3 ,： .C (0 , - 3),将 A ( - 1 , 0 ) , C (0 , - 3 )代入y = / + f e r + c ,l ~ b + c=0c= -3解得b = ~ 2c= -3.\y= ^ - 2x - 3；(2 )令 y = 0 ,则/ - 2 1 - 3= 0 ,解得x = - 1或x = 3,： .B (3, 0 ),TO点是8 c中点，・ ・ ・ 3, - 3),2 2设直线BC的解析式为y= kx+h,..j 3k + b = 0 ,1 b= _3. f k = lT b = - 3 ，； .y = x - 3,过 点P作P G 〃y轴，交B C于点G ,设 P (.a , J - 2 〃 - 3 ) ,则 G (a , a - 3 ) ,:.PG= - a ~ + 3m ：.S&BDP= LXPNX （ 3 - 3 ）=-3（ 〃-3 ）2+2L,2 2 4 2 1 6V 0 < a < 3,. •.当a = 3时，△8£>P面积的最大值为2 2 ,2 1 6此时p （ 旦， - 工b ；2 4（ 3）存在点M,使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下:: 抛物线向左平移1个单位长度，- 4,抛物线的对称轴为y轴，设直线A C的解析式为y = Q v + 4 ，- kz + bb ，= -3= 0. 依 '= - 3"1 1 / = - 3‘； .y = - 3x - 3)设 M (0 , y ) , N(6 - 3Z - 3 ) ,①如图1 ,当P M、B N为平行四边形的对角线时,下 ，，• • I -3，2：.N （ - 3 ,旦）；2 2②如图2 ,当P M 为平行四边形的对角线时,% ,• , _ 3• • I — — ）2：.N （ 旦， - 至 ）；2 2③如图3 ,当PB、MW为平行四边形的对角线时,• • • /I- 92:.N （ X - 丝 ）；2 2综 上 所 述 ：N点 坐 标 为 （ 一 旦 ，2旦 ） 或（3,- 匹） 或（旦 ，2 2 2 2 1 3 .如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，抛 物 线y =a ^ +hx+4与x轴交于点A ( - 6, 0 ) , B (4, 0) ,与y轴交于点C.(1 )求该抛物线的解析式；(2 )如 图1 ,点 。
与 点C关于抛物线的对称轴对称，连 接B O交y轴于点G,作直线0点P为线段8上方的抛物线上任意一点，过点P作P E 〃y轴交8于点E ,过点P作尸F _ L直线于点凡 当P E +近 _ 尸 产 为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；2(3)如 图2 ,连 接B C, C D ,将△ O CD绕 点O顺时针旋转a (0 ° < a < 90 ° ) 得到△O C D ' ,使得CD 〃 8C,将线段 £>, 沿射线平移得到O 7 T ,连接A'，A D ",请问在平移过程中，是否存在△AO 7 )”是 以0 7 )"为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出 D " 的坐标，若不存在，请说明理由.【 解答】解：(1 )， ••抛物线丫=0 ?+公+4与x轴交于点A ( - 6, 0 ) , B (4, 0 ) ,. (36a-6b+4=0116a+4b+4=0 1a = - T -解得：J JJ /该抛物线的解析式为y = * J * + 4 ；6 3(2 )在 y=一k v + 4 中，令 x = 0 ,得 y = 4,6 3： .C (0 , 4 ) ,・ ・ , 抛物线y = 士 工+ 4的对称轴为直线l=- 1 ,且点。
与点C关于抛物线的对称轴6 3对称，： .D ( - 2 , 4 ) ,设直线B D的解析式为y= k (x - 4),把 ( -2 , 4 )代入得，j t ( - 2 - 4) = 4,解得：- - 2 ,3直线B D的解析式为y = 2+旦，3 3同理，直线的解析式为)， =- 2 %,设 尸 (， "，- -in2 _A/M+4 ) ,6 3轴，" .E Cm, ,3 3PE— — k m2 k m + 4 - ( — ^ k-iv1+—m+—,6 3 3 3 6 3 3如 图I ,过点作Q W L x轴于点W,延长P E交直线0于点H , \' PH//DG,:.N PHF= N ODW,' ： D ( - 2 , 4 ) ,； .O W = 2 , £W = 4,在 R t Z X O力W 中，O D =d 0 M +D酹2 = { 22 + 42= 2遥,•.•s i n / O Z W = - 2 I = —^ = 近 _ ,0D 2V5 5： .sin Z PH F = sin Z O D W = ^ - ,_5• P F - V 5• • , 一 一 ' 一 ,PH 5 ： .PF= ^ -PH,5,:H Cm, - 2 m ) ,PH= _ J i / w + 4 - ( - 2 / w ) = ^ 1 / 7 ?+昌〃+ 4,6 3 6 3： .PF= ^ 1- ( _ Am2+ _ ^ j + 4),5 6 3 _/. PE+^ -^ -PF= _ i n2+-lv? ! +X ( _^ L m1+—m+4) = - L / p+ 工 〃 +J1P _ =- 工 ( 〃 ?2 6 3 3 2 5 6 3 4 6 3 4- 工)2 +侬，3 36, / 点P为线段B D上方的抛物线上任意一点，- 2 < / n < 4,；- A<0,4_当〃?=工时，尸 £+ 返P F的值最大，最大值为g 9,3 2 36此时，点p的坐标为(工，2型 ) ；3 54(3)由(2 )知：0 (- 2 , 4) , Z O CD = 90 ° , 0B = 0C= 4,： .CD= 2,在 R t AO CD 中，0巳 =4 0,202=" + 2 2 = 2遥 ,当 C' D' 〃BC 时，O C L B C,： .C (2 &, 2扬，D' ( & , 3 & ) ,二直线0 C '的解析式为y = x ,设O ' G,力，则(&+ f , 3 & + f ) ,： .O' A2= (H6) 2+ ?= 2 ?+ 1 2 f + 36, O' D" 2= 2 0 , AD" 2= (f + &+ 6) 2 + (3&+ f ) 2 ,当N AO ' D" = 90 ° 时，O' A2+O' D" 2= AD" 2,； .2 » + ⑵+ 36+ 2 0 = (r + V 2 + 6) 2+ (3&+ f ) 2,解得：f= - 3 ,2： .D" (5/2 - -> 3A/2 - 3 ) ,2 2当N AD" O' = 90 ° 时，AD" 2+O' D" 2= O' A2,(t+如+6) 2+ (3&+ f ) 2 + 2 0 = 2 » + 1 2 f + 36,解得：f= - 5 & +3,2 D ” ( - 3V2 +3 _ 3-~7 2)- 1 ~ 2交 y 轴于点C , 且 0C=3.（ 1） 求该抛物线的解析式；（2）点尸为直线8C 下方抛物线上的一点，连接4C、B C、C P、B P ,求四边形P C A B的面积的最大值，以及此时点P的坐标；（ 3）把抛物线） ， =o?+fev+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P, R 为新抛物线上一点，S 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A, C, R, S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个求点R的坐标过程写出来.；0C=3,： .C (0, - 3 ) ,将点 A ( - 1, 0) , 8 (3, 0) , C (0, - 3) R A y^ a ^ +bx+c,a-b+c=0得， 9a+3b+c=0,c= -3 解得，a = lb = - 2 ，c= -3Ay = x2 - 2 x - 3；(2) *.*S 四 边 形PCAB =SAABC+S^PBC，・ ••当SzxPBC面积最大时，S四 边 形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y= kx+h,..j 3k + b = 0 ,1 b= _3解 得 心 口 ，I b= -33,过 点 尸 作 轴 交BC于点Q ,设P " ?- 2 z - 3),则 。
"f - 3),二当尸最大时，SMBC面积最大，： .PQ = t-3 - P + 2 r + 3= - » + 3(= - (r -旦 )2 + 9,2 4当时，P Q取最大值9,24： .P ( X - 至) ,2 4V A ( - 1 , 0 ) , B (3, 0 ) , C (0 , 3),." 8 = 4 ,/. S 四 边 形 PCAB= SAABC+SAPBC=工 X 4 X 3+A X J i X 3=；2 2 4 8(3)由题意可知新抛物线为)， =(x - 3) 2 -」 旦= / - 3X- 3 ,2 4 2. •.对称轴为尸3,2； .s点横坐标为3,2设R点横坐标为m,①当AR为对角线时，变 工 = 旦 ，2 4• *2②当AS为对角线时，工= 皿,4 2 2： .R （ X - 1 1 ）；2 43③当A C为对角线时， - 工 =一 二 ，2 2" .m-- —,2： .R （ -A ,里 ）；2 4综上所述：R点坐标为（ 5 ,一 红 ）或 （ 工， -红 ）或（ -5 ,至 ）.2 4 2 4 2 41 5.如图，已知抛物线＞ = / + ^ - 4与x轴交于A, 8两点，与y轴交于点C ,且点4的坐标 为（ - 2 , 0 ）,直线B C的解析式为y = L - 4 .2（ 1 ）求抛物线的解析式.（ 2 ）如 图1 ,过点A作A O 〃 B C交抛物线于点。
（ 异于点A ） , P是直线B C下方抛物线上一点，过点P作尸〃了轴，交A Z）于点作Q R , 8 c于点R ,连接P R .求△ P Q R面积的最大值及此时点P的坐标.（ 3）如图2 ,点C关于x轴的对称点为点C ',将抛物线沿射线C' 4的方向平移2遥个单位长度得到新的抛物线产 ,新抛物线y '与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有一动点M平面直角坐标系内是否存在一点K,使得以 M , N , K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.V A ( - 2 , 0 ) , B ( 8 , 0 ) ,者B在抛物线 > = 加 + / ^ -4 上,图1图2点在1轴上，且3点在》 =工 -4上，2： .B （ 8 , 0 ）,【 解答】解：（ 1 ）■ : B - 2, x = 8 是方程a^+bx - 4 = 0 的两个根,- 16= - - , —=6,a a- 当 - 4；-4 2(2) '：A D //B C ,直线3 c 的解析式为y = L - 4,2直线AD 的解析式为y = 1 + 1,2过点B 作 BG1AD交点G,: QRLBC, A QR=BG,在 RtZ\ABG 中，A8=10, tanZBAG=A ,2: .BG=2 疾,设 P (m, -XM2 - 3-m - 4) , R (n, An - 4 ) , 贝 U Q (m, A/n+1) ,4 2 2 2"：QR=2 娓,.♦.20=( 加 一 " ) 2+2,m=2,:.R (m+29 - 3 ),2SAP0/?=AX (A/zz+l - Jw772+—/n+4) X 2= - -17?i24-2m+5 = - — ( 机- 4) 2+9,2 2 4 2 4 4: . 当 m =4时，S^PQR有最大值9,：.P (4, - 6 )；(3) • ・•点。
关于x 轴的对称点为点C ',：.C (0, - 4 ) ,・・・直线AC的解析式为y=2x+4,• • •抛物线沿射线C A 的方向平移2遥个单位长度，抛物线沿着x 轴负方向平移2 个单位长度，沿着y 轴负方向平移4 个单位长度,"."y=-kr2 - m- 4—— (x - 3) 2 -' 4 2 4 4； . 丫'= 上(x - 1) 2 - Ak,44 联立」( x - 3) 2 -匡■ = 2 ( x - 1 ) 2 - AL,解得 x= 6,4 4 4 4AM ( 6, - 4 ) ,联 立 工 +1 = 1 2 - m - 4 ,解得x= 1 0或x= - 2 ,2 4 2：£ ＞异于点A ，： .D ( 1 0 , 6) ,- 4的对称轴为直线x= 3,4 2设 N ( 3, t ) , K (x, y ) ,① 当OM与K N为矩形对角线时， 例的中点与K N的中点重合,. •. 8 =红，1="，2 2• »x~^ 1 3, t~~2 -• ； DM = K N ,. , . 1 6+1 0 0 = ( 3 - x) 2+ ( f - y ) 2 ,； . y = - 1 或 y = 3,： .K ( 1 3, - 1 )或 K ( 1 3, 3 )；②当与MK为矩形对角线时，ON的中点与MK的中点重合，• - • 1 3 _ 6+x ， -y---4 _ 6+t，2 2 2 2， x= 7, t= y - 1 0 ,•; DN = M K ,： .49+ ( 6 7 ) 2 = ( 6- x) 2+ ( y +4) 2,，产 西5： .K ( 7,药；5③ 当K O与MN为矩形对角线时，K。
的中点与MN的中点重合• - • 1 0 +x _ 9 6 3 _ t - 4，2 2 2 2， x= - 1 , ， = 1 0 +y ,,: K D= M N , ， ( X - 1 0 ) 2+ ( 6- y ) 2 = 9 + ( r +4) 2： .K （ - 1,一 旦）；5综上所述：以M, N, K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（ - 1 , -2）或（ 7,1 6. 如 图 ，在平面直角坐标系中，抛物线y = J x 2发x+2交x轴于4、8两 点 （ 点4在点8左侧），交y轴于点C, 一次函数〉 = 自 +6 （ & * 0 ）与抛物线交于8、两点，已知co s5（ 1 ）求点的坐标；（ 2 ）点尸是抛物线的顶点，连接8尸.P是抛物线上F、两点之间的任意一点，过点尸作 PE〃 BF交 B D 于点E ,连接P F、P D 、F E .求四边形P F EQ面积的最大值及相应的点P的坐标；（ 3）连接AC,将抛物线沿射线4 c方向平移3个单位长度得到新抛物线y,新抛物线与原抛物线交于点G . S是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G 、S、A、7四点能否构成以A S为边的菱形？若能，请直接写出点T的坐标；若不能，请说明理由 . 解得x= - 1或x=4,.\A( - 1, 0) , B(4, 0 ) ,如图，设 8。
与 y 轴交于点 G ,则 cos/ABO=Q殳= 2逅 ,_BG 5- 4 _2>/5• • - ” ,BG 5:.BG=2 娓,：.OG=3,：.G (0, - 2 ),将8, G的坐标代入直线.j4k+b=0> 解得,I b= -2k4b=-2直线8的解析式为：y = Z - 2 ,2令2= - yX2-k|-X+2'解得工= -2或x=4 ( 舍 ) ，：.D ( -2, - 3 ) . ( 2 ) 如图，连 接 P B ,PE//B E,-■•S*B E= S" EF，S 四 边 形 PFED = S& PED+SAPFE= S& PED+SN B E= SEB D,过点P作PH//y轴交BD于点H,'-S^PBD——'PH* (XB - XP) +—' PH* (X P-XD) ——-PH* (XB - XD) ,2 2 2设 P ( x, - L f + W x + Z ) ,贝 U H ( x, - k x - 2),2 2 2P H - - X j ^ + ^ + 2 - ( A x - 2)=- 工 2 +犬 +4, ； . S 四 直 形PFED= SAPB。
XB-2 2 2 2 2XD)=L22. . . 当 X = 一2X ( 专 )此时 P ( 1 , 3 ).( 3) 存在，理由如下：当 x = 0 时，y—2,： .C ( 0 , 2),( - l^ +x+4) X ( 4+2 ) = -2^ +3x+12,2 23V A ( - 1 , 0 ) , B ( 0 , 2 ) ,： . O A =娓,. ♦ . 将抛物线沿射线AC 方向平移5祈个单位长度，即先右平移5 个单位，再向上平移1 0个单位，• • •点尸是原抛物线的顶点， ： .F （ 旦，空 ），2 8原抛物线的对称轴为直线》 =2，2设点F经过平移后移到点M （ 工3, 延），2 8. •. 平移后的抛物线y ' = - 1 （ x - 1 1 ） 2+ 您 _ = -- 8 ,' 2 2 8 2 2令 -AJA当+2 = - - 8 ,2 2 2 2解得x= 2 ,： .G ( 2 , 3) ,当以点G、S、A、7以A S为边的菱形，需要分两种情况:①当A S = A G时，如图：V A ( - 1 , 0 ) , G ( 2 , 3) ,:.AG= 3 近,设 Si(3, r),2： .AG2= ( - 1 - 旦 )2 + ( 0 - f )2A Si (2, -ZfiL) , S2 ( 旦,2 2 22 = 1 8 ,解得r = ±返工,__ 2恒) ，2• . , 点 A ( - 1 , 0 )至lj G ( 2 , 3)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位, . •. S i （ 1 ,-叵）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得 到T\ （ 1,_ 2 2 2里3）,2 _ _S 2 （ 3, Y豆 ）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得 到 乃（ 9 , 叵_ +3）./②当S A = S G时，如图：设 S 3 （ ―. m）,2： .AS32= GS31,： .（ - 1 - 3 ）2+ （ 0 -相）22； . S 3（ 3 ,工），2 2• . •点 A （ - 1 , 0 ）和 G （ 2 ,； . S 3和73的中点也为（ 工,273 （- 工，5 ）.2 2综上所述，点7的坐标为：— （ 2 - —） 2+ （ 3 - m ） 2,解得加=工，2 23）的中点为（ 工，3 ）,2 2号- 年+3）或唠, 争3）或号 。