精品名师归纳总结选修 2- 2 §2.3 数学归纳法 〔 第一课时 〕 教案时间： 班级：高二 3 班 授课老师：一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《一般高中课程标准试验教科书数学选修 2-2 》其次章 推理与证明 第 3 节的内容,主要内容是明白数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题．2、位置和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理,皮亚诺公理中第五条：设 M是正整数的一个子集,且它具有以下性质：①1∈M②如 k∈M,就 k+1∈M．那么 M 是全体正整数的集合,即 M=N*）也叫做归纳公理不难看出归纳公理是数学归纳法的理论依据,数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质数学归纳法是高中数学中的一个较难懂得的概念,也是一种重要的数学方法证明一些与正整数 n（ n 取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前 n 项和等）数学归纳法的学习是学习数列学问的深化和拓展,也是归纳推理的详细应用．3、教学重点：借助详细实例明白数学归纳法的基本思想,把握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n（ n 取无限多个值）有关的数学命题,对于数学归纳法意义的熟悉和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（ 1）同学不易懂得数学归纳法的思想实质,详细表现在不明白其次个步骤的作用,不易依据归纳假设作出证明 2）运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发觉详细问题的递推关系用数学归纳法证明命题的关键在第二步,而其次步的关键在于合理利用归纳假设假如不会运用“假设当 n=k, （k ≥n0,k∈N*）时,命题成立”这一条件,直接将 n=k+1 代入命题,便说命题成立,实质上是没有证明二、学情分析1、同学学问预备在进行本节课的教学时,同学已经在必修 5 中学习了不完全归纳法 〔 推导等差、等比数列的通项公式 〕 在本章的合情推理中已经学习了归纳推理,在演绎推理中学习了“三段论”这些内容的学习是同学懂得推理思想和证明方法的重要基础2、才能储备同学具备一些的从特殊到一般的归纳才能,但对复杂的规律推理是模糊的但同学自主探究问题的才能普遍仍不够抱负3、同学基本情形多数同学对数学学习有肯定的爱好,能够积极参加,但在归纳递推过程,表达意识方面显得薄弱有待加强三、教学目标1、学问目标：明白数学归纳的原理2、才能目标：经受观看、摸索、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤,初步形成归纳、猜想和发觉的才能, 并能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题。
3、情感目标：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结四、教学方法与手段1、教学方法采纳启示探究式教学方法进行教学,同学初学数学归纳法时不易懂得数学归纳法的思想实质,详细表现在不明白其次个步骤的作用,不易依据归纳假设作出证明,教学中通过详细实例引导同学注意观看与摸索 , 类比与抽象等学问发生进展与形成的思维过程2、学法指导在教学过程中,不仅要传授同学课本学问,仍要培育同学主动观看、主动摸索、亲自动手、自我发觉等学习才能,增强同学的综合素养,从而达到较为抱负的教学目标3、教学手段借助于已有的体会与生活素材 , 促进同学对“递推原理”的懂得,为同学把握数学归纳法供应形象化的参照,为教学难点突破供应感性基础五、教学工具： 多媒体、模型六、教学过程1、创设情境,开启同学思维师：小明家里有四个孩子,老大叫一毛,老二叫二毛,老三叫三毛,老四叫⋯？ 生：四毛,不对,叫小明师：为什么会猜是四毛了？ 生：归纳推理,猜想得到师：这是不完全归纳,猜想结果合理吗？生：不对,是小明师：依据是⋯生：前面都说了,小明家,那第四个孩子肯定是小明。
师：利用全部条件,完全归纳得到正确结果,恭喜你,这个脑筋急转弯题你做对了意图）数学源于生活,通过脑筋急转弯来引导同学进行思辨,生活中运用不完全归纳法经常会闹笑话师：刚才的问题大家答得很好,请大家再试试下面这个题,比比谁更快更好可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结问题：对于数列 an什么猜想？an , 已知 a11 a1an 11,anan 1a n 1anan 1（n=1,2,3, ⋯）（ 1）求出数列前 4 项, 你能得到可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）你的猜想肯定是正确的吗？可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结生： a11 a111 , a 2 2 a21 1 1 1 1a3 a3 a4 a42 , 3 3 , 4 4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结师：猜想数列的通项公式？1 1an an生： n n师：能确定这个猜想对前 4 项成立,对它后续的项也成立吗？可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a5 1 a6生：验证得 5 ,1 1 1a7 a8 a9 6 , 7 , 8 ,19 ⋯ an1 1n an n 。
可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结师：辛苦了,我们发觉与正整数 n 有关的命题,当 n 比较小时,可以逐个验证,但当 n 较大时,验证起来会很麻烦, 特殊是当 n 取全部正整数都成立时,逐一验证是不行能的这时我们得另辟蹊径,寻求一种方法,通过有限个步骤的推理,证明 n 取全部正整数都成立这就是本节课争论的一种方法——数学归纳法意图）应用归纳推理,发觉数列通项,如何验证猜想成立,引出本节课学习的内容师：本节课的教学目标是：明白数学归纳法的原理并能证明一些与正数 n 有关的数学命题,数学源于生活,我们通过可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结一个小嬉戏来体会嬉戏中包蕴的数学思想,现说明嬉戏规章： 嬉戏 1：讲桌上摆着如干块砖,要使它们全部倒下？你有哪些方法？ 生〔 操作 〕 ：一块一块的推倒生〔 操作 〕 ：摆成一列,推倒第 1 块砖,第 1 块推倒第 2 块,第 2 块推倒第 3 块,⋯嬉戏 2：假定每一位同学,甚至是世界上的每一个人都来摆砖,从教室摆到操场,从中国摆到外国,没完没了的摆下去,你能使全部的砖全部倒下吗？你采纳什么方法？师：（同桌俩为一小组争论,每大组选择 1 小组作为代表回答）生：能,有两个方法把他们全部推倒。
其一是逐一推倒,这时摆砖的格式没有要求其二是只推倒第一块,但是要求按“前砖碰倒后砖”的规格来摆放生：第一种方法不行能实现砖与砖要保持距离相等,这样一块砖倒下可以碰倒下一块砖,重复下去生：仍要推倒第一块,这是第一要解决的,这是这些砖倒下的基础师：特别好 . 这时既不行能,也没有必要去一块又一块的去推倒全部的砖块意图）让同学大胆的猜想,如何使全部砖都倒下,有没有更好的方法了？当同学意识到,在思维试验中,既不行能也没有必要去一块又一块的去推倒全部的砖块的时候,就是接触到数学归纳法的实质了思维试验：请同学们摸索,假如想要全部的砖都倒下,必需满意哪些条件了？ 生：条件 1：第 1 块必需倒下 条件 2：任意相邻的两块砖,前一块砖倒下肯定导致后一块砖倒下（前砖碰后砖） 师：同学们都觉得很可笑,但往往忽视第一块砖的存在,这是推理基础,也是前提条件条件 2 事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第 K 块倒下 〔k ≥1〕 ,就相邻的第 K+1 块也倒下生：我们认为在整个试验过程中必需保持砖倒下的连续性嬉戏原理1an通项公式为 n 的证明方法（1）第一块砖倒下1）抽象出数学归纳法的第一步,当成立n=1 时, a11 a11 猜想（ 2）如第 k 块倒下时,就相邻的第 k+1 块也倒下。
相当于：第 1 块推倒第（2）抽象出数学归纳法的其次步,假设当n=k 时猜想成立,2块,第 2 块推倒第 3 块,⋯第 k 块推倒第 k+1 块,由此下去⋯ak即1k ,就当 n=k+1 时猜想也成立,即1k1kak 1akak1ak 1ak 1ak11k1k11k1这相当于作一个条件等式的证明题：如可以做到的ak1k 就a1k 1k1 ,这是把第 1 步得出的“ n = 12 时也成立”,把“ n = 2时成立”代入第2 步,可推出“ n =时成立”代入第 3 步,可推出“ n= 3 时也成立”,⋯依此类推,每一次都把已证明的结论做基础,反复代入其次步 , 无穷传递下去⋯（意图）引导同学尝试用最简洁的数学语言去表达思维试验的结果,为数学归纳法概念的引出作好铺垫数学无处不在,利用推砖表现出来的原理,抽象出解决与正整数有关的命题的方法可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结依据（ 1）和（ 2）,可知不论有多少块砖,都能全部倒下依据（ 1）和（ 2）,可知对任意的正整数 n,猜想都成立可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（意图）在类比的过程中学习数学归纳法 .思维延长：依据以上规律推理：条件（ 1）,条件（ 2）分别起什么作用？生：归纳奠基和归纳递推。
师：从上面例子可以看出,第一步是基础,没有第一步,只有其次步就如空中楼阁,是不行靠的 其次步是证明传递性,只有第一步,没有其次步,只能是不完全归纳法反复应用递推将其归纳为“验证两个条件,直接得出结论”这个方法我们就把它叫做数学归纳法用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：（1） 证明当 n 取第一个值 n0（例如 n0 = 1 或 2 等）时结论正确2） 假设 n = k （k ≥1,k∈N ）时结论正确,证明当 n = k+1 时结论也正确完成了这两个步骤之后,就可以确定命题对于从 n 0 开头的全部正整数 n 都正确2例 1、用数学归纳法证明： 1 + 3+ 5 + ⋯⋯ + 〔2n - 1〕 =n .证明（ 1）当 n = 1 时,左边 = 1 ,右边 = 1 ,等式成立 2（ 2）假设当 n = k （k ≥1,k∈N ）时等式成立,就是 1 + 3 + 5 + ⋯⋯ + 〔2k - 1〕 =k .那么 1 + 3+ 5 + ⋯⋯ + 〔2k -1〕 + [2〔k+1〕 – 1 ]= [ 1 + 3+ 5 + ⋯⋯ + 〔2k - 1〕 ] + 〔 2k + 1 〕2= k + 2k +12= 〔 k + 1 〕这就是说：当 n = k + 1 时,等式也成立（这句话不能省略） 。
依据（ 1）和（ 2）可知,等式对于任何正整数 n 都成立师：第一步是基础,没有第一步,只有其次步就如空中楼阁,是不行靠的其次步是证明传递性,只有第一步,没有其次步,只能是不完全归纳法2变式 1：等式 - 1 +。