点到平面距离的若干典型求法目录1. 引言………………………………………………………………………………………12. 预备知识………………………………………………………………………………13. 求点到平面距离的若干求法…………………………………………………………33.1 定义法求点到平面距离………………………………………………………33.2 转化法求点到平面距离………………………………………………………53.3 等体积法求点到平面距离……………………………………………………73.4 利用二面角求点到平面距离…………………………………………………83.5 向量法求点到平面距离………………………………………………………93.6 最值法求点到平面距离………………………………………………………113.7 公式法求点到平面距离………………………………………………………131．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难 点问题之一点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体 积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值 法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识⑴正射影的定义:（如图1所示）从平面外一点P向平面Q引垂线，垂足为P'，贝I」点P'叫做点P在平面以上的正射影，简称为射影同时把线段PP'叫作点P与平面以的垂线段图1(2) 点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离， 也即点与平面间垂线段的长度3) 四面体的体积公式1V 二一Sh3其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高4) 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此 平面垂直5) 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和 这条斜线也垂直6) 二面角及二面角大小:平面内的一条直线l把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角 ,这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面图2所示为平面a与平面卩所成的二面角，记作 二面角a-1-卩，其中l为二面角的棱如图在棱l上任取一点O，过点O分别在平面a及 平面P上作l的垂线OA、OB，则把平面角ZAOB叫作二面角a-/ —卩的平面角，ZAOB的 大小称为二面角a-1 -卩的大小。
在很多时候为了简便叙述，也把ZAOB称作a与平面卩所 成的二面角图2(7) 空间向量内积 :代数定义：设两个向量a = (x , y ,z ) , b = (x , y ,z )，则将两个向量对应分量的乘积之和定1 1 1 2 2 2义为向量a与b的内积，记作a b，依定义有a b1 2 1 2 1 2几何定义:在欧几里得空间中，将向量a与b的内积直观地定义为ab =1 a II b Icos < a, b >，这• •里I a I、Ib I分别J表示向量a、方的长度，表示两个向量之间的夹角向量内积的几何意义为一^向量的模与另一^向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积当-f< ab >= 900，即 a 丄 b 时，a b =I a II b IcosM a,b >=I a II b I cos90o = 0 面说明这两种定义是等价的氏口图3所示厂设O、P、卫为空间的三点，令a= OP , b = OQ , c = PQ图3由余弦定理Ic I2 =Ia I2 +1b I2 -2I a IIb Icos再设 a = (A；, yi, zi), b = % y2,寻，则 C = (X2 - X1, y2 - yi, Z2 - Z1)从而有(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 = x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 - 21 a II b 丨 cos < a,b >2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2即xx + y y + z z =I a IIb I cos < a,b > 〜 〜 〜〜1 2 1 2 1 2这就证得了两个定义是等价的。
3求点到平面距离的若干求法 一一 一一3.1定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进 而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法定义法求点到 平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而 这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1) 两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直 线垂直于另一个平面2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这 个角的角平分线所在的直线上3) 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线4) 若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心例如图4所示，所示的正方体ABCD - AECD 棱长为a ,求点A到平面AB D的距离注:本文所有解法均使用本例)图4解法一（定义法）:如图5所示，连结交BD于点E，再连结AE，过点A作AH垂直于AE ,垂足为H，下面证明A'H丄平面ABD。
图5AA'丄平面 AfBBCDBD 丄 AA '又t在正方形A BB BC D中，对角线B D丄A BC B，且AA B A BC B = A B AAB u 平面 AA BE , A BC B u 平面 AA BE "•••由线面垂直的判定定理知道BBDB丄平面AABEA BH u平面 AA BEABH 丄 BBDB又由ABH的作法知道ABH丄AE，且有BBDB - AE = E ,B D u 平面 AB D ， AE u 平面 AB D•••由线面垂直的判定定理知道AH丄平面ABD根据点到平面距离定义，AH的长度即为点A到平面ABBD'的距离，下面求AH的长度AABD中，容易得到ABB = BD = DA = ^2a，从而AAB'D'为正三角形，ZABD二600 进而在 RtAAB'E 中，ae = AB'sin ZABD = ^2a sin 600 = 6 a211由 S = AA ' x ABE = — AE x AH 得到AAA BE 221 1 _AA' x A BC B a x 2ABH = AA X A E = 2 = 2 =、3 aAE AE 76 3从而AB到平面ABD的距离为逅a。
33.2转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影 线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法转化法即是将点 到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法转化法依据主要有以下两点：(1)若直线l//平面a，则直线l上所有点到平面a的距离均相等⑵若直线AB与平面a交于点M，则点A、B到平面a的距离之比为AM : BM °特别地， 当M为AB中点时，A、B到平面a的距离相等下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示，连结AC、ABC、ABCB、ABB、ABB , ABC B交BBDB于点E ,连结AE交AC 于点H，延长ABC B至点G使得CBG = 2 AB CB，连结CG图6CB 丄平面 AAB'B•••从而斜线A'C在平面AA'B'B的射影为AB.A ' B、AB'为正方形AA'B'B对角线• AB 丄 A B ，•由三垂线定理知道AB'丄A'C同理可以得到AD'丄A'C又,-AB ' AD'二 A，AB' u 平面 AB'D'，AD' u 平面 AB'D'• A'H丄平面AB'D'，即点H为A'在平面AB'D'的射影，A'H的长度为所求11AC//A'C'即 AC//EG，且EG 二 EC' + C 'G 二—A'C' + A'C'二 A'C'二 AC2 2• 四边形 ACGE 为平行四边形• AE / /CG在AA'CG由等比性质有A 'H _ AE _ 1~Ac~1g~ 31• A' H 二一A' C而在正方体ABCD - A'B 'C'D'中对角线 A'C = JA 'A2 + AB2 + BC2 = y3a••• AH = ^3 a3在本例中，未直接计算垂线段AH的长度，而是找出了其与正方体ABCD - ABCD中 对角线AC的数量关系，从而转化为求正方体ABCD - ABCD对角线AC长度，而AC长度 是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。
本例运用的转化方法与依据(2)类似，都 是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算3.3等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个 四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将 射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形先用简单的方法求出四面体的体积，然后 计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式v二3sh求出点到平面的距离h在常规 方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率， 达到事半功倍的效果特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法 下面用等体积法求解上面例子.解法三(等体积法):如图7所示，作AH垂直于平面ABD于点H，则ABD长度为所求 对于四面体A，ABD，易见底面ABD的高为AfH，底面A'B'D'的高为AA'对四面体A，ABD 的体积而言有：V 二 VA-A B'D' A'-AB'D'11即有:—AArx S 二—AH x S3 AA'B'D' 3 AABD也即:A' H = ―"nA ' B 'D '由AB' = B'D ' = D 'A =、：2a，从而NAB'D'为正三角形，ZAB'D'二600,进而可求得S =NAB D1 AB' x AD' sin ZAB'D' = - g'2a)2 sin 6Oo = - a22 2 2又易计算得到RtNA'B'D'的面积为S =12所以 A'H = AA X SNA 'B DSNAB D1a x — a 22a 22NA B D我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
3.4利用二面角求点到平面距离如图8所示，l为二面角a-1-卩的的棱，ZAOB为二面角a-1-卩的一个平面角下面考虑点B到平面a的距离作BH丄OA，垂足为H，下面证明BH丄平面aZAOB为二面角a-1 —卩的一个平面角OA 丄 I、OB 丄 1又，-OA OB = O. 1丄AOB又、一 BH u平面AOB. BH 丄 。