简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 •⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心2 .构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心 Oi的连线垂直于截面圆及球心 0与弦中点的连线垂直于弦的性质， 确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为 a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径a(1 )截面图为正方形 EFGH的内切圆，得 R -；2(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4作截面图，42圆0为正方形EFGH的外接圆，易得 R 2 a。
2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面AA1作截面图得，圆0为矩形AA1C1C的外接圆，易得RAPa , O也是球心）2、正四面体的外接球与内切球的半径（正四面体棱长为内切球半径为:外接球半径为:三：常见题型、6——a12——a41.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的补形法2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 '3，则其外接球的表面积是 _.解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为R，则有2R a2 b2 c2 .# / 4S3. 正四棱锥S ABCD的底面边长与各侧棱长都为 、,2，点S、A B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .解析：寻求轴截面圆半径法4.在矩形ABCD中，AB 4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）OBA图3CC1、已知点P、A、BC、D是球0表面上的点，PA 平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形.若PA2.6，贝y OAB的面积为多少?解析：确定球心位置法 四：练习2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？3、三棱锥S ABC中，SA 平面ABC , SA 2 , ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？4、点A、B、C、D在同一个球的球面上， AB BC ,2 , AC 2，若四面体 ABCD体积2的最大值为一，则这个球的表面积为多少?35、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5,、.. 34?.N1，求该四面体外接球的体积6、正四面体 ABCD外接球的体积为 4.3 ，求该四面体的体积7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD的斜高为.5，求此正四棱锥外接球的体积8、 一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3,则这个球的体积为89、 已知球 0 的面上四点 A、B、C、D, DA 平面 ABC , AB BC , DA=AB=BC= . 3 ,则球O的体积等于 .# / 4。