单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,2.3.3 直线与圆的位置关系,,,一．直线与圆的位置关系,,直线与圆的位置关系有三种：如图所示.,,（1）直线与圆相交：有两个公共点；,,（2）直线与圆相切：有一个公共点；,,（3）直线与圆相离：没有公共点.,,二．直线与圆的位置关系的判定,,如果直线,l,和圆,C,的方程分别为：,Ax,+,By,+,C,=0，,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0. 则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：,（1）代数法判断直线与圆的位置关系：,由,l,和,C,的方程联立方程组,,,可以用消元法将方程组转化为一个关于,x,（或,y,）的一元二次方程，若,△>0,，则直线与圆,相交,；,,若,△=0,，则直线与圆,相切,；,,若,△<0,，则直线与圆,相离,.,,,（2）几何法判断直线与圆的位置关系：,如果直线,l,和圆,C,的方程分别为：,Ax,+,By,+,C,=0，,(,x,－,a,)2+(,y,－,b,)2=,r,2.,,可以用圆心,C,(,a,，,b,)到直线的距离,,d,=,与圆,C,的半径,r,的,大小关系来判断直线与圆的位置关系。
若,d,<,r,时，直线,l,和圆,C,相交,；,,若,d,=,r,时，直线,l,和圆,C,相切,；,,若,d,>,r,时，直线,l,和圆,C,相离,.,,例1．已知圆的方程是,x,2,+,y,2,=2，直线方程是,y,=,x,+,b,，当,b,为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？,解法1：,②,①,②代入①，整理得2,x,2,+2,bx,+,b,2,－2=0， ③,判别式△=(2,b,),2,－4×2(,b,－2)=－4(,b,+2)(,b,－2)，,当－2<,b,0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点；,当,b,=2或,b,=－2时，△=0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；,当,b,<－2或,b,>2时，△<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点；,,解法2：转化为,b,为何值时，圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题圆的半径,r,= ，圆心(0，0)到直线,y,=,x,+,b,的距离为 ，,当,d,<,r,时，即－2<,b,<2时，,,圆与直线相交，有两个公共点；,,当,d,=,r,时，即,b,=2或,b,=－2时，,,圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；,,当,d,>,r,时，即,b,<－2或,b,>2时，,,圆与直线相离，直线与圆没有公共点。
例2．已知圆的方程是,x,2,+,y,2,=,r,2,，求过圆上一点,M,(,x,0,，,y,0,)的切线方程解：如果,x,0,≠0且,y,0,≠0，则直线,OM,的方程为,y,= ，从而过,M,点的圆的切线的斜率为 ，,因此所求的圆的切线方程为,,化简得,x,0,x,+,y,0,y,=,x,0,2,+,y,0,2,.,,因为点(,x,0,，,y,0,)在圆上，所以,x,0,2,+,y,0,2,=,r,2,.,所以过圆,x,2,+,y,2,=,r,2,上一点(,x,0,，,y,0,)的圆的切线方程为,x,0,x,+,y,0,y,=,r,2,.,,如果,x,0,=0，或,y,0,=0，我们容易验证，过点,M,(,x,0,，,y,0,)的切线方程也可以表示为,x,0,x,+,y,0,y,=,r,2,的形式因此，所求的切线方程为,x,0,x,+,y,0,y,=,r,2,.,,三. 圆的切线的求法：,直线与圆相切，切线的求法：,（1）当点(,x,0,，,y,0,)在圆,x,2,+,y,2,=,r,2,上时，切线方程为,x,0,x,+,y,0,y,=,r,2,；,（2）若点(,x,0,，,y,0,)在圆(,x,－,a,),2,+(,y,－,b,),2,=,r,2,上时，切线方程为,(,x,0,－,a,)(,x,－,a,)+(,y,0,－,b,)(,y,－,b,)=,r,2,；,,（3）斜率为,k,且与圆(,x,－,a,),2,+(,y,－,b,),2,=,r,2,相切的切线方程的求法：,,先设切线方程为,y,=,kx,+,m,，然后变成一般式,kx,－,y,+,m,=0，利用,圆心到切线的距离等于半径,来列出方程求,m,；,,（4）点(,x,0,，,y,0,)在圆外面，则切线方程为,y,－,y,0,=,k,(,x,－,x,0,)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出,k,.,,注意,若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上,,四．直线与圆相交的弦长公式,平面几何法求弦长公式：,,,如图所示，直线,l,与圆相交于两点,A,、,B,，线段,AB,的长即为直线,l,与圆相交的弦长.,设弦心距为,d,，圆的半径为,r,，,,弦长为,AB,，则有,即,AB,=,,,例3．直线,l,经过点,P,(5，5)，且和圆,C,：,x,2,+,y,2,=25相交，截得弦长为4 ，求,l,的方程.,x,－2,y,+5=0，或2,x,－,y,－5=0.,,练习题：,1．直线,x,+,y,=,m,与圆,x,2,+,y,2,=,m,(,m,>0)相切，则,m,=（ ）,,（,A,） （,B,）,,（,C,） （,D,）2,D,,2．曲线 与直线,y,=,k,(,x,－2)+4有两个交点，则实数,k,的取值范围是（,,）,,（,A,） （,B,）,,（,C,） （,D,）,D,,3．圆心为(1，－2)、半径为2 的圆在,x,轴上截得的弦长为（,,）,,（,A,）8 （,B,）6,,（,C,）6 （,D,）4,A,,4．直线,x,+,y,=1被圆,x,2,+,y,2,－2,x,－2,y,－7=0所截得线段的中点是（,,）,,（,A,） （,B,）(0，0),,（,C,） （,D,）,A,,5．以点,P,(－4，3)为圆心的圆与直线2,x,+,y,－5=0相离，则圆,P,的半径,r,的取值范围是（,,）,,（,A,）(0，2) （,B,）(0， ),,（,C,）(0，2 ) （,D,）(0，10),C,,6．已知曲线5,x,2,－,y,2,+5=0与直线2,x,－,y,+,m,=0无交点，则,m,的取值范围是,,.,－1<,m,<1,7．由点,P,(1，－2)向圆,x,2,+,y,2,+2,x,－2,y,－2=0引的切线方程是,,.,5,x,+12,y,+19=0和,x,=1,,8．已知圆,C,：(,x,－1),2,+(,y,－2),2,=25，直线,l,：(2,m,+1),x,+(,m,+1),y,－7,m,－4=0，证明不论,m,为何值，,C,与,l,恒有两个交点.,,。