第五章知识点回顾、本章知识1.本章知识网络结构2.向量的概念⑴向量的基本要素：大小和方向(2) 向量的表示：几何表示法 AB ;字母表示：a；坐标表示法 a=x i+yj = (x, y ).⑶ 向量的长度：即向量的大小，记作丨 a | .⑷特殊的向量：零向量 a= Q= | a | = 0. 单位向量a为单位向量二 | ao |= 1.Xt = x2(5) 相等的向量：大小相等，方向相同 (x i, yi) =( X2, y 2)=丿y = y(6) 相反向量：a=- b：= b=- a：= a+b=0(7) 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a II b.平行向量也称为共线向量3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1. 平行四边形法则2. 三角形法则a +b =区 y’ ”2)a +b =b 4a(a +b) +c =a +(b +c)AB +BC =AC向量的减法三角形法则a —b =(x1 —X2, y1 — y2)a —b =a +(—b)AB =-BA，OB AA =AB数 乘 向 量1. 込是一个向量，满 足：| ?/| 土刖 aT2. k>0时，炷a同向； k<0时，曲与a异向； k =0 时，Xa =0 .九a = (^x,九y)九(Aa)=(九卩)a (九+P)a =加 +Aa 九(a +b)=心+护 a // b = a = A_b向 量 的 数 量a打是一个数1. a =0或 b =0 时，a =0 .a =x/2 +y』2a «b =b «a(・b =a •( Zb) =^(a *b)(a +b)=a +b «ca |2 即 |a|= J x2 +y 2积2 a式0且b式0时，|a亠0岂，||茴a g =|a || b| cos( a , b)4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理ei, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 入1,入2， 使 a =入ie +入2砥(2) 两个向量平行的充要条件a //b：二 a= X b(b工 0)：二 沖—xyi= O.(3) 两个向量垂直的充要条件a丄b：二 a • b= O二 xi"+ y『2= O.(4) 线段的定比分点公式设点P分有向线段PP所成的比为X ,即PP = X匝，则op = i OP + i OP (线段的定比分点的向量公式)OPi OP 21 •. i -.，(线段定比分点的坐标公式亠:y当X = i时，得中点公式:op = L ( opi + op?')或2(5)平移公式设点F(x，y)按向量a=( h，x ■ = x hh,y '= y +k.贝U op "= op +a或』k)平移后得到点P'( x', y'),1、 向量加法的交换律：2、 向量加法的结合律：3、 向量乘积的结合律：4、 向量乘积的第一分配律:向量、平面向量的加法和乘积r r r ra ' b = b ' ar r r r r r(a b) c = a (b c)r r■(" a)二 C'；、L)ar r r(，•」)a =，a Q 二a5、向量乘积的第二分配律： ‘（a • b） =，a ：：.*.b二、 平面向量的基本定理ir ir r如果e、e2是同一平面内的两个不是共线的向量， 那么对于这一平面内的任一 a ,有且只有r it it一对实数，i、 、2，使得a = ‘心• ‘2e2。
it it（1）我们把不是共线的e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2 ）基底不是唯一的，关键是不是共线；r u ir（3） 由定理可以将平面内任一 a在给出基底e、e2的条件下进行分解；r it it（4） 基底给定时，分解形式是唯一的， 1、，2是被a、e、e2唯一确定的数量三、 平面向量的直角坐标运算r r r r r r仁 已知 a =（Xi,yJ，b =（X2,y2），则 a b =（洛 x?, % - y2），a -b =（为 一 x?, y’ 一 y?），r ra b PM, yy）uur uur uur2、 已知 A（Xi, yi）， B（x2,y2），则 AB = OB - OA = （x?, y?） -（x’，y’）= （x? - 人，y? - ％ ）r r3、 已知 a = （x1, y1）和实数，，^V ■ a =，（x’，y’）= （，x’，，y’）四、 两平面向量平行和垂直的充要条件’、平行（共线）：r r r r基本定理：a、b互相平行的充要条件是存在一个实数 ■，使得a二，br r r r定理：已知a =（為，y’）, b = （x2, y2），则a // b的充要条件是x’ y2 - x2 y’ = 0。
2、垂直：r r r r基本定理：a、b互相垂直的充要条件是 a b = 0r r r r定理：已知a = （x , y’），b = （x2, y2），贝V a丄b的充要条件是x1x2 y1y2 = 0五、 平面向量的数量积r r r r r r定义：非零向量a、b，它们之间的夹角为 日，贝U a b cos B就称作a与b的数量积，记作rra-bcos n，r r即有a b =性质:非零向量a、b的夹角为e是与b同向的单位向量，那么(1)e = e a = a cos 日；r rr 2r(3) a a =a或a_ b ：=a(4)r r a bCOS J =T-r-a-brrbar r(5)数乘结合律:r(a)r(b)分配律：（a b） c六、向量的长度、距离和夹角公式r r 2(1)已知 a =(x , y1)，则 a长度公式）=x2 + y2，即 aiu(2)已知 A(x「yi)，B(X2, y2)，则 AAB=.(X2 -Xi, (y2 -yi,距离公式）r r(3)已知 a =(x , yj， b =(X2, y?)，它们之间的夹角为二，则X1X2 yy、、yi2 y22，0乞二空二。