第一章非线性振动初步第四节 受迫振荡1．线性单摆的受迫振动2. 杜芬方程的受迫振动3. 庞加莱截面 4. 初识单摆的复杂运动驱动单摆方程驱动力写成指数这是非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和它一个特 解之和1. 齐次方程的通解:类似线性阻尼单摆，得：•2. 非齐次方程的特解: 设求导：消去公因子小摆角驱动单摆的通解代入1．线性单摆的受迫振动代入r、j 以后特解为：非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分 ：衰减过程常称为过渡过程1．线性单摆的受迫振动小摆角驱动单摆的通解谐振特性1．线性单摆的受迫振动研究幅频特性：将分母根号下对频率求导并令其等于零：共振频率nr小于系统自振频率w，共振时的最大振幅为：共振时最大振幅与阻尼有关共振 频率1. 受驱杜芬方程 （F cosnt 驱动力）由单摆方程2. 方程解设一次近似解 （A,j 为待定常数） A,j由下述方程组求出：其中2. 杜芬方程的受迫振动杜芬方程解改写2. 方程解(续)讨论稳态2. 杜芬方程的受迫振动杜芬方程解积分2. 方程解(续)考虑近共振：2. 杜芬方程的受迫振动杜芬方程解等效自 振频率2. 杜芬方程的受迫振动谐振特性单摆 杜芬方程等效自振频率随振幅增加而减小 自振频率是常数由于自振频率随振幅增加而减小，共振峰 发生“倾倒”现象，形成了向左的S形曲线 。
驱动频率n由小到大增加，共振点由1移至2到达2后，振幅向上跳变到 3n值时到达点4后，振幅又发生一次跳变，由4一下跳到最低值一些异常谐振特性现象：(1) 自动限幅现象共振振幅 A 为一有限值： (2) 多值共振解现象在 区域，一个n 值对应着 三个A值，即共振解有三个 q，r，s (3) 跳跃反相现象当 时，j = 0，共振解在共振线上；当 时，j 02. 杜芬方程的受迫振动谐振特性杜芬方程有异常频率特性，在 间有3个解它们的稳定性如何？稳定性判据为： 在 区域，解稳定性条件为： ，否则解是不稳定的； 在 区域，解稳定性条件为： ，否则解是不稳定的；以这两个判据来衡量，图中的 q，r，s 三个解中解 q，s 是稳定的，解 r 是不稳定的无阻尼杜芬振子的轨线 阻尼杜芬振子的轨线相图2. 杜芬方程的受迫振动庞加莱截面与庞加莱映射相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。
例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单 摆-杜芬方程，相图已复杂多了 •庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该 截面的交点，用以分析系统的复杂行为 •在n 维相空间里取一个n-1维面相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况•人们将时间上的连续运动转变为 •离散的图象处理方法称为庞加莱 •映射3.庞加莱映射单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点两倍周期运动， 每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点 3.庞加莱映射庞加莱截面与轨线运动3.庞加莱映射庞加莱截面与轨线运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动，截面上将出现留下无穷多点单摆的三维相空间3.庞加莱映射阻尼单摆的运动方程可化成三个方程：用三个变量q, j, w 组成三维相空间 相角j有周期性，把2 np 和2(n+1)p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。
原来园形轨线成了在圆环面的环线取某常数位相，即在该位相处截取一 平面，环线在穿过时留下了一个点它的相图有一个奇怪吸引子( 无周期运动)相轨线绕着该 吸引子一圈又一圈地不仃地转 动，结果相空间的轨线越来越 复杂图中那一团相轨线就是 在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状右下角是庞加莱截面图，图形 不仅简单得多，而且显示出某 种结构由庞加莱截面图可见 ，转子的相轨线尽管极其复杂 ，但它不是毫无规律的，而是 具有某种内在的规律性在内受驱转子运动3.庞加莱映射4. 初识单摆的复杂运动小驱动力单摆阻尼单摆方程为：小驱动力作用 作小幅度振动由线性受驱单摆 知解为：微分 后得由这两式得轨线方程4. 初识单摆的复杂运动小驱动力单摆的相轨线方程是椭圆方程说明： 1. 在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线 2. 说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子 3. 驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩 F 增大而增大，(即摆角在增大)小驱动力单摆4. 初识单摆的复杂运动当小摆角近似已不再适用时, 相轨线要用数值计算求得取b＝1/4，n＝2/3为 定值，F 由小到大取一系列数值。
1. 附近的对称性破缺a. 小摆角的对称椭圆在 附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺；b. 蛋形的朝向与相角的取值有关；c. 这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点数值计算结果4. 初识单摆的复杂运动数值计算结果2 F = 1.093 附近的准周期运动：a.当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭合的单周期轨道，复杂化起来b.在F = 1.093时相图上，相轨线虽在[-p,p]的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态c.在庞加莱截面上，相点处一条曲线上，可以认定系统处于准周期状 态（接近正确的周期运动）d.庞加莱截面上的图形与所取截面的位置(即相角)有关4. 初识单摆的复杂运动数值计算结果3. F = 1.15 附近的混沌状态a. 运动已扩展到势谷[ ]两侧的势谷内b. 运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上 几圈，往复不已c. 在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来4. 初识单摆的复杂运动结论综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：(1) 在小驱动力下，单摆作规则的周期运动当驱动力矩增加到某—临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。
2) 混沌状态并不是混乱一片从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着在庞加来截面上， 起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘 的内部结构逐步地显露出来3) 这些情况说明，混沌具有非常丰富的内部结构层次。