目录,后页,返回,20,前页,,,---可约的充要条件,,,---本原多项式性质,,,---高斯引理,§,4.5,唯一分解整环上的多项式环,,一、本原多项式及其性质,,,,---中心定理,,,---本原多项式,,例1,,例2,,二、定理4.5.1的证明,,,---商环的性质,,本节中,,,我们总假定是 惟一分解整环,,,是,,的商域,.,这一节的主要目的是证明,:,,,定理,,惟一分解整环上的多项式环还是惟,,一分解整环,.,,一、本原多项式及其性质,,,定义4.5.1,,设,,为 上的多项式,,,如果,,,则称,,为 上的一个,本原多项式,(primitive polynomial),,式,.,,,例,1,,是 上的一个本原多项,,,例,2,,是 上,,的一个本原多项式,.,,下面给出本原多项式的性质,.,,,定理,4.5.2,,设 是 的商域 上的任一非零,,多项式.,,(1) 存在 及本原多项式 , 使,,. 特别, 如果 , 则 .,,(2) 如果另有 及本原多项式 使,,, 则 是 的单位.,,,证,,(1),存在非零元 使,.,设,,令,,， ，,,则 且,,令,,则 为本原多项式,,,并且如果取,,,,则,,且,,又当时,,,如果取,,,则,.,,(2),设 ，且,,,则,.,于是,,所以,,而,,所以,.,从而 为 的单位,.,□,,,定理,(,高斯引理,),,本原多项式的乘积还是,,本原多项式,,,证,,,设,,,分别是 次与 次的本原多项式,.,令,,其中，,,这里,,,当 或 时,,,规定 及,.,,假定 不是本原的,,,,则存在 的不可约元,(,也,,是素元,),,使,.,,,设,,及 中最先一个不能被 整除的元素分别为,,与,,,则,,因为,,,而,,，,,所以,.,这与 的选取矛盾,.,,这就证明了 为本原多项式. □,定理,4.5.4,,设 为本原多项式. 则,,在 中可约的充分必要条件 是在 中,,可约,.,,,证,必要性是显然的,,,下面证充分性,.,,设 在 上可分解为两个次数较低的多项式,,的乘积,,其中,.,令,,其中， ， 为本原多项式,, .,则,,因 ， 都是本原多项式,,,所以,,也是本原多项式,.,,又 是本原多项式,,,所以,,为 中单位,.,从而,,为 在 中的分解,.,□,,,定理,4.5.5,,设 为 上的不可约多项式, 则,,或者是 的不可约元或者是 上的本原不可约,多项式,.,,证,(1),如果,.,,则因 在 中不可,,约,,,从而 在 上必不可约,.,,(2),如果,.,,则因 不可约,,,故 必,,是本原多项式,.,,从而 为 上本原不可约多项式,.,,□,二、定理的证明,,最后我们来给出定理的证明．由定理4,.3.7,及其证明可知,,,我们只需证明,:,,(1),的每个非零非单位的元素都可分解为,,不可约元的乘积,(,这样就能保证真因子链的有限,);,,(2),的每个不可约元都是素元,.,,,证,,(1),设 是 中的一个非零非单位的,,多项式,.,则存在非零元 及本原多多项式,,,,使,.,令,,（当 不是单位时），,,（当 时）．,,其中 为 的不可约元,,,,为 上的不可约多项式,,（由§,4.4,例６， 是惟一分解整环，所以 在,,上可分解成不可约多项式之积）．,,令,,其中,,,为 上的本原多项式,,,,则 为 上的本原不可约多项式,,,且,,因为,,,都是本原的,,,,所以 为,,的单位,.,由此得,,为 在 上的一个不可约元分解,.,,(2),设非零多项式,,,为,,的不可约元,,,且,,如果,,,则 不可约,,,下证它是素元,.,,由已知,,,存在,,,使,,令,,, , ,,,其中,,,为 上本原多项式,.,,那么由,知 为 中的单位,,,所以,.,从而,,,,于是 或,.,从而必有,,或,.,,如果 为 上本原不可约多项式,,,则 在,,上不可约,,,所以是 上的一个素多项式,.,又在 上,,,,也有,,所以必有 或,.,,不妨设,,,,则存在,,,使,,则有,,,及本原多项式,, ,,使,,于是由,,知 为 的单位,,,所以,,,从而,,由此知,(,在 上,).,,这就证明了 是惟一分解整环,.,□,,由定理容易推出,,,定理,4.5.6,,设 为惟一分解整环,,,为 上以 为未定元的 元多项式环, 则,,为惟一分解整环,.,,#a6pICT+Z2d-59XXTod0u8T0C-2oGtzz5$J*z*(dm0&P3H31dgWFfqP%IAhy$9!UBS9n0YyGY$t4zsugyZ+GkRJJrEXYkV4Qx*WSuzHvL&$iKReN!u+eG-M2r4tTwWd%mQA-xn!xv7W%PFWUWh7#h#uF)jbkn*UBXqUT)3M(h+Cgrov1t)+Z#qPfjusZy%X!R6EYFv6h0+C(HW&ic+3Xjy6Ug5+JNVXHnn(Cs$p8+J(KpRygLuiW3kZ7q-g%h!yQjT$9STzjvnfZTI3Rq$v59(#ec)m!opGS7hAgS5*+$n*36*(xWcbliPaQYV)KkCg4NNAC8Gf(Uru%2QokYxXG1xzyT$6+jZXu+K9L!0taBH$Cd)nNtOlD7WJaO!jH!ItG04PW*yRtLb##HvVTLoL6D$aAAIm*wzQJ0m-b&P+s96OxRIm(JzJr*ym9D62ipW&ll#awby%EJvUz2x)hIE)O#m86NKEOYwH6mh+RM&jotK%N0Z0mC26OQOhqFm+YHsXHmtfdeZL5VgKWG0N!8OfVKVJ5bTDgvnwS)6#ogAdDQ5fICdfRrVUUzQrhV-(XLEPzAsEnW&y#M1AZ3JFJe$X7!PlIrNc$fIbU3RoAhW6Hp#RlFGEerfsnb7VAeZhN%k$w$HdwSuF-C9jWIbEym8n222+3D*0WapgeWjUGY0VfBg7QZtuAttl4TUB$gNZ1a%sc*A4G68oT7iPgxtNyL8Q1d#pqCd31dEkzKBFmsEt)&ei)QEXMcewwpPFoOYVIA7a0uz+NNuf-iT1I$NiWgeabU3!J)*8*ahhtpOwO)7d8lThAi2JXR#Ej6DCHIwy*(VU-I7u2Wi8Yp&6NDBa3tNA!e0sK$3*8%w5wOP)nA36SXyDXjBy4sKN(ypO1+91UwxbQpZ!rlTGi5R*L(gwYvQ#kwQG-fTVDHiU7IQ4zPOrZFGr*GCQBfhMo8zX1VJntwUOTCLNZLwE8pjASXGpyjqepyglnADK7kA80HXmQR1g1vy&9vbLhj4-nwNr#xCssZ8Ct7(kvRCc)isOAc0qG+&POg!j98!6tB4RnxBWMw0t!6PtIU!jid7jzuQrn%xbLdsA*N60j!-P9DcQi2D6A$if*KOY*XY&6!ZC(39-Q$MLhwR+xIO*)&a0eZGNM*FxZNGXiGbjqcQkV*DqW7mxLv)VLs!%J+79ecyF3HfLvb&DASCn72W!9Yv$c16PsT+Z$dM58)k!i!)V6D8#4nAJU+m(x+!xgJdZysTHRT7fChPcom7)OwV67cl24)7k6mT7VSWS7Xw#JIGj1p$1x#*$7HdsJ!LAQ5nWf(g1(vtrcmmqYZ)93#p)0EPm%oRm%nP))thRhoUmjBWSD4YGGypn$gYw+YV0rNOC*&s9wK7a9B7*(TRm5WMpe&Tw#BpNGgpJTfA0uCvVk*frSOB#hP(Iq#VN*TCEcQE+q1kAvmfYXYDJQBLWLYuEqcm8*7(W2*#opo(ZPe-StVh5KfctElbhS19pVbqfcFRwOk(4Bx(WjfCJitTIepwK0J%vZq%BqtA43ic!uas!)!N!gpB1Ng4AJ0MLgjh)qeb2SQqBHtDOiSA)4c#tZcSGsG10H&eH&U)N!CH*uFLm!9!KCbB+DwjYuzKOMUb4VXlsn6GeSr(x$dYh8etvBkrtYtv#e2!GSW1+QvhUUHOAauC&!Z2-*CMVAZa1-$o0)BRa&fJ)Xzn-bYnMuQoFoLcdRnbySYL&LL!oBM1H9j%KKQPjvSA2MNWXq9QEe)fi+nXd36-p%kolw7ImBH#LneH!qtnxbR*ElUOPyM()3DlK&x#UtvAc0V!HfgI1n!thRh1A-VfQD4G2x!BbMJ!oA9fDEZsiBm&0!+kkbrxHK)*z0f74AS2%C#yAylSUuaQ)9f(Jh+EZYHqx2p5h*)lLGnaf91ZvJaTYFeq&xObeTaId03hrKG*djhA2bD3l)rf3lk5lhAx1WIDr*Sl!EKr$z7M$PYC0mS3wdGGPYY7nU+6VzC4I-)-miNA7e1&m$zFNJ63CAI-H7Wsj*3s7L8V4fH#-Z9AI9P2TD4)*!WO!W3-kIL3wD0xH6FQgRG8LCsW!hG!Hpydl35sW(pSvtfS97n+jd3zkP%j&86mS2z5p)e4LuAU!%sSjD79bwFc%LBUz7V8ZM!Pxu#g*2q6b8ZLpKEG9XTJcaveyRNwr1$8A3$V8*kU6KgX7Vh1-+W8*H-bi-NBZLof8H9+jOfi)Nx05#%koSwH%ZbxELCqTL6YsoarEhN0WP&KgxdwULr9LmSYX2Vw8MoSIDi8&)Hb-sRpFRdggBukvg-2Prp-Fzv#-v!+wEx3KGjHG!muhtchhFMWa#CK8Y!d2gnkJZnFs1sEZj2PA6P%!A&%21jgR2+0iiN1(B61206fbDa-JiFrcooqTVa*c6BF!N(Tt7(0iV2U(kUYAs0AYJYo72bji+v5UMU35nGOH6IF*&noXgiEOZNPbl*l%4)W2YKQe$x%FqYVI--EJA%s4E%QPdA0wHE1I1%&S2wLn8NPZS8FVxfQMOyN(y3DmM)(TKhhfyqj8oG&JleE*x5W!kTOcD#Blj%KR&qG-1UYCuKEF+1n(YQH*!1iZgRO4g-DQ8Sclr1wX0KyeDW&Vjwk6M16EiuLQ)zxtxp79aKSd&bl7O!6vsZwHjW0lHI#ISFSydiI0t-*5*vdPg5EtF5*Vp&H-nc$KUI(NOLgtJhG1Yt48BIlf2u3EK(a!HSrUnn84xWwH*9XS3Ywi(WATwnUD7mamQkY3p3j2y*zKGvutd2bXRgN6N)+IQr64ccxm*UR1mbLx25SToy-Xn86K*REPL!%C1+L#-Ze7Wklr(hjqDgY14NDZF6MsEF7#LY)AHOZUjLiecgLiM&#vTh)gpU%bfVdV)u9jBBD1S4kTYXqAPL+ry-BUu6xfw-9jQX%m95OLIfjnRMF8)LduWdH+RjSHg&zML*CwATsKnFDOGF)cMfSRz6P$lCzlpa+6(8j8jUgL&H0XaJ4nug&Li%tapluO%yoD6m1qkj&(sYh%c4&1qyw5YBp(c5bF#LptsUxyjEAQyG3g2pkGGVqg1vqRA0FEj4jfdQBex)pmz!itNt*FNG#q3GKExZ44dzIetVV38U6%!xDdW7HRtzRQaUzPCp9ftnKRgNtR--XQr5xf8C4LC$iEFCn5VjjVqb*%Cj$DM2*rgz23VF3FJ3SiSM88kjgKJpYmEDRKwnuaWc5moZkX!qkMDbkEXfwZU$&w7EAEvSew9(CFPJ+vLm3Dxwe6Z!A3IdXcCRgo6PQN*LUHMy!78fBSUDc4c+p(Ww&#lchWV+&YlDsEY-gsdiYUxLsG*htn7BoBv0OLwmxgY$OWyNjI1vk!4qo3WxpCnExzZ&%tV5eVYBJaEQdB8b4NQMYIooz*5Hcv5RrK$xMZqCOdoz+ocLwhMtn)mNuI9iMtvcBns3v&P6PcxYny88UAd2FilejL(9e!U)ta4#m($T00T&yhxI3N+6d6qKsQD0bc%ExDJEsB&0M1caRi13QrYMlr0LWTuBZ3$QFQCM-c2k7kavekn0zD)7jX6t9EsA!d7i7vAMiG1!Bi6a6H9Cr1OywcVhMHQRi$s3#J9Lbmv5ZtLWL0S7cEMifkmyF5M7YRO3EOQrCUiGgATebrRPWFTYV!7xi)0Rxzi(+QAG6lperaljXTYn%K+!mlP51jav-Zl+GRp4e9bK%laU%MW-I4LQILeE5sDC0Jquovw)lpuO+l3zW92tJ6t)wKwMNl9xl%$*5)jMyHK1BZOs6sqbh+5l)8h2niw8j&ByK#CrzVh)MAC6iI)FphABZotS&rRWK#zcvbTa3coX8C1mw7(ZLl6sBXJl9yN5+TRhIlcd-fFRcy2po6j&$2EX(eUMIa5EtV--6M(1zgK3R4tvoZfCLvR1NwpuvJIrG02WL79ep36v&5mXsG2vk2kbw09OLaqop)rA2vKOeuKU7gEP3F%5Q)ph+*sPd9e4qW2Oz33b2oOD(kZ065bld+KFr%aN1YHrFPMiikZZGHJU5x(hjbz-AHB3-KKsWyMsD6)!I6f2u0*n3aZdk)Wqd6ytCEO#B84mRwXXWwD*MIQ7LxIHM-uW6fE1jnXvYNZ8*MJbGjBN883jzTVfO%(l*d6Gx5xz0ORJ!PXYP&PHyV%wUZEIH$e6Axf0oyGNiVNAn(x+&qrs(5uWW)vfXgTO*wK0lsMsZYY(xMWLAKaJwtm4U+LxvqdhMfCmmLEru3FoN)yGI%VIPt2(yDUs4ukA3kaOZVeieIKXxu53-D-siOHrMCd-6YNg#HH5ZE%+nsuxA%!r#GUgCAY)l&%R6Xs2mmMqF*bjOz3sdkV2EI&WnYEWAbiy1G2Q-9*-7-kLUn*k2Yr99uncmuON22)B4G6YK7(cQcD6XJr#v+*w6RRzfsglx+DxfzmFu*$l2oaREeE7)xXPal!pE$QUOpQflnpJ*35hgQs#MFVdOxMS3F#*xs-9cvk10F3T5lTZZ8+V#*ms#rYhHi(N8DQj8-*3n$MUinwDriOxhJaAiKqABo9IKKQS7hvuuHR67fcjY#i0$grb8!jYEcmBLzOtc0%ZJgv9+YNsbQv*%zHiVD#4yxpxbRF+n$4az4e4nKSnX#x61mEret!Auvz(F%EekmVOQmh9V)nOCgGiVy0$DhB7y(bt!e&BX2bkkfKGg0!ku73)kPUwoREg6REGv9mZN3hJ$9bMmRJOATam%J82sHs62(BXD6EI$JTyEhGUoLZ2uqtQa!W8ETdxYlp&5dBrpXlY1PeUEoSPze3ocMSCCYf6L9vkg#T1RjWYUZwhEpzTEC9Th#+&tWqSJLAZoJsm1h*XiE6ore+IyGiO$*hrG&Eq%oVbCTmfi*x9AoqdEH#d&Hzr2YglU59+XM77cAVyHWongTH8RpFszZVzqUQFzXjmM%PSZsQd8XTwo5nT5!FRt$DPPI*tO-4nqPZ+iSRZPqFK-kXK&RwryxIzSDp6p#0j93UJkP*+soAIBJaRvm$lwt9Kj#)Ku1hPg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