命题逻辑复习题及答案 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020 命题逻辑 一、选择题（每题 3 分） 1、下列句子中哪个是命题？ ( C ) A、你的离散数学考试通过了吗 B、请系好安全带！ C、 是有理数 D、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( C ) A、你通过了离散数学考试 B、我俩五百年前是一家 C、 我说的是真话 D、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C ) A、 B、 C、 D、 4、命题公式PQ不能表述为( B ) A、P或Q B、非P每当Q C、非P仅当Q D、除非P，否则Q 5、永真式的否定是 ( B ) A、 永真式 B、永假式 C、可满足式 D、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()PPQ的真值为假( D ) A、P假Q真 B、P假Q假 C、P真Q真 D、P真Q假 7、下列为命题公式()PQR成假指派的是( B ) A、100 B、101 C 、110 D、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C ) A、()PPQ B、()PPQ C、()P D、()P 9、 下列公式中为非永真式的是 ( B ) A、 ()PPQ B、()PPQ C、()PPQ D、()PPQ 10、下列表达式错误的是 ( D ) A、()PPQP B、()PPQP C、()PPQPQ D 、()PPQPQ 11、下列表达式正确的是( D ) A、PPQ B、PQP C、()QPQ D、P)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B ) （1）224当且仅当3是奇数 （2）224当且仅当3不是奇数； （3）224当且仅当3是奇数 （4）224当且仅当3不是奇数 A、（1）与（2） B、（1）与（4） C、（2）与（4） D、（3）与（4） 13、设P：龙凤呈祥是成语，Q：雪是黑的，R：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A、RQP B、QPS C、PQR D、 QPS 14、设P：我累，Q：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A、PQ B 、QP C 、 QP D 、PQ 15、设P：我听课，Q：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A、PQ B、QP C、 QP D、PQ 提示：()PQPQ 16、设P：停机；Q：语法错误；R：程序错误， 则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ D ） A、RQP B、PQR C、QRP D、QRP 17、设P：你来了；Q：他唱歌；R：你伴奏 则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ） A、()PQR B、()PQR C、()PRQ D、()PQR 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ A ） A、 存在并且唯一 B、存在但不唯一 C、 不存在 D、 不能够确定 19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（ A ） A、 存在并且唯一 B、存在但不唯一 C、 不存在 D、 不能够确定 20、n个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ D ） A、n B、2n C、2n D、2n 21、n个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ D ） A、n B、2n C、2n D、2n 二、填充题（每题 4 分） 1、设P：你努力，Q：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为QP . 2、设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质， 则 “占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为RQPS. 3、一个命题含有n个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种. 4、推理规则()AABB的名称为假言推理. 5、推理规则()BABA 的名称为拒取式. 6、推理规则()AABB 的名称为析取三段论. 7、推理规则()()ABBCAC的名称为前提三段论. 8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为 1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为 0. 9、任意两个不同极小项的合取式的真值为 0，而全体极小项的析取式的真值为 1. 10、任意两个不同极大项的析取式的真值为 1，而全体极大项的合取式的真值为 0. 11、n个命题变元可构造包括F的不同的主析取范式类别为22n. 12、n个命题变元可构造包括T的不同的主合取范式类别为22n. 三、问答题（每题 6 分） 1、设A、B是任意命题公式，请问,AB AB分别表示什么？其有何关系？ 答：AB表示A蕴含B，AB表示A永真蕴含B； 其关系表现为：若AB为永真式，则有AB. 2、设A、B是任意命题公式，请问,AB AB分别表示什么其有何关系 答：AB表示A等值于B，AB表示A与B逻辑等价； 其关系表现为：若AB为永真式，则有AB. 3、设A、B、C是任意命题公式，若ACBC ，则AB成立吗为什么 答：不一定有AB； 若A为真，B为假，C为真，则ACBC成立，但AB不成立. 4、设A、B、C是任意命题公式，若ACBC ，则AB成立吗为什么 答：不一定有AB； 若A为真，B为假，C为假，则ACBC成立，但AB不成立. 5、设A、B是任意命题公式，()AABB一定为真吗？为什么？ 答：一定为真；因()()()()AABBAABBAAABB ()FABBABBT.（用真值表也可证明） 6、设A、B是任意命题公式，()()ABABA 一定为真吗？为什么？ 答：一定为真；因()()()()()ABABABABABB AFA .（用真值表也可证明） 四、填表计算题（每题 10 分） 1、对命题公式 ()()Apqpq ，要求 （1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解： 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 主析取范式(2)A ；主合取范式(0,1,3)A . 2、对命题公式 ()Apqr，要求 （1）用0或1填补其真值表的空格处；（ 2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式 . 解： 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 主析取范式(1,3,4,7)A ；主合取范式(0,2,5,6)A . 3、对命题公式 ()()Apqpr，要求 （1）用0或1填补其真值表的空格处；（ 2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式 . 解： 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 主析取范式(5,6,7)A ；主合取范式(0,1,2,3,4)A . 4、对命题公式()()Apqpr ，要求 （1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解： 主析取范式(2,3,5,7)A ；主合取范式(0,1,4,6)A . 5、对命题公式()Apqr ，要求 （1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解： 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 主析取范式(1,3,5,6,7)A ；主合取范式(0,2,4)A . 五、证明题（每题10 分） 1、证明下列逻辑恒等式：()()()PQRQPRQ. 证明 ： 左()()()PQRQPRQ ()PRQPRQ 右.（用真值表也可证明） 2、证明下列逻辑恒等式： PQRRQP . 证明：左()PQRPQR ()RQPRQP 右.（用真值表也可证明） 3、证明下列逻辑恒等式：PQPQPQ. 证明：左 PQPQPQPQ 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 QPQPPQPQ右.（用真值表也可证明） 4、用逻辑推理规则证明： ()abc ，d ，cd ab . 证明:(1) cd P (2) d P (3)c T(1),(2) (析取三段论) (4) ()abc P (5)()ab T(3)，(4) (拒取式) (6) ab T(5) (德.摩根律) . 5、用逻辑推理规则证明： , ,pqpssrrq . 证明: (1) ps P (2) sr P (3) pr T(1),(2) (前提三段论) (4)rp T(3) ( 逆反律) (5)pq P (6)pq T(5) ( 蕴含表达式 ) (7)rq T(4)，(6) ( 前提三段论 ) . 6、用逻辑推理规则证明：pq，pr， qr ，r，sps . 证明: (1) r P (2) qr P (3) q T(1),(2) (析取三段论) (4)pq P (5) p T(3)，(4) (拒取式) (6) sp P (7) s T(5)，(6) (析取三段论) . 7、用逻辑推理规则证明：()()pqrs ，()qpr， rpq. 证明: (1) r P (2) ()qpr P (3) qp T(1),(2) (析取三段论) (4) rs T(1) (加法式) (5) ()()pqrs P (6) pq T(4)，(5) (拒取式) (7) ()()pp T(3)，(6) (合取式) (8) pq T (7) (等值表达式) . 8、用逻辑推理规则证明： , ,spprqrsq . 证明: (1) s P (2) sp P (3) p T(1),(2) (析取三段论) (4) prq P (5) rq T(3)，(4) (假言推理) (6) q T(5)（简化式） (7) sq CP. 9、用逻辑推理规则证明：()()pqrpqr 证明：(1) pq P (附加前提) (2) p T(1)（简化式） (3) pq T(2)（加法式） (4) ()pqr P (5) r T(3),(4)（假言推理） (6) ()()pqrpqr CP. 10、用逻辑推理规则证明：,,pr rsps . 证明：（1）p P (附加前提) (2) pq P (3) q T (1)，(2) (析取三段论) （4）qr P (5) r T (3)，(4) (析取三段论) (6) rs P (7) s T (5)，(6) （假言推理） (8) ps CP. 11、用逻辑推理规则证明：()()pqrs，()rstpt . 证明：（1）p P (附加前提) (2)pq T(1)（加法式） (3)()()pqrs P (4)rs T(2)，(3)（假言推理） (5)r T(4)（简化式） (6)rs T(5)（加法式） (7)()rst P (8)t T(6)，(7)（假言推理） (9)pt CP. 12、用逻辑推理规则证明：(),,twsqs tsqt 证明：（1）q P (附加前提) (2) qs P (3) s T (1)，(2) (析取三段论) (4) ()tws P (5)()tw T(3)，(4) (拒取式) (6)()tw T (5) (蕴含表达式) (7) tw T (6) (德.摩根律) (8) t T (7) (简化式) (9)qt CP. 13、用逻辑推理规则证明：abc，()efc ，()basbe. 证明：（1） b P (附加前提) （2）()bas P (3) as T (1)，(2) （假言推理） (4) a T (3) (简化式) (5) abc P (6) bc T (4)，(5) （假言推理） (7) c T (6) (简化式) (8) ()efc P (9) ()ef T (7)，(8) (拒取式) (10)()ef T (9) (蕴含表达式) (11) ef T (10) (德.摩根律) (12) e T (11) (简化式) (13) be CP. 14、用逻辑推理规则证明：pq，p . 证明：(1) q P(附加前提) (2) pq P (3) p T (1),(2) (拒取式) (4) pq P (5) q T (3),(4) (假言推理) (6) T (1),(5) (合取式) 由（6）得出矛盾式，故原命题有效. 15、用逻辑推理规则证明： pq ，()()pqts ts . 证明:（1）()ts P (附加前提) (2) ()()pqts P (3)()pq T(1),(2) (拒取式) (4) (()())pqpq T(3)（等值与蕴含表达式） (5) ()()pqpq T(4) (德.摩根律) (6) ()()pqpq T(5) (结合律或范式等价) . (7) pq T (7) (简化式) (8) ()pq T(4) (德.摩根律) (9) pq P (10) ()()pqpq T (9),(10) (合取式) 由（10）得出矛盾式，故原命题有效. 16、用逻辑推理规则证明：pq，pr， ()qr不能同时为真. 证明：(1) pr P (2) p T (1) (简化式) (3) pq P (4) q T (2),(3) (假言推理) (5) ()qr P (6) qr T (5) ( 德.摩根律 ) (7) q T (6) ( 简化式 ) (8) T (4),(7) (合取式 ) 由（8）得出矛盾式，故原命题有效. 17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学. 证明：设p：逻辑难学；q：有少数学生不喜欢逻辑学；r：数学容易学. 该推理就是要证明：, pqrpqr . (1) pq P (2) pq T (1) ( 蕴含表达式 ) (3) rp P (4) rq T (2),(3) (前提三段论) (5) qr T (4) ( 逆反律) . 18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验. 证明：设p：今天是星期三；q：我有一次离散数学测验； r：我有一次数字逻辑测验；s：离散数学课老师有事. 该推理就是要证明：(), , pqrsqpsr . (1) ps P (2) p T (1) (简化式) (3) s T (1) (简化式) (4) sq P (5) q T (3) ，(4) （假言推理） (6) ()pqr P (7) qr T (2) ，(6) （假言推理） (8) r T (5) ，(7) (析取三段论) . 19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。
证明：设p：马会飞；q：羊吃草；r：母鸡是飞鸟； s：烤熟的鸭子还会跑. 该推理就是要证明：(), , pqrrssq . (1) s P (2) rs P (3) r T (1)，(2) (拒取式) (4) ()pqr P (5) ()pq T (3) ，(4) (拒取式) (6) pq T (5) ( 德.摩根律 ) (7) q T (6) ( 简化式) . 20、证明下列命题推得的结论有效：若A队第一，则B队或C队获亚军；若C队获亚军，则A队不能获冠军；若D队亚军，则B队不能获亚军；A队获第一.所以，D队不是亚军. 证明、设a：A队得第一；b：B队获亚军；c：C队获亚军；d：D队获亚军. 该推理就是要证明：(), , ,abccadb ad . （1） a P （2）()abc P （3） bc T（1），（2）(假言推理) （4）ca P （5） c T（1），（4）(拒取式) （6） b T（3），（5）(析取三段论) （7）db P （8） d T（6），（7）(拒取式) . 。