极限的求法1. 直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为00例1.求7TT■務2^3+z-5*1分析由于2 " " ht 2 ht 2lim (3z+l) = 31im x + lim 1 = 3-2 + 1 = 7?所以采用直接代入法.原式二2-22 4-2-5 _ 53-2 + 1 ~12. 利用极限的四则运算法则来求极限为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号limf(x)表 示f(x)在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下: 定理 在同一变化过程中，设lim f(x)」im g(x)都存在，则(1) lim[f (x) 土 g (x)]二 lim f (x) 土 lim g (x)(2) lim[f (x)g(x)]二 limf (x)lim g(x)(3) 当分母lim g(x)丰0时，有lim f(x)= lim f(x)g (x) lim g (x)总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商lim 二1例2.求 xt2 x + 1lim( x -1)x — 1 = x t2— lim - lim( x + 1)x—2 x + 1 xt23. 无穷小量分出法适用于分子、分母同时趋于即巴型未定式CO例 3. lim着fa+2+5z-3分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直 接应用法则•注意到当xToa时，分子、分母同时趋于00，首先将函数进行初 等变形，即分子、分母同除x的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据 运算法则即可求出极限.为什么所给函数中，当XTCO时，分子、分母同时趋于□□呢？以当 lim （3x3 - Ax2 -I- 2） = ra说明：因为 曲张耳=冬lim 4^ = oo,但是？F趋于0□的 速度要比4护趋于0□的速度快，所以lim （3x3 -4jt2 +2） = oa.不要认为w-ra 仍是0□（因为0□有正负之分）.3-^4解原式=阮—卜十 （分子、分母同除X）J J7+?"?4 2lim （3--十二一尸厂（运算法则）f x x=3-0 + 0 （当时，丄,亠,丄都趋于0.7+0+0 x F F无穷大的倒数是无穷小•）_ 3-74. 消去零因子法适用于分子、分母的极限同时为0,即+型未定式例 4. lim -4_—宀? - 9分析 所给两个函数中，分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四，故 采用消去零因子法.原式=蚪"心（因式分解）二 11心^+313+3（约分消去零因子z-3）（应用法则）=£65.利用无穷小量的性质例5.求极限lim苦fa分析 因为 不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.原式二（恒等变形）因为 当xTca时，即丄是当xToa时的无穷小，而Ism <1,即sm x是有界函数，由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小，十 Sttl „得 =0.芒—□：・ 十-6.利用拆项法技巧例6：lim J + 1 +•••+ 1 )nK 匸3 35 (2n - 1)(2n +1)分析:1 111)—( - )(2n - 1)(2n +1) 2 (2n -1 2n +1由于 二1111 1 1 lhm 1 1lim —[(1 — —) + (_ — —) + + ( — )] = — (1 — )——原式二 w 2 3 3 5 2n -1 2n +1 22n +1 27.变量替换例7求极限lim2s -1-1分析 当 时，分子、分母都趋于+怕，不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.2™ -1解原式== （令f二丫，引进新的变量，将原来的关于总的极限转化为f的极限•）=0. （ 型,最高次幂在分母上）008.分段函数的极限<0例8设了㈤二；0^=0讨论/⑴在点x = 0处的极限是否存在.+ X X- > o分析 所给函数是分段函数，兀=0是分段点，要知 是否存在，必须从极限存在的充要条件入手.解因为= lim+（2： + l） = 1r-s-O- w0+所以 不存在.注1因为誥从0的左边趋于0,则孟0,故/（小=乳+ 1.我总结的16种求极限的方法（你还能找出 其他的？首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的 皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极 限的一种）巳2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！你还能有补充么？？ ？）1等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是 前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等 等全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提!!!!!！必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况 下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！（假如告诉你g （x）,没告诉你是否可导，直接用无 疑于找死！！必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写 成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方对于（指数幕数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幕上的函数移下 来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端 都趋近于无穷时候他的幕移下来趋近于0当他的幕移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于 0）3泰勒公式 （含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注 意！！！）E的x展开 sina展开 cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方 法面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6 夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大7 等比等差数列公式应用（对付数列极限） （ q 绝对值符号要小于 1 ）8 各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2个重要极限的应用。
这两个很重要！ ！ ！ ！ ！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是 用地2 个重要极限）11 还有个方法 ，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！ x的x次方快于x！快于指数函数 快于 幕数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的14 还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分 一般是从 0 到 1 的形式 15 单调有界的性质对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！16 直接使用求导数的定义来求极限 ，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f （x加减麽个值）加减f （x）的形式， 看见了有特别注意）（当题目中告诉你F（0）=0时候f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！）。