课二讲三反思，探索有效的课堂方法——《一类数列通项公式的求法》的实践与反思 第一次教学活动: [例1] 已知某数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1(n≥2)，求此数列的通项公式． 师:这个数列{an}即不是等差数列，又不是等比数列，那么我们怎样才能通过变形去得到一个新的等差或等比数列{bn}，并通过求解{bn}而得到{an}的解？ 生1:在递推式的两边同时加上1，有bn=an+1=2(an-1+1). 师:很好!让我们一起来试一下,看能不能求出数列{an}的通项. 教师示范解答过程（略）. 师:请同学们回顾一下解题过程. 生2:原数列的通项是通过将其变形而得到一个新的等比数列后求得的． 生3:变形的方法是在数列递推关系的两边都加上一个常数. 师:很好!让我们用同样的方法来解例2. [例2] 已知某数列{an}的首项{a1}=60，且求此数列的通项公式． 这时绝大部分学生仿照例1的解法,有的在等式的两端同时加上15,有的同时加上30,也有的同时加上50,…….结果,大部分学生的亲身实践活动未获成功. 师:你们在递推关系的两边都加上-75,再试一试. 大家顺利地完成了例2. 生4:老师,怎样想到在递推关系的两边都加上-75的? 师:这个问题提得好! 借势,老师把这个悬念引到前述课本习题的一般情形,提出下面的问题: [例3] 在递推式an+1=can+d的两边加上怎样的一个常数y,能使得数列{an+y}构成一个等比数列,从而求得{an}的通项? 学生讨论了一会儿. 师：下面我们用待定关系法求出y的值． 由an+1=can+d与an+1+y=c(an+y)的等价性,知. 接着学生巩固练习.“已知某数列{an}的首项a1=1，且an=-2an-1+1(n≥2)求此数列的通项公式”． 老师结合学生作答进行评讲(略). 教学反思一: 这是一堂常见的、精心设计的讲授课：教师的讲授既有细微的分析，又有系统的问题，表现出从特殊例子到一般公式，又回到实例应用的良好过程，后面还有练习帮助巩固，可算是讲练结合．然而，一个明显的感觉是：教师是教学的主体，整堂课都是教师在“演示”（即使是最末的练习，实际上也是学生在重复教师的“演示”）．学生完全是被动的，不由自主地跟随教师去“在通项两边加上1”（例1），“在通项两边加上－75”（例2），“在通项两边加上……”（例3）.换言之，学生的活动主要是在“印证”教师的想法，主要在于填补具体的求解细节，实践与熟悉一些解题技巧,而对于问题的理解与解题策略的获得，则很少涉及．至于对“为什么要这么做”、“还可以用别的方法吗”等更为本质的问题，他们更没时间去考虑，当然也没有机会表达，以及和同伴或者教师交流自己对问题的不同理解，自然也无法去提高自己“观察、分析、提出问题和解决问题的能力”，而这原本是本次教学活动的主要目的． 改进后的第二次教学活动: [例1] 已知某数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1(n≥2)，求此数列的通项公式． 师：这数列即非等差数列、又非等比数列，不能套用已经学的通项公式，怎么办？ （改进提问方式，减少思维限制） 生1：在递推式的两边同时加上1，有bn=an+1=2(an-1+1). 师：很好！有没有其它的想法？ （给学生充分表达自己想法的机会.） 生2：先将数列{an}前几项写出来，再进猜想. 师：这个想法也蛮好的，同学们式一下. 很多同学动笔进行计算.这时生3提出他的另一个想法. 生3：an+1=2an+1,an=2an-1+1,两式相减，有：an+1-an=2(an-an-1) 令an-an-1=bn,则bn+1=2bn 我们就构造出等比数列{bn },可以先求{bn }的通项，再求{an}的通项. 过了一会儿,已经有学生写出了数列{an}的前7项:1,3,7,15,31,63,127,…… 生4:每一项加1,就变为2,4,8,16,32,64,128,……, 是公比为2的等比数列! 生5:后一项减前一项的差是2,4,8,16,32,64,……,也是公比为2的等比数列! 师:很好!能不能将猜想法和前面的两种解法结合起来? 生6:每一项加1,就变为2,4,8,16,32,64,128,……,是公比为2的等比数列,就是第一种解法. 生7:后一项减前一项的差是2,4,8,16,32,64,……,也是公比为2的等比数列,生3的想法是这样来的,是吗? 生7看着生3. 生3:其实我是这样想出来的.老师常说可以“知和求项”,有一道题sn=2an+1，求{an}的通项，就算将下标n换成了n－1构造第二个等式，再两个式子相减. 我是由此启发而想到的. （因为给了学生足够的思考讨论的时间,学生给出了多种多样的解法. 此时，原例3已属不必要了！事实上，例3除了求解过程更复杂以外，求解思路、思维水平与例2一致，可作为课后作业．) 接下来，老师给出两种解法的解题示范.之后，学生进行堂上巩固练习. 教学反思二： 在有意义接受学习中，教师的提问技巧和引导能力是提高课堂教学有效性的关键环节.正是因为调整了提问方式，第二次教学活动才导出了学生的精彩思维，促进了师生之间的交流，使得课堂成为主动学习的大舞台. 对学生研究性学习的： 课后，数学成绩中等学生甲来问我：“老师，在例1中，能不能看成把1分给了an一点，又分给了an-1一点？” 刚开始，我觉得这个问题好笑，正准备回答学生的想法是错误的，但是我转念一想，学生的想法有他个人的理解，不能轻易判错.于是我让他先思考下面的问题，“已知数列{an}的首项a1=1,且an=4an-1+2n(n≥2)，求此数列的通项公式.” 当天晚上我值班,第一节课下课的时候,学生甲就跑过来找我,很兴奋地告诉我:“老师,我解出这道题目了！” 下面是甲的解答: 将2n分an一点，分给an-1一点. 有an+p•2n=4(an-1+p•2n),展开与已知条件对比，得 3p=1，令有bn=4bn-1(n≥2)，可知{bn}为等比数列, 一个成绩中等的学生,能有这样的想法,难能可贵!尽管答案中有一定的错误,但是不能因为学生的这种错误就用冷水浇灭他思维的火花,我认为,学生这时正在开展研究性学习. 我首先表扬了他的这种探索精神,再让他求一求数列的前几项,看看答案对不对,找一找原因. 这位学生马上进行了验算,发现答案不对,哪里出现了问题? 我启发他:如果bn=an+2n,那么bn-1=? 他马上写出:bn-1=an-1+2n-1 这时,我让他再看看自己的解答.他想了一会儿,马上发现了问题:an+p•2n=4(an-1+p•2n)不对,应该是 an+p•2n=4(an-1+p•2n-1),接下来,他给出了正确答案:an=3•4n-1-2n 甲此时很高兴,他发现自己“发明”了一种解题方法. 这个时候,我让甲探讨题目“已知某数列{an} 的首项a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2)，求此数列的通项公式．” 当甲用“发明”的解法解答这道题目时,得出的结论是an=2an-1,明显不对!怎么办? 甲带着这个问题离开了办公室.过了一会儿他来问我:“老师,我觉得可以利用例1的方法解答这个问题.”他如何解答,我想不出来. 我再一次启发他:例1的递推关系是加上一个常数,a1=1，且=an=2an-1+2n(n≥2)作怎样的变化可以变为加常数的形式? 他想了一会儿,突然说:“两边都除以2n”,接下来,他很快地得出正确答案:那天晚上他特别高兴,因为他“发明”了一种解题方法,又学会另一种解题方法. 我让甲将想法写成小论文让同学们一起学习,同学们都很受启发. 教学反思三： 我在教学中形成一个习惯,让学生将好的、巧的想法写成小论文,让同学们共同分享.有时候将一些错误的想法写出来让同学们共同辨析,学生反映良好,收获颇多.我认为,这就是学生研究性学习的成果.我这样做是将研究性学习进行课内渗透课后拓展,有利促进有效教学的教学目标的实现. 我认为高中研究性学习的具体目标应定位在使学生“能够独立完成自己不够熟悉的任务”这一层次上,应强调学生学习“做事”的基本功,而不是“研究成果”. 将研究性学习渗透到课堂拓展到课后是高中数学有效教学的教学目标实现的重要途径.但是如何具体操作还要在实践中进行探索和思考.5。