1 便携式倒立摆实验简介倒立摆装置被公觉得是自动控制理论中的典型实验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型本实验基于便携式直线一级倒立摆实验系统研究其稳摆控制原理1.1重要实验设备及仪器便携式直线一级倒立摆实验箱 一套控制计算机 一台便携式直线一级倒立摆实验软件 一套1.2便携式倒立摆系统构造及工作原理便携式直线一级倒立摆实验系统总体构造如图1所示：图1 便携式一级倒立摆实验系统总体构造图主体构造涉及摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据互换，另有一条线接220v交流电源便携式直线一级倒立摆的工作原理如图2所示：图2 便携式一级倒立摆工作原理图数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，因此通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的多种理论转化的算法计算出控制量控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。
2 便携式倒立摆控制原理方框图便携式倒立摆是具有反馈功能的闭环系统，其控制目的是实目前静态和动态下的稳摆当输入量为抱负摆角，即∅g=0时，偏差为0，控制器不工作；当输入量不为抱负摆角时，偏差存在，控制器做出决策，驱动电机，使小车摆杆系统发生相应位移，输出的摆角通过角位移传感器作用于输出量，达到减小偏差的目的根据控制原理绘制出控制方框图如图3所示：图3 便携式一级倒立摆控制原理方框图3 建立小车-摆杆数学模型便携式倒立摆系统重要由小车、摆杆等构成，它们之间自由连接小车可以在导轨上自由移动，摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动在忽视了空气阻力和多种摩擦之后，可将便携式倒立摆系统抽象成小车和匀质杆构成的刚体系统，在惯性坐标内应用典型力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析措施建立小车-摆杆的数学模型将其置于平面坐标系后其构造图如图4所示，规定逆时针方向的转角和力矩均为正图4 便携式倒立摆构造图 模型参数符号如下：M: 小车质量；m: 摆杆质量；I: 摆杆转动惯量；l: 摆杆质心到转轴的距离；L: 摆杆长度； F: 外加在小车上的力；N:摆杆给小车的力；P:小车给摆杆的支持力； ∅: 转角；x: 小车位置；b: 小车与导轨间的摩擦系数。
3.1拟定系统输入输出量及中间变量： 输入量：F: 加在小车上的力输出量：∅: 转角 中间变量：x: 小车位置3.2受力分析，列写运动方程：小车水平方向所受合力： （1）摆杆水平方向所受合力： （2）由（2）得： （3）将（3）代入（1）得到系统第一种运动方程： (4)摆杆垂直方向的合力： （5）由（5）得： （6）摆杆对质心的力矩平衡方程： （7）从(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到系统第二个运动方程： （8）综上所述，系统的两个运动方程为（4）式和（8）式： 3.3系统非线性方程的线性化：由于倒立摆摆杆旋转角度不会太大，即θ≪1（1为弧度），可以做近似解决，即在稳定点附近线性化系统平衡工作点F0,∅0为0,0，可得：倒立摆系统的线性化模型为：3.4零初始条件下的拉氏变换：3.5代入参数求解传递函数：已知的系统物理参数：小车的质量M：0.618 kg摆杆的长度L：0.350m摆杆的质量m：0.0737 kg摆杆质心到转轴距离l：0.1225m将数据代入数学模型中求得摆杆角度对小车位移的传递函数：∅(s)X(s)=6.122s2s-604 校正前系统性能MATLAB仿真分析4.1稳定性分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统开环Nyquist图如图5：num=[6.122];den=[1 0 -60];nyquist(num,den)图5 校正前系统开环Nyquist图由图分析知，系统开环右极点数P=1，N=0。
根据Z=P+N的公式知Z=1，系统不稳定4.2阶跃响应分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统阶跃响应曲线图如图6：s=tf('s')G=6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB)图6 校正前系统阶跃响应曲线图由图分析知，系统的阶跃响应值不随时间的增长而衰减，呈现不断发散的趋势，故系统不稳定4.3频率特性分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前系统Bode图如图7：num=[6.122];den=[1 0 -60];bode(num,den);图7 校正前系统Bode图由图分析知，相频特性图中相位裕度为0，故系统不稳定，需串联频率控制器加以校正5 设计近似PID校正装置设计控制器，使得校正后系统满足稳态位置误差系数Kp=10，相位裕度γ(ωc)=50°设串联超前校正装置的传递函数为：αGcs=Ts+1Tαs+1系统开环增益为K，则校正后系统的开环传递函数为：KαGcsG(s)=KTs+1Tαs+16.122s2-605.1计算开环增益K：由于，即：KαGcsGs=KTs+1Tαs+16.122s2-60=10计算得于是有：KGs=6.122×98s2-60在MATLAB中输入如下代码，可绘制出KG(s)的Bode图如图8：num=[6.122*98];den=[1 0 -60];bode(num,den)图8 添加增益后的便携式倒立摆的Bode图可以看出，系统的相位裕量仍为0°，根据相位裕度规定，拟定校正装置所要提供的最大相位超前角φm：对本系统：根据φm 拟定α：α=1+sinφm1-sinφm≈7.555.2计算校正后的增益交界频率ωc：为了最大限度的发挥串联超前校正装置的相位超前能力，应使校正装置的最大超前相角出目前校正后系统的增益交界频率ωc处，即ωm=ωc，因此，在校正后的增益交界频率处，有：Lc(ωm)+L(ωc)=0 即： 20lgα+L(ωc)=0得：ωc=39.5rad/s5.3计算参数拟定传递函数： ωm=ωc=αT=39.5rad/s得：T =0.0696s则校正后系统的开环传递函数为：KαGcsG(s)=98×0.0696s+10.0092s+16.122s2-605.4 MATLAB仿真分析：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正后系统的Nyquist及Bode图如图9图10：s=tf('s')G=599.956*(0.0696*s+1)/((0.0092*s+1)*(s^2-60));nyquist(G)bode(G)图9 校正后系统的Nyquist图图10 校正后系统的Bode图由图分析知，Nyquist曲线逆时针包围-1,0一圈，即N=-1。
系统开环右极点数P=1根据Z=P+N的公式知Z=0，系统稳定；同样，在Bode图中，增益交界频率ωc=0处相应的相位裕度为最大值，约为50°，达到校正规定5.5校正前后系统控制性能对比：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出校正前后系统的阶跃响应曲线图如图11：s=tf('s')G=599.956*(0.0696*s+1)/((0.0092*s+1)*(s^2-60));GB=G/(1+G);subplot(2,1,1);step(GB)Gq=6.122/(s^2-60);GqB=Gq/(1+Gq);subplot(2,1,2);step(GqB)grid;图11 校正前后系统的阶跃响应曲线图上图为校正后系统的阶跃响应曲线图，下图为校正前系统的阶跃响应曲线图由图分析知，校正前系统的阶跃响应值不随时间的增长而衰减，呈现不断发散的趋势，系统不稳定校正后系统的阶跃响应值随时间的增长而趋近于1，系统稳定故校正装置达到校正规定5.6倒立摆实时控制实验成果：将校正后系统的传递函数参数值输入计算机中的便携式直线一级倒立摆实验软件，把小车移至导轨中央，启动实验，待小车开始运动时，缓缓将倒立摆竖起，观测到倒立摆稳摆，故证明校正装置有效。
实验成果图如图12：图12 串联超前校正实验成果图6 便携式倒立摆PID控制实验便携式倒立摆PID控制实验采用PID校正装置实现，其开环传递函数如下：6.1 PID控制器参数整定：一方面拟定临界增益Ku和临界振荡周期Tu，只加入P控制器，令Kp=9得：在MATLAB中输入如下代码，可绘制出增益后系统的阶跃响应曲线图如图13：s=tf('s')G=9*6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB,10)图13 Kp=9时系统的阶跃响应曲线图由图分析知，系统的阶跃响应不随时间的增长而衰减，呈现不断发散的趋势，系统不稳定故加大P控制量，令Kp=100得系统的阶跃响应曲线图如图14：图14 Kp=100时系统的阶跃响应曲线图由图分析知，系统的阶跃响应缓慢收敛，为使阶跃响应曲线呈现振荡趋势，需减小Kp，故令Kp=90得系统的阶跃响应曲线图如图15：图15 Kp=90时系统的阶跃响应曲线图由图分析知，临界增益Ku=90，振荡周期Tu=0.4根据经验公式计算Kp、Ti和Td：Kp=0.6Ku=0.6×90=54Ti=0.5Tu=0.2Td=0.125Tu=0.05Gks=54×(1+0.05s+10.2s)×6.122s2-60在MATLAB中输入如下代码，可绘制出PID校正后系统阶跃响应曲线图如图16： s=tf('s')G=54*(1+0.0375*s+1/0.15/s)*6.122/(s^2-60);GB=G/(1+G);step(GB,4)图16 Kp=90时PID校正后系统的阶跃响应曲线图由图分析知，曲线振荡很频繁，故加大比例系数，取Kp=100可绘制出PID校正后系统阶跃响应曲线图如图17：图17 Kp=100时PID校正后系统的阶跃响应曲线图由图分析知，稳态误差较大，稳定期间较大，故增长微分参数，加大微分作用，分别取Td=0.05、0.1、0.3。
在MATLAB中输入如下代码，可绘制出三种状况下的系统阶跃响应曲线图如图18：s=tf('s')G1=100*(1+0.05*s+1/0.15/s)*6.122/(s^2-60);GB1=G1/(1+G1);G2=100*(1+0.1*s+1/0.15/s)*6.122/(s^2-60);GB2=G2/(1+G2);G3=100*(1+0.3*s+1/0.15/s)*6.122/(s^2-60);GB3=G3/(1+G3);subplot(3,1,1)step(GB1,4)subplot(3,1,2)step(GB2,4)subplot(3,1,3)step(GB3,4)图18 Td=0.05、0.1、0.3时系统的阶跃响应曲线图三幅图由上至下Td依次增大由图分析知，Td越大，稳态误差越小，稳定期间越小，控制效果越明显6.2倒立摆实时控制实。