全等三角形截长补短拔高练习 （含答案）作者:日期:八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短(全等三角形)拔高练习试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共 7个小题，每小题10分；第二 题解答题，2个小题，每小题15分学习建议:本讲内容是三角形全等的判定 一一辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形一、解答题(共1道，每道20分)1.如图，已知点 C是/MAN的平分线上一点， CH AB于E, B、D分别在 AM、AN上，且1AE=2 (AD+AB).问：/ 1和/ 2有何关系？解：Z 1 + 7 2=180°证明：过点C作CF，AN于点F,由于AC平分ZNAM,所以CF=CE则在Rt^ACF和RtA ACE 中{CF = CEAC = AC・•.△ACHMCE (HL.), . . AF=AE,由于 2AE=AD+AB,所以 AB-AE=AF-AD{CF = CEZCFD = ACEB,...尸D = EH所以△ CFD^ △ CEB ( SAS),.1. / 2=/ FDC,又 / 1 + Z FDC=180，，/ 1 + Z 2=180。
°解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件试题难度：四颗星知识点：三角形 二、证明题(共8道，每道10分)1.如图，已知 4ABC 中，ZA=90°, AB= AC, BE 平分 /ABC, CE! BD 于 E,求证：CE= BD.延长CE交BA的延长线于点 H,由BE平分/ABC, BELCE,彳导CE=EH= CH又 Zi+Zh=90°,,』2+Nh=90° _1=_2在△ ACH和4ABD中_ HAC=_DAB=90°AC=AB -1=_2 △ ACH^AABD (ASA) [CH=BDL 1〔 CE三 CH=BD 解题思路：£根据题意，要证明 CE=iBD,延长CE与BA,由题意的垂直平分线可得 CE的两倍长CH,只 需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分/ ABC, CE±BD于E,做出辅助线，进而解答试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定与性质2.如图，已知正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点， AF平分/ DAE.求证：AE- BE= DF.(AD = AB ND = DF = BM••.△ADF^AABh/l (SAS，/1 = /3, /M=/4,由于 AB// DC, AF 平分 / EAD,所以 Z BAF=Z 4, Z1 = Z2,，/2=/3,从而 / MAE=/BAF=/ 4=/M, .. AE=ME=BM+BE=DF+BE，AE-BE=DF .解题思路：本问题的关键是将 DF转移到与AE, BE都有关的位置，运用等量代换解题。
首 先补短，将DF移到BE处，来证明AE=BM+BE而解决AE=BM+BE问题的关键是角度的转换/ BAF=Z 4是关键易错点：将DF进行合理的转化试题难度：四颗星 知识点：等腰三角形的性质3.如图，已知四边形 ABCD中，AD// BC,若/ DAB的平分线 AE交CD于E,连结BE,且BE 恰好平分/ABC,判断AB的长与AD+ BC的大小关系并证明.截长BA证明在^ EAP和4CAP中610取BF=BC或者在 AB上截取 AF=AD;-AFE= D 又 「 AE=AE, 解题思路：在BA上截取BF=BG .「BE恰好平分ABCC CBE= FBE又 BC=BR BE=BE.,.△BCE^ABFE易错点：不会利用截长补短方法解题试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定与性质上 EAFZEAD AAEF^AAED ，AF=AD .. AD+BC=AF+BF=ABC= BFE又 AD// BC C+ D=180而 BFE+ AFE=180BC至 G,使 BG=BAAB上截AE=AQ连接PE4.如图，在 4ABC中，AB>AC , Zl=」2,AE=AC_1=_2AP=AP△ EA咤△ CAP(SAS)'- CP=EP在ABEP中--PB-PE
试题难度：三颗星 知识点：三角形三边关系5.如图所示：在 4ABC中，Z 1= Z2,/B=2/C,求证：AC=AB+BD答案:在边AC上截取AE=AB,连接DE.在△ ABD与4AED中{AD = ADZ1 = Z2AB= AE . aabD^AAED (SA9• • BD=DE, / B=/ AED -/ B=2/C • ・/AED=2/ C又••• / AED= / C+Z CDE/ C=Z CDE，CE=DE，BD=CE「. AC=AE+EC=AB+BD解题思路：可以用截长法也可以用补短来解易错点：遇到线段和等于另一线段时，没有联想到运用截长补短法证明 试题难度：四颗星知识点：三角形6 .如图，△ ABC中，/ABC=60°, AD、CE分别平分/ BAC, / ACB,判断 AC的长与 AE+CD的 大小关系并证明.答案：判断：AC=AE+CD证明：令 AD与CE的交点为 G,在AC上截取AF=AEBDC在△ AEG和^AFG中{AE=AFZl = Z2=4G . △ ae84afG(SAS , / AGE=Z AGF;「/ ABC=60 / BAC+Z BCA=120 ,又AD、CE分别为/ BAC和/ BCA的角平分线，所以 / 2+Z 3=60°,从而/ AGE=60 ;于是ZAGF=Z AGE=60 °, / CGD=/ AGE=60 °, 从 而 / CGF=60 - 在 4CGF 和 ACGD 中{Z3 = 4CG=CG.zcg障 aCGD,，cd=cf 从而 ac=af+cf=ae+cd解题思路：看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段，分别证明相等。
易错点：未将全部条件找全就使两个三角形全等试题难度：四颗星知识点：三角形7 .如图，Rt^ABC 中，/ACB=90°, CD± AB 于 D, AF 平分/CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG// AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明判断：CF=GB证明：过点 F作FH，AB于点H,由于 AF平分/CAB,则在4ACF与4AHF中= Z2£AHF = ZACFAF =AFa AACF^AAHF,贝U CF=FH 而 FHLAB, CD±AB,FH// CD,从而Z4=Z5, Z 3=Z4, CF=CE 从而 CE=FH 又 EG// AB,所以 / 6=/ B / CEG士 CDB=90 贝MCEG^FHB,，CG=FB 故 CF=BG解题思路：找到全等关系是证明的关键易错点：想到将线段转移，想不到全等试题难度：四颗星知识点：三角形8.4ABC中，/BAC=60°, Z C=40°, AP平分 / BAC交 BC于 P, BQ平分/ABC交 AC于 Q,求 证：AB+BP=BQ+AQ答案：上1延长 AB 至U E 使 BE=B^ 连接 EP,贝U AE=AB+BE=AB+BP / ABC=180-/BAC-/ C=800. 由 BQ 平分 / ABC, AP 平分 / BAC,贝U / BAP=/ PAC=30 , / ABQ=Z CBQ=40 .又因为 / C=400,我们得至U CQ=BQ BQ+AQ=CQ+AQ=AC--BE=BP _ABP=80°£/ E=JX80 =40 °=ZC 在△ APE和^APC中 ZE=ZC /BAP=/CAP=30 ° AP=APAAPE^AAPC (AAS) /- AE=AP 即 AB+BP=BQ+AQ 解题思路：见答案详解易错点：正确作出辅助线，根据等量代换，把没有联系的线段转化为符合题目要求的线段。
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质。