初中数学应用型综合问题

铭仁园中学 伍永梅初中数学应用型初中数学应用型综合问题综合问题(第二讲）第二讲）应用型综合问题代数知识的应用代数知识的应用几何知识的应用几何知识的应用1 1、数与式的应用、数与式的应用2 2、方程、方程( (组组) )的应用的应用3 3、不等式、不等式( (组组) )的应用的应用4 4、函数的应用、函数的应用平行线分线段成比平行线分线段成比例，相似三角形的例，相似三角形的性质，勾股定理，性质，勾股定理，三角函数及圆三角函数及圆例例1公路上有公路上有A、、B、、C三站，一辆汽车在上三站，一辆汽车在上午午8时从离时从离A站站10千米的千米的P地出发向地出发向C站匀站匀速前进，速前进，15分钟后离分钟后离A站站20千米1)设出发设出发x小时后，汽车离小时后，汽车离A站站y千米，写千米，写出出y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式2)当汽车行驶到离当汽车行驶到离A站站150千米的千米的B站时，站时，接到通知要在中午接到通知要在中午12点前赶到离点前赶到离B站站30千千米米的的C站，汽车若按原速能否按时到达？站，汽车若按原速能否按时到达？若能是在几点几分，若不能，车速最少若能是在几点几分，若不能，车速最少应提高到多少？应提高到多少？APBC分析：根据已知可确定车速为分析：根据已知可确定车速为40千米千米/时，故（时，故（1）便可解决：）便可解决：y=40x+10,由由已知可知从已知可知从P地到地到C站，须在站，须在4小时内小时内走完，而实际这段路程需走完，而实际这段路程需4.25小时，小时，所以按原速度不能按时到达；所以按原速度不能按时到达；从从P地地到到B站，用去时间站，用去时间3.5小时，故剩下小时，故剩下的的30千米，必须在千米，必须在0.5小时内走完。

小时内走完APBC解解: (1)y=40x+10 (2)当当y=150+30=180(千米）时，千米）时， 则汽车按原速不能按时到达则汽车按原速不能按时到达 当当y=150（（千米）时，千米）时，设提速后车速设提速后车速为为v,则则[(12-8)-3.5]v=30 v=60（（千米千米/时）时）答：车速应至少提高到答：车速应至少提高到60千米千米/时，才能在时，才能在12点点前到达前到达C站例例2某商场计划投入一笔资金采购一批某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如紧俏商品，经过市场调查发现，如月初出售，可获利月初出售，可获利15%，并可用本，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可和利再投资其他商品，到月末又可获利获利10%；如果月末出售可获利；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用，但要付出仓储费用700元，请元，请问根据商场的资金状况，如何购销问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？为什么？获利较多？为什么？分析：设此商场的投资分析：设此商场的投资为为x元，元， 月初出售月初出售 可获利两次，可获利两次， 分别为分别为15x%，，(15%x+x)×10% 故月初出售可获利为故月初出售可获利为 15x%+(15%x+x)×10%月末出售可获利一次，为月末出售可获利一次，为 30%x-700解：设商场投资解：设商场投资x元，月初售，月末元，月初售，月末获利为获利为y1元，月末售，获利为元，月末售，获利为y2元元 故故y1=15%x+(15%x+x) ×10% =0.265x y2=30%x-700=0.3x-700 y1-y2=-0.035(x-20000)当当x<20000时，时，y1>y2当当x=20000时，时，y1=y2当当x>20000时，时，y1

售获利多总结：此题在比较的大小时，选用的总结：此题在比较的大小时，选用的是比差法，同学们在做这一步时也是比差法，同学们在做这一步时也可以借助一次函数的图像来完成可以借助一次函数的图像来完成例例3一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地，行驶过程的函数图像如图，由甲地到乙地，行驶过程的函数图像如图，两地间的距离是两地间的距离是80千米，请你根据图像解决千米，请你根据图像解决下面的问题：下面的问题：（（1）谁出发较早？早多）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地长时间？谁到达乙地较早，早到多长时间较早，早到多长时间？？（（2）两人在途中行驶的）两人在途中行驶的速度分别是多少？速度分别是多少？（（3）请你分别求出表示）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶自行车和摩托车行驶过程的函数解析式过程的函数解析式yx（（4）指出在什么时）指出在什么时间段内两车均行驶间段内两车均行驶在途中（不包括端在途中（不包括端点）；在这一时间点）；在这一时间段内，请你分别按段内，请你分别按 下列条件列出关于时间下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不的方程或不等式（不要化简也不要求解）；要化简也不要求解）；①①自行车行驶在摩自行车行驶在摩托车前面；托车前面；②②自行车与摩托车相遇；自行车与摩托车相遇；③③自自行车行驶在摩托车后面行车行驶在摩托车后面。

yx解：解：（（1）由图可以看出：）由图可以看出： 自行车出发较早，自行车出发较早， 早早3个小时；摩托车个小时；摩托车 到达乙地较早，到达乙地较早， 早早3个小时 （（2）对自行车而言：行驶）对自行车而言：行驶80千米耗时千米耗时8小小时，故速度为时，故速度为(80 ÷8））=10（千米（千米/时）时） 对摩托车而言：行驶对摩托车而言：行驶80千米耗时千米耗时2小时，小时，故速度为故速度为80÷2=40（千米（千米/时）时）x（（3 3））设设：：表表示示自自行行车车行行驶驶过过程程的的函函数数解析式为解析式为y y= =kxkx ∵ ∵ 当当x x=8=8时，时， y y=80 =80 ∴80=8 ∴80=8k k∴ ∴ k k=10=10所以所以 表示自行车行驶表示自行车行驶过程的函数的解析式过程的函数的解析式为为y y=10=10x x x设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为y y= =axax+ +b b∵ ∵ 当当x x=3=3时，时，y y=0=0；；x x=5=5时，时，y y=80=80∴ 0=3∴ 0=3a a+ +b b 80=5 80=5a a+ +b b解得：解得： a a=40=40 b b=﹣120=﹣120∴∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为表示摩托车行驶过程的函数解析式为：：y=40x－－120 x(4)在在340x－－120, 两车相遇：两车相遇：10x=40x－－120 自行车在摩托车后面：自行车在摩托车后面：10x<40x－－120  例例4 某瓜果基地市场部某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市生产和销售，在对历年市场行情的生产情况进行了场行情的生产情况进行了调查的基础上，对今年这调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后市场售价和种蔬菜上市后市场售价和生产成本进行了预测，提生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如供了两个方面的信息，如图甲，乙（注：甲，乙两图甲，乙（注：甲，乙两图中的每个实心黑点对应图中的每个实心黑点对应的纵坐标分别指相应月份的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）生产成本的售价和成本）生产成本6月份最低。

请根据图像月份最低请根据图像提供的信息说明提供的信息说明:(1)在在3 月份出售这种蔬菜月份出售这种蔬菜每千克的收益是多少元每千克的收益是多少元？（收益？（收益=售价－成本）售价－成本）(2)哪个月出售这种蔬菜每哪个月出售这种蔬菜每千克收益最大？说明理千克收益最大？说明理由由 ?解解：：（（1））3月月份份出出售售这这种种蔬蔬菜菜每每千千克克收收益为益为1元元(2））设设图图甲甲的的函函数数的的解解析式为析式为y甲甲=kx+b设图乙的函数的解析式为设图乙的函数的解析式为y乙乙=a(x－－h)2+k每每千千克克收收益益为为y元元，，由由图图可可知知点点(3,5),(6,3)在在y=kx+b的图像上的图像上例例5 5 雨后初晴，一个学雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，生在运动场上玩耍，从他前面从他前面2 2米远看一米远看一块小积水处，他看到块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水如果旗杆底端到积水处的距离为处的距离为4040米，该米，该生的眼部高度是生的眼部高度是1.51.5米，那么，旗杆的高米，那么，旗杆的高度是度是________________米米 EABD1CD解：由图可知：解：由图可知：△△EAB∽△∽△ DCB而而EA=1.5m AB=2m BC=40m那么此空填那么此空填30m  在在M M的南偏东的南偏东60600 0方向上方向上有一点有一点A A，以，以A A为圆心，为圆心，500m500m为半径的圆形区为半径的圆形区域为居民区，取域为居民区，取MNMN上上另一点另一点B B，，测得测得BABA的方的方向为南偏东向为南偏东75750 0，已知，已知MBMB=400m=400m通过计算回答，通过计算回答，如果不改变方向，输如果不改变方向，输水线路是否会穿过居水线路是否会穿过居民区民区? ?例例6 6 如下图如下图MNMN表示某引水工程的一段设计路表示某引水工程的一段设计路线，从线，从M M到到N N的走向为南偏东的走向为南偏东30300 0，，MNAB解解：：过过A A作作ACAC⊥⊥MNMN于于C C，，设设ACAC长长为为x x米米，，由由题题意意知知∠∠AMCAMC=30°,=30°,∠∠ABCABC=45°=45°MCMC= =ACAC·cot30°=√3·cot30°=√3x xBCBC= =ACAC= =x x∵∵MCMC- -BCBC= =MBMB=400=400√3√3x x- -x x=400=400解得解得x x=200(√3+1)(m)=200(√3+1)(m)x x>500>500答：不改变方向，输水线路不会穿过居民区答：不改变方向，输水线路不会穿过居民区。

MBCAN例例7 有有一一圆圆弧弧形形桥桥拱拱，，水水面面AB宽宽32米米，，当当水水面面上上升升4米米后后水水面面CD宽宽24米米，，此此时时上上游游洪洪水水以以每每小小时时0.25米米的的速速度度上上升升，，再再通通过过几几小小时时，，洪洪水水将将会会漫漫过桥面？过桥面？AOBCD解解：：过过圆圆心心O作作OE⊥⊥AB于于E，，延延长长后后交交CD于于F，，交交CD于于H，，设设OE=x，，连连结结OB，，OD，，由勾股定理得由勾股定理得 OB2=x2+162OD2=(x+4)2+122 ∴∴ x2+162=(x+4)2+122∴∴x=12∴∴OB=20∴∴FH=44÷0.25=16（（小时）小时）答：再过答：再过16小时，洪水将会漫过桥面小时，洪水将会漫过桥面 ACHODBFE。