一、曲线的凹凸性及拐点引导学生观察下列图象yxoabyoabx凹弧凸弧1.定义1 设函数在区间内可导，（1）若曲线位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方），则称曲线在区间内是凸的，区间称为函数的凸区间.（2）若曲线位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方），则称曲线在区间内是凹的，区间称为函数的凹区间.2.定义2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.3.定理1 设函数在闭区间上连续，在开区间内具有二阶导数， （1）若在内，，则曲线在区间内是凸的.（2）若在内，，则曲线在区间内是凹的.4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：（1）求出函数的一阶导数，再求二阶导数；（2）求出二阶导数的点，以及不存在的点；（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点.例1、讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.例2、讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.二、函数曲线的曲率曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为. 一般情形下，如图1，弧的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差. 可是，弧的全曲率与弧的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些。
这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为的弧的全曲率同弧长的比值，称为该弧的平均曲率它有点像质点运动的平均速度像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限定义为弧在点A处的曲率 (其中为弧的全曲率, 为弧的长度)对于半径为R的圆周来说 (图2)，由于，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 (半径的倒数)对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点处的曲率时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点相切 (即有公切线)且半径. 这样的圆周就称为弧上点处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点处的曲率中心如图3中那个抛物线在原点或点的曲率圆请注意，因为曲率有可能是负数(在实际应用中，有时把绝对值称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向对于用方程表示的弧(图4)，由于， 所以，若有二阶导数，则注意到，则弧上点处的曲率为 (曲率公式) 当时，曲率半径为 (曲率半径公式) 其中，时，曲率和曲率半径都大于，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图4)。
反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方例如图11中那个抛物线，因为，所以(曲率) , (曲率半径) 显然，原点处有最大曲率，最小曲率半径. 点处的曲率和曲率半径依次为， 可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。