考研数学线代真题—二次型

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料中公考研老师为考生准备了【线性代数-二次型知识点讲解和习题】 ，希望可以助考生一臂之力同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询第五章 二次型综述：二次型是对特征值与特征向量相关知识的发展与应用，用到的方法也与上一章类似在考试中，本章一般与上一章交替或是结合出题，平均每年所考查分值在 5 分左右本章的主要知识点有：二次型及其矩阵的定义，二次型的合同变换，通过合同变换化二次型为标准型，二次型的合同规范型，二次型的惯性指数，正定二次型在学习时，本章应该结合上一章实对称矩阵部分的知识首先要理解二次型及其矩阵的概念，然后掌握常用的化二次型为标准型的方法，主要是正交变换法，这一部分主要是和上一章结合本章需要重点理解的是二次型的合同规范型及惯性系数，以及由此引出的两个二次型合同的充要条件最后，还需要理解正定二次型的概念，掌握常见的判断正定二次型的方法。

本章常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3. 二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型号常考题型一：二次型与其矩阵1.【2009 —123 11 分】设二次型 2212313123,fxaxxx（1 ）求二次型 f的矩阵的所有特征值；（ 2）若二次型的规范型为 求 的值ya2.【2005 —1 9 分】已知二次型21232321 )()()(,( xaxaxxf 的秩为 2. 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料（1 ） 求 a的值；（2）求正交变换 ，把 化为标准型 （3）求XQY123,fx的解23,0fx3.【1996 —1 6 分】已知二次型221233132,56fxcxx的秩为 .求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值；（2 ）指出 表示何种曲面123,fx4.【2004 —3 4 分】二次型 213221321 )()()(),( xxf 的秩为.常考题型二：化二次型为标准型（1）.利用正交变换法化二次型为标准型5.【2005 —1 9 分】已知二次型21232321 )()()(,( xaxaxxf 的秩为 2.（I） 求 a的值；（II） 求正交变换 Qy，把 ),(321f化成标准形；（III） 求方程 ),(321xf=0 的解.6.【1995 —3 10 分】已知二次型 212331232,448fxxxx.（1 ）写出二次型 f的矩阵表达式；（2 ）用正交变换把二次型 f化为标准型，并写出相应的正交矩阵 .7.【2003 —3 13 分】设二次型 )0(2),( 31321321 bxxaAXxfT，中二次型的矩阵 的特征值之和为 1，特征值之积为-12.（1 ）求 ,ab的值；（2 ）利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料8.【2012 —123 11 分】三阶矩阵10Aa， TA为矩阵 的转置，已知()2TrA，且二次型 Tfx。

1）求 a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程9.【2013 —123 11 分】设二次型22123123123,fxaxxbx，记112233,abI）证明二次型 f对应的矩阵为 T；（II）若 ,正交且均为单位向量，证明二次型 f在正交变化下的标准形为二次型21y2）.正交变换法的反向运用10.【2015—123 4 分】设二次型 在正交变换为 下的123,fxxPy标准形为 ，其中 ，若 ，则2213yPe132,Qe在正交变换 下的标准形为( )23,fxxQy(A) (B) 213y2213y(C) (D) 2211.【2002—1 3 分】已知二次型22123312323,()44fxaxxx经过正交变换 xPy可化为标准形6y，则 ________12.【2011—1 4 分】若二次曲面的方程为 2224yzaz，经正交变换为 2yz，则 a________ 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料13.【1993—1 8 分】已知二次型 22123133(,)fxxxa0可用正交变换化为 2325yy，求 a和所作正交变换14.【1998—1 6 分】已知二次曲面方程 224ayzbyz，可以经过正交变换xyPz化为椭圆柱面方程 24，求 、的值和正交矩阵 P.15.【2010—12 11 分】已知二次型 123,TfxAx在正交变换 xQy下的标准型为 21y，且 Q的第三列为 T),02(.(Ⅰ) 求矩阵 A；(Ⅱ）证明 E为正定矩阵，其中 E为 3 阶单位矩阵. 16.【2009—123 11 分】设二次型2212313123,fxaxxx（Ⅰ）求二次型 f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 的规范形为 21y，求 a的值。

小结】：二次型的合同标准型不是唯一的，但通过正交变换法得到的标准型是唯一的（不考虑变量顺序的情况下） ，其标准型的系数都为二次型矩阵的特征值常考题型三：二次型的惯性系数与合同标准型17.【2007—123 4 分】设矩阵2110,AB，则 A与 BA合同且相似  合同，但不相似.C不合同，但相似. D既不合同也不相似 18.【2008—1 4 分】设 A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 (,)xyz在正交变换下的标准方程的图形 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料如图，则 A的正特征值个数为（ ） 0 B1 C2 D3 19.【1996—1 8 分】已知二次型221233132,56fxxcxx的秩为 .求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值；指出方程 123,fx表示何种二次曲面.20.【2001—1 3 分】设1A，40B，则 A与 B( )A合同且相似  合同但不相似C不合同但相似 D 不合同且不相似21.【2008—23 4 分】设 12A，则在实数域上与 A合同的矩阵为（ ）A21BCD1222.【2011—2 4 分】二次型 2212313132,fxxxx，则 f的正惯性指数为___________.23.【2014—123 4 分】 设二次型 323121321 4af),( 的负惯性指数是 1，则 a的取值范围是．24.【2001—3 8 分】设 A为 n阶实对称矩阵， rAn， ij是 ijn中元素,2,.ijan的代数余子式，二次型 121,.ijnjijfxx.（1 ）记 12,.TnXx，把 12,.nf写成矩阵形式，并证明二次型 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料fX的矩阵为 1A.（2 ）二次型 TgX与 f的规范型是否相同？说明理由.【小结】：1.二次型的合同规范型是由它的惯性指数唯一确定的，其规范型的矩阵为 0pqE，其中 ,pq分别为二次型的正负惯性指数，二次型的正负惯性指数分别等于它的正负特征值的个数。

2.二次型 TxA与 Bx合同的充要条件有：1)存在可逆矩阵 C使得 T；2) T与 的合同规范型相同3） x与 Tx的正负惯性系数相同4） A与 B的正负特征值的个数相同常考题型四：正定二次型（1）利用顺序主子式判断正定性25.【1997—3 3 分】若二次型 2212313123,fxxxt是正定的，则 t的取值范围是 _________.（2）利用定义判断正定性26.【1999—3 7 分】设 A为 mn实矩阵， E为 n阶单位矩阵.已知矩阵TBEA,试证：当 0时，矩阵 B为正定矩阵.27.【2005—3 13 分】设 CDT为正定矩阵，其中 ,AB分别为 m阶， n阶对称矩阵， C为 nm矩阵.(I) 计算 PT，其中1mnEAO；(II)利用( I)的结果判断矩阵 CBT1是否为正定矩阵，并证明你的结论.28.【1999—1 6 分】设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 m×n 实矩阵， 为 B 的T 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料转置矩阵，试证： 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 .TBArn29.【2000—3 9 分】设有 元实二次型n2222121311(,)()()()()n nnnfxxaxaxaxaLL其中 为实数.试问：当 12,满足条件时，二次型,ia12(,)nfx为正定二次型 .30.【2002—3 8 分】设 A为三阶实对称矩阵，且满足条件 20A，已知 A的秩()rA(1)求 的全部特征值(2)当 k为何值时，矩阵 AkE为正定矩阵，其中 为三阶单位矩阵.E【小结】： n维二次型 Tx为正定二次型的充要条件有：1)对于任意非零的 维列向量 都有 0Tx；2) 矩阵 的合同规范型为二次型 ；3）二次型 TxA的正惯性指数为 n；4）存在可逆矩阵 C使得 T；5）矩阵 的特征值全为正数；6）矩阵 的顺序主子式全为正数。

其中 1） 、5 ） 、6 ）是常用的结论 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学资料参考答案：常考题型一：二次型与其矩阵1.【2009 —123 11 分】 【答案 】 （1） 123,,1aa（2）2.【2005 —1 9 分】 【答案】 （I） 0a.（2 ） （3）021Q,0cXR3.【1996 —1 6 分】 【答案】 （1） 3c， 1230,4,9（2）表示椭圆柱面 4.【2004 —3 4 分】 【答案】2常考题型二：化二次型为标准型1.利用正交变换法化二次型为标准型5.【2005 —1 9 分】 【答案】 （I）a=0 （II） 1021Q（III）所求解为： 0cx，其中 为任意常数.6.【1995 —3 10 分】 【答案】 （1。