第五章 随机变量序列的极限第五章 随机变量序列的极限§§5.1 大数定律大数定律 §§5.2 中心极限定理中心极限定理? 随机现象统计规律 ? 随机现象取值的统计规律 ? 重复观测，研究极限 ? 二项分布以泊松分布为极限分布§§5.1 大数定律大数定律设是一个随机变量序列如果存在一个常数设是一个随机变量序列如果存在一个常数c，使得，对任意一个ε，使得，对任意一个ε>0，总有，那么，称随机变量序列依概率收敛于，总有，那么，称随机变量序列依概率收敛于c，记作12,,XX ?lim(||)1nnPXcε →∞−→∞当时，PANpn⎯⎯ →1210,A,1( )Ann A ni innNXXXNfAXnnε=>→ ∞=+++==∑?当时，重贝努利试验中，事件 发生的频数频率11111()10nn PPA ii iin P i iNpXE XnnnXn==∗ =⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →∑∑∑， 即， 依 概 率 收 敛 的 结 论 大 数 定 理 依概率收敛性具有下列性质：如果，，且函数依概率收敛性具有下列性质：如果，，且函数g(x,y)在在(a,b)处连续，那么处连续，那么PnXc→PnYb→(,)( , )Pnng XYg a b→定理定理5.1定理定理5.2（切比雪夫大数定理）（切比雪夫大数定理）?设是两两不相关的随机变量序列。
如果存在常数设是两两不相关的随机变量序列如果存在常数c，使得那么，，使得那么，12,,XX …(),1,2,iD Xc i≤=?111111()0nnnPiii iiiXE XXnnn∗ ===−=→∑∑∑证：证： 由期望和方差的性质得到，由切比雪夫不等式推得，对任意一个ε由期望和方差的性质得到，由切比雪夫不等式推得，对任意一个ε>0，当，当n→∞时，时，证毕证毕1111()nnii iiEXE Xnn==⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑2 1111()nnii iicDXD Xnnn==⎛⎞=≤⎜⎟⎝⎠∑∑2 11121111()0nnniii iiiPXE XDXnnnc nεεε===⎛⎞⎛⎞−≥≤⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠≤→∑∑∑定理定理5.3（独立同分布情形下大数定律）（独立同分布情形下大数定律）?设是一个独立同分布的随机变量序列，且，，（方差不存在也可，辛钦大数定理），设是一个独立同分布的随机变量序列，且，，（方差不存在也可，辛钦大数定理），i=1，2，…那 么，那 么，? 注：对一个随机变量重复独立地观测注：对一个随机变量重复独立地观测n次，得到次，得到n 个观测值，只要个观测值，只要n足够大，足够大， ?与它的期望相差不大，可用来估 计。
用样本观测值估计总体矩与它的期望相差不大，可用来估 计用样本观测值估计总体矩12,,,nx xx…12,,XX …()iE Xµ?2()iD Xσ?PXµ⎯⎯ →11ni ixxn=∑?xµ定理定理5.4（贝努利大数定理）（贝努利大数定理）?设是一个独立同分布的随机变量序列，且每一个都服从设是一个独立同分布的随机变量序列，且每一个都服从0–1分布分布B(1,p)，那么，贝努利大数定理是定理贝努利大数定理是定理5.3 的特例，其中，μ的特例，其中，μ=p12,,XX …iX P Xp→例5.1 设是独立同分布的随机变量序列，且， 那么12,,XX … ()iE Xµ=2(),1,2,iD Xiσ==?22211n P i iXnσµ=⎯⎯ →+∑证22112222111()()1()nnii iiniEXE Xnnnσµσµ=====+=+∑∑∑? 大数定理知道：对独立同分布随机序列已知PXµ⎯⎯ →22lim(||)1 lim(||)0n(||)0(||)nnPXPXPXnPXµεµεµεσµεε→ ∞→ ∞−<=−≥=−≥−≥≤，，即 当足 够 大 时 ，接 近 于由 切 比 雪 夫 不 等 式 得12,,XX …12XX ?,, ,的分布1ni iX=∑近似服从正态分布§§5.2 中心极限定理中心极限定理定理定理5.5（独立同分布情形下的中心极限定理）（独立同分布情形下的中心极限定理）?设是一个独立同分布的随机变量序列，且，则对任意一个设是一个独立同分布的随机变量序列，且，则对任意一个x，总有其中，是，总有其中，是N(0,1)的分布函数。
的分布函数定理定理5.5也称为列维也称为列维–林德伯格（林德伯格（Levy–Lindberg）中心极限定理中心极限定理12,,XX …2(),(),1,2,iiE XD Xiµσ=???1lim( )ni inXn Pxxnµσ=→∞⎛⎞−⎜⎟ ⎜⎟≤= Φ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑( )xΦx−∞<<∞12 21112n(0,1)(0,1)(,)( ,)ni ini ini iXNXNXN nnXNnXXXXσµσµ∗∗===∼∼∑∑∑∼∼?（），( ）是由大量微小的，独立的随机因素（即，， ，）的影响时，这个变量一般服从正态分布例5.2某人要测量甲乙两地之间的距离，限于测量工 具，他分成1200段来测量，每段测量误差（单位： cm）服从区间（-0.5,0.5）上的均匀分布，且相互独 立，试求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率定理定理5.6(德莫弗德莫弗–拉普拉斯（拉普拉斯（De Moivre–Laplace）中心极限定理）中心极限定理) ?设是一个独立同分布的随机变量序列，且每一个都服从设是一个独立同分布的随机变量序列，且每一个都服从0–1分布分布B(1,p)，则对任意一个，则对任意一个x，，-∞
因此对于随机变量，那么，当因此对于随机变量，那么，当n较大时，较大时，?说明：说明： （（1））对对P(a