细心整理因数和倍数 质数和合数整理老师：刘新民一、根底学问〔一〕因数和倍数1. 因数和倍数意义 确定a、b、c均为正整数，且a×b=c，那么c就是a和b倍数，a和b就是c因数，倍数和因数是相互依存，不能独立存在2. 因数和倍数特征 一个数因数个数是有限，其中最小因数是1，最大因数是它本身；一个数倍数个数是无限，其中最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数既是它本身因数，又是它本身倍数〔二〕能被2、3、5整除数特征1. 能被2整除数特征：个位上数字是0，2,4,6,82. 能被3整除数特征：各个数位上数字和是3倍数3. 能被5整除数特征：个位上数字是0或54. 能同时被2、5整除数特征：个位上数字是0〔三〕奇数和偶数1. 奇数：在自然数中，不能被2整除数叫做奇数2. 偶数：在自然数中，能被2整除数叫做偶数3. 探究奇数和偶数时包括0，因此自然数不是奇数就是偶数最小奇数是1，没有最大奇数；最小偶数是0，没有最大偶数〔四〕质数和合数1. 质数意义：一个数，假如只有1和它本身两个因数，这样数叫做质数〔或素数〕，最小质数是2，2是唯一偶质数，没有最大质数2. 合数意义：一个数，假如除了1和它本身还有别因数，这样数叫做合数。
最小合数是4，没有最大合数留意：1既不是质数也不是合数除2以外，全部质数是奇数，全部偶数是合数3. 判定一个数是质数还是合数方法〔1〕通过找因数个数来判定：先找出这个数因数，再数因数个数，只有1和它本身两个因数数就是质数，有三个或三个以上因数数就是合数〔2〕查表法：看质数表里有没有所要查数，假如有，它是质数，假如没有，它就不是质数4. 奇数和偶数运算性质〔1〕和差奇偶性奇数±奇数=偶数〔偶数个奇数相加〕 奇数±奇数=奇数〔奇数个奇数相加〕奇数±偶数=奇数 偶数±偶数=偶数〔2〕积奇偶性奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数〔五〕分解质因数1. 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘形式其中每个质数都是这个合数因数，叫做这个合数质因数2. 分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘形式表示出来，叫做分解质因数3. 分解质因数方法：把一个合数分解质因数，通常运用短除法分解质因数时，先用这个合数质因数〔通常从最小起先〕去除，得出商假如是质数，就把除数和商写成相乘形式；得出商假如是合数就用质因数接着去除，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最终商写成连乘形式。
〔六〕最大公因数和最小公倍数1. 最大公因数：几个数公有因数，叫做这几个数公因数其中最大一个叫做这几个数最大公因数2. 最小公倍数：几个数公有倍数，叫做这几个数公倍数其中最小一个叫做这几个数最小公倍数3. 互质数：公因数只有1两个数叫做互质数4. 求两个数最大公因数方法：〔1〕列举法；先分别找出每个数因数，从中找出公因数，再找出最大一个因数就是它们最大公因数〔2〕筛选法：先找出两个数中较小数因数，从中圈较大数因数，再看哪个因数最大，这个数就是它们最大公因数〔3〕分解质因数法：先将两个数分别分解质因数，再从分解质因数中找出这两个数公有质因数，公有质因数相乘所得积就是这两个数最大公因数〔4〕短除法：把两个数公有质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出两个商只有公因数1为止，再把全部除数相乘，所得积就是这两个数最大公因数5. 求两个数最小公倍数方法：〔1〕列举法：分别写出两个数各自倍数，再从其中找出公有倍数，然后从公倍数中找出最小一个就是这几个数最小公倍数〔2〕筛选法：先写出两个数中较大数倍数，然后从这组数中按从小到大依次圈出较小数倍数，第一个圈出就是它们最小公倍数〔3〕分解质因数法：分别把两个数分解质因数，一样质因数对齐写，独有质因数单独写，然后一样质因数取一个，单独质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数。
〔4〕短除法：用两个数公有质因数按从小到大依次，依次作为除数连续去除这两个数，始终除到所得商是互质数为止，然后把全部除数和最终所得商连乘起来，就是这两个数最小公倍数6. 求两个数最大公因数和最小公倍数特殊状况〔1〕假如较小数是较大数因数，那么较小数就是这两个数最大公因数，较大数就是较小数最小公倍数〔2〕假如两个数是互质数，那么它们最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数乘积〔3〕两个数乘积等于最大公因数和最小公倍数乘积二、例题精讲例1、有因数2，又是3和5倍数最大三位数是多少？分析及解答：依据题意，这道题所求数是同时是2，3，5倍数最大三位数同时是2，3，5倍数数个位上数字必需是0，其他各位上数字和是3倍数要使其最大，百位上必需是9，十位上也是9，所以这个三位数是990例2、〔选择〕把210分解质因数是〔 〕A. 210=1×2×3×5×7 B. 2×3×5×7=210C. 210=5×6×7 D. 210=2×3×5×7分析及解答：分解质因数是把一个合数写成几个质因数相乘形式，全部因数必需是质数，所以选项A中，1不是质数；选项C中，6不是质数；分解质因数和乘法算式不同，应当把被分解合数写在等号左边，应选项B也不对，那么正确答案是D。
例3、求24和36最大公因数和最小公倍数分析及解答：要求两个数最大公因数和最小公倍数，应当先分别把这两个数分解质因数：24=2×2×2×336=2×2×3×3求两个数最大公因数时，把这两个数公有因数2、2和3乘起来，即2×2×3=12；求两个数最小公倍数时，把它们公有因数2、2、3和各自独立因数2、3都乘起来，即2×2×3×2×3=72；所以24和36最大公因数是12，最小公倍数是72例4、把长1.36m、宽0.8m长方形纸裁成同样大小正方形纸假如要使正方形纸面积尽可能大，且裁完没有剩余，可裁出多少张正方形纸？分析及解答：把长方形纸裁成正方形纸且没有剩余，那么正方形纸边长是长方形纸长及宽公因数，要使正方形纸面积尽可能大，正方形纸边长应是长及宽最大公因数先把米化成厘米，即1.36m=136㎝，0.8m=80㎝，因为136和80最大公因数是8，所以正方形边长为8㎝，那么长方形在长可以分136÷8=17〔段〕，宽可以分80÷8=10〔段〕，故可裁17×10=170〔张〕例5、一袋糖果，假如平均分给4个小挚友，还剩3块；假如平均分给5个小挚友，还缺1块；假如平均分给6个小挚友，还缺1块这袋糖果至少有多少块？分析及解答：题中“假如平均分给5个小挚友，还缺1块” 可以理解为“假如平均分给5个小挚友，还剩4块；同理“假如平均分给6个小挚友，还缺1块” 可以理解为“假如平均分给6个小挚友，还剩5块” 。
假如给这堆糖果再加1块，那么分别平均分给4个小挚友，5个小挚友，6个小挚友，都正好分完也就是说这袋糖果加1块后正好是4，5，6公倍数，这袋糖果至少有多少块，就是求4，5，6最小公倍数即4，5，6最小公倍数是60，所以这袋糖果至少有60-1=59〔块〕三、练习精选1. 填空〔1〕20以内既是偶数又是质数有〔 〕，既是奇数又是合数是〔 〕〔2〕一个数最大因数是48，它最小倍数是〔 〕，把这个数分解质因数是〔 〕〔3〕随意两个连续自然数中，两个数都是质数有〔 〕组〔4〕a和b是两个自然数，a除以b商是5，没有余数，那么a和b最大公因数是〔 〕，最小公倍数是〔 〕〔5〕既是3倍数，又是5倍数最大两位奇数是〔 〕〔6〕假如A=2×3×5，B=3×5×7，那么A和B最大公因数是〔 〕，最小公倍数是〔 〕〔7〕两个质数和是31，这两个质数积是〔 〕〔8〕一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是〔 〕〔9〕有三根铁丝，一根长48dm，一根长60dm，一根长36dm，要把它们截成同样长几段，不许剩余，每段最长〔 〕dm，一共可以截成〔 〕段。
2. 判定〔1〕一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数〔 〕〔2〕因为60=3×4×5，所以3，4，5都是60质因数〔3〕有公因数1两个数叫做互质数〔 〕〔4〕互质两个数相乘积必需是合数〔 〕3. 选择〔1〕求18和30最大公因数，必需包含18和30〔 〕质因数A. 全部 B. 公有 C. 全部公有〔2〕24用两个质数和表示是〔 〕A. 1+23 B. 4+20 C. 2+22 D. 11+13〔3〕40=2×4×5，下面说法中正确是〔 〕A. 2，4，5都是40质因数B. 40=2×4×5是把40分解质因数C. 2，4，5都是40因数，〔4〕在0，3，6，5这4个数字中选择3个数字，组成一个同时是2，3，5倍数最小三位数是〔 〕A. 306 B. 350 C. 360 D. 630〔5〕两个奇数和必需是〔 〕数，积必需是〔 〕数A. 奇 B. 偶 C. 质 D. 合4. 解决问题〔1〕学期末，老师把35支铅笔和42本练习本平均分给六〔3〕班获得“三好学生”同学，结果铅笔缺1支，练习本多2本，获得“三好学生”最多有多少人？〔2〕一行有36棵小树，原来每隔2m栽一棵，此时此刻没两棵之间距离改为5m，一共有几棵小树不必移动？四、思维训练1. 我国首台自行研制“蛟龙”号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟下潜深度是〔 〕米。
〔1〕这个数是一个四位数，千位上数字是最小质数及最小合数和〔2〕个位上数字是5最小倍数〔3〕百位上数字是最大一位数〔4〕十位上数字及千位上数字一样2. 甲、乙两数积是700，甲、乙两数最大公因数是5，最小公倍数是〔 〕3. 将下面8个数平均分成两组，使这两组数乘积相等，可以怎样分？14 30 33 35 39 75 143 169。