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(完整word版)数学分析中求极限的方法总结.doc

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精心整理数学分析中求极限的方法总结1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下:定理1.1:如果(1)(2)(3)若B≠0则:(4)(5)(n为自然数)上述性质对于也同样成立2利用导数的定义求极限导数的定义:函数f(x)在附近有定义,,则如果存在,则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为即在这种方法的运用过程中,首先要选好f(x)然后把所求极限都表示成f(x)在定点的导数例4.求的极限解:3利用两个重要极限公式求极限两个极限公式:(1),(2)但我们经常使用的是它们的变形:(1) ,(2)求极限例5:解:为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项,使得第一项为1,第二项和括号外的指数互为倒数进行配平例6:解:将分母变形后再化成“0/0”型所以==例7:求的极限解:原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限一般常用的方法是换元法和配指数法4利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点,则例8:解:因为复合函数是初等函数,而是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此例8:求解:复合函数在处是连续的,所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有==05利用两个准则求极限。

1)函数极限的迫敛性:若一正整数N,当n>N时,有且则有利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和,使得例9:求的极限解:因为单调递减,所以存在最大项和最小项则又因为(2)单调有界准则:单调有界数列必有极限,而且极限唯一例12:设试证数列的极限存在,并求此极限解:由及知设对某个正整数k有,则有从而由数学归纳法可知,对一切自然数,都有,即数列单调下降,由已知易见即有下界,根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在令对两边取极限,有所以有解得A=3,或因为,所以,舍去,故6利用洛必达法则求未定式的极限定义6.1:若当(或)时,函数和都趋于零(或无穷大),则极限可能存在、也可能不存在,通常称为型和型未定式例如:,(型);,(型).定理6.2:设(1)当时,函数和都趋于零;(2)在a点的某去心邻域内,和都存在且;(3)存在(或无穷大),则定义6.3:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例10: 解:在利用洛比达法则求极限时,为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便,可用适当的代换,并注意观察所求极限的类型如下例,例11:求解:=洛必达法则通常适用于以下类型:型:例12求.解原式.型:例13求.解,故原式.型:例14求.解原式.型:例15求.解原式.型:例16求.解原式,而,因此:原式=1.7.用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。

对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便例17:解:因为所以例18:解:因为当时,所以从而于是注意:如果该题利用其他方法就不容易做了8.利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限,这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限,其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求利用定积分可求如下二种形式的极限:型定理8.1:设在[0,1]上可积,则有例19:求极限解:令,在[0,1]上可积型定理8.2:若在[0,1]上可积,则例20:求解:令,则有:例21:求解:把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算计算定积分,为此作如下变形:不难看出,其中的和式是函数发在区间上的一个积分和这里所取的是等分分割,(),所以当然,也可把J看作在上的定积分,同样有9.利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积,仍是无穷小量利用这两个定理可以求出某些函数的极限例22:解:当时分母的极限为0,而分子的极限不为0,可先求出所给函数的倒数是无穷大量:==0利用无穷小量的倒数是无穷大量故=例23:极限解:因为;当时,为无穷小量,为有界量,故;所以原式=0。

例24:求极限解:因为所以是有界函数故在时是无穷小量利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量所以.10.利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小代换求函数的极限时,一般只在以乘除形式出现时使用,若以和、差形式出现时,不要轻易代换,因为经此代换后,往往会改变无穷小之比的阶数,故此慎用为好常见等价无穷小量()等价无穷小有重要性质:设且存在,则=,这个性质表明,求两个无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量代替,从而使计算大大简化例25:极限解:当时,,例26:求极限解:==错误的解法是:(错在对加减中的某一项进行了等价无穷小代换)11.利用级数收敛的必要条件求极限给出一数列,对应一个级数若能判定此级数收敛,则必有由于判别级数收敛的方法较多,因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便例27:求极限解:设级数其中由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件可知:例28:求极限解:设级数为项级数由比值审敛法:===所以收敛,故=012.利用极限定义验证极限用极限定义验证极限,是极限问题的一个难点做这类题目的关键是对任意给定的正数,如何找出定义中所说的N或确实存在。

这实际上是利用逆推的方法论证问题,可以培养逆向思维能力例27:证:任给要找,使时,有即,显然,当较大时,如,有=,因此要使成立,当n>=2时,只要即或这样一来,取,则当n>N时,则有及,因此上述各式成立13.涉及单侧极限与双侧极限的问题例28:求函数在处的左右极限,并说明在处是否有极限解:,,因为,所以f(x)在x=-1处的极限不存在利用该方法就极限时,只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的注:本例是的直接应用14.利用微分中值定理和积分中值定理求极限例29:解:因为由微分中值定理(介于与之间)原式===例30:求的极限解:由微分中值定理得,(介于与之间)原式=15.利用柯西准则来求数列极限柯西准则:要使有极限的充要条件使任给,存在自然数N,使得当n>N时,对于任意的自然数m有例31:没有极限证明:对任意的n,取m=n,我们有=因此,对于,对任意的N,当n>N时,取m=n就有即变量没有极限16.换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元的方法加以变形,使之简化易求例32.解令,则原式==例33:求解:令则16.数列极限转为函数极限求解例34求.解令,则原式,所以在时,与等价,因此,原式.在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。

所以求极限时,首先观察数列或函数的形式.选择适当方法,只有方法得当,才能准确、快速、灵活的求解极限由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商例1.求的极限解:由定理中的第三式可以知道例2.求的极限解:分子分母同时乘以式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式,直接求极限即可例3.已知,求解:观察因此得到所以精心整理。

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