不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例1、求J（1一1）xxdxx2##解原式=J(X4—X54714)dx=X4+4X4+C##例2、求J空上)dx=x—arctanx+C+x2dxeX+1解原式二J(e2X—eX+1)dx=—e2x—ex+x+C2例3、求J1dxsin2Xcos2Xsin2x+cos2x11解原式=dx=dx+dx=tanx—cotx+Csin2xcos2xcos2xsin2x例4、Jcos2dx2解原式二J1+cosxdx=x+站x+C22例5、J工^dx1 +x2##解原式=Jdx=1+x2##注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.、第一类换元积分法（凑微分法）Jf(x)dx凑成Jg叩(x)]9'(x)dx令怛)="Jg(u)du求=BG(u)+C还原G叩(x)]+C在上述过程中，关键的一步是从被积函数f(x)中选取适当的部分作为9'(x)，与dx一起凑成9(x)的微分d9(x)=du且Jg(u)du易求.例1、求Jtanxdxcosx解原式二sinx-dcosxdx=cosxcosxcosxcosx2cosx+C##例2、求Jarcsinxdxx-x2解原式=Jarcs1i-nxx12arcsinxdx=d(x)x1-(x)2*##=2Jarcsinxd(arcsinx)=(arcsinx)=arcsinx++C注dx=2d(x)x例3、求J1-xdx9-4x2解原式d(2x)+】]*(9一4x2)-2d(9-4x2)d(3x)I；x)22 32-(2x)28例4、求ftan1+x2dx1+x2解原式=ftan1+x2d1+x2=-lnlcos1+x2|+C例5、求fxdxx—x2—1原式=Jx(x+X2l)dx=fx2dx+fxx2一1dxx2—(x2—1)x33+12fx2—1d(x2—1)=x33+1(x2—1)3+C3例6、求jdx1+tanx解原式二cosx1cosx—sinxdx=—J(1+)dxsinx+cosx2cosx+sinxcosx+sinxd(cosx+sinx)=丄(x+Inlcosx+sinxl)+C^2例7、求丄In土dx1—x21—x##例8、求f」dxex+1##exex+1解原式=Jl+wxa*dx=fdx—fdx1+ex=fdx-Jd(1+ex)=x-ln(1+ex)+C1+ex例9、求J一1dxex+e-x解原式二exdx=e2x+111+(ex)2d(ex)=arctanex+C#例10、求J呦Xdx1+sinx解原式二-)dx=1+sinx1-sinxdxcos2x##=x-Jdx+Jdx=x-tanx+secx+Ccos2xcos2x例11、求Jdxx2-3lnx1(2—3lnx)2+C解原式=J(2-3Inx)-2d(Inx)f丄111=J(2—3lnx)—2(—-)d(2—3lnx)=—-33—-+123 2-3lnx+C例12、求Jdxa2sin2x+b2cos2x解原式二d(tanx)=—J1d(—tanx)b2+a2tan2xab1+(tanx)2bb1a=arctan(—tanx)+Cabb例13、求J比1dxx6+1#解原式二(x3)2x4-x2+1+x2jdx—x6+1J(兀2)2一兀2+1dx+(x2)3+1##1+x231+(x3)2—dx+-J—1—dx3=arctanx+-arctanx3+C'3例14、求J一1dxx(1+x8)解原式二1+x8-x8jdx—x(1+x8)严-JEdx=lnlx1-8ln(1+x8)+C例15、求J3x—2dxx2-4x+5解原式=3Jd(x2-4x+5)+4j—1—dx2x2-4x+5x2-4x+5=-lnlx2-4x+51+4Jd(x_2)2(x—2)2+13=2Inlx2-4x+51+4arctan(x-2)+C注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如J-dx的积分（将分母配方，再凑微分）.ax2+bx+cx2例16、已知f(x2一1)=In-，且f[®(x)]=Inx，求x2—2解因为f(x2—1)=In"1+1，故f(x)=In送H，又因为x2-1-1x-1(P(x)+1(p(x)+1—+1f[g)]=ln=lnx'得=x'解出p(x)=口，从而J(1+)dx=x+2lnIx一11+Cx一1例17、求J-!dxcos4x原式=Jsec2xdtanx=J(1+tan2x)dtanx=tanx+3tan3x+C例18、求J1+lnxdxJd(xlnx)2+(xlnx)21xlnxarctan()+C222+(xlnx)2##三、第二类换元法设x=®(t)单调可导，且0(t)丰0，已知Jf[9(t)即'(t)dt=F(t)+C，贝I」Jf(x)dx令宣(t)Jf[9(t加'(t)dt=F(t)+Ct="=还原F[9-1(x)]+C选取代换x=9(t)的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号),同时使Jf[9(t)]9'(t)dt易于计算.例1、求Jxdx(x2+1)1一x2解令x=sint,dx=costdtsintcostdtdcost1原式=J=-J=-(sin21+1)cost2一cos21221+2一cost12+cost)dcostln2+cost1+C=-ln2一cost222+2一+C#例2、求Jdxx41+x2解令x=tant,dx=sec2tdtsec2tdt原式=tan41-sectcos3tdtsin4t1-sin2tdsint=sin4t-4t-sin-2t)dsint11+1+C=-3sin3tsint(1+x2)3+(1+x2)+C3x3例3、求x2一9dxx2解令x=3sect，贝Udx=3sect-tantdt原式=J3tan".3sect-tantdt=9sec2t2tdt=(sect-cost)dtsect=ln|sect+tant|-sint+C1=lnx+ax2-a2x2-a2+C1=lnx+x2-a2x2-a2+C例4、求x(x7+2)dx解令x=-，则dx=一丄dt,tt2#原式='172(-12)dt='1+2t7dt=-14JT+2F7d(1+2t7)17A11+2t7|+C=-1>2+x7|+2ln|x1+C注设m,n分别为被积函数的分子，分母关于x的最高次数，当n-m>1时,可用倒代换求积分.例5、x+1dx#x2x2-1解令x=］，dx=-—dttt2原式11t2-1t2t21+tdt=-1-t21dt+Jd(1-t2)1-t221-t2=-arcsint+1-t2+C=-arcsin1+C#xx##例6、求Jdx3x2-4x##解原式令12x=tJt6dx=12t11dtt8-##-14dt=12飞j(t5+1+1212110+15+105敦114115-11+C#例7、求Jdx1 +ex解令1+ex=t,ex=12一1,dx=dtt2-112t1t一11+ex一1原式=J•dt=2Jdt=In+C=In+Ctt2一1t2一1t+11+ex+1例8、求Jlnxdxx1+lnx解令t=1+Inx原式=Jdlnx=Jdt1+lnxt=J(1231t―)dt=12―2t2+C=t32(lnx一2)1+lnx+C例9、求Jx+1一1dxx+1+1解令x+1=t,x=t2一1,dx=2tdt因为原式=J"*?2X+^dx=x+2lnIxI—2J*xx+1dxxx+1dx=J2t2dt=2J(1+1)dtxt2一1t2一1=2t+lnt—1+C=2x+1+lnt+1x+1一1x+1+1+C#x+1-1原式=x+21nlxI-4x+1—2ln+C=x—4x+1+4lnx+1+1+Cx+1+1四、分部积分法分部积分公式为Juv'dx=uv-Ju'vdx使用该公式的关键在于u,v'的选取，可参见本节答疑解惑4.例1、求Jx3exdx解原式=Jx3dex=x3ex一3Jx2dex=x3ex一3x2ex+6Jxdex=x3ex—3x2ex+6xex—6ex+C例2、求Jx2cos2dx2原式=211x3+62Jx2cosxdx=-x3+-Jx2dsinx=-x3+-x2sinx一6262Jxsinxdx11=—x3+x2sinx+62Jxdcosx=11x3+x2sinx+xcosx一62Jcosxdx=6x3+1x2sinx+xcosx一sinx+C例3、求Je3xdx解原式3J12etdt=3J12det=3t2et—6tet+6et+Cdx=3t2dt=33x2e3x一63xe3x+6e3x+C例4、求Jcos(lnx)dx解原式=xcos(lnx)+Jsin(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-x移项，整理得原式=—[cos(lnx)+sin(lnx)]+C2注应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：Jeaxcos卩xdx或Jeaxsin卩xdx例5、求Jln(x+1+x—)dx原式=xln(x+dx=xln(x+1+x—)-1+x—+C##例6、求Jln3xdxx—解原式==J-ln3xd(-)=-也3-3Jln—xd(-)xxxln3xln—x+—xln3x3ln—x##例7、推导J—所以原式=Jarctanxd—(1+x2)ln(1+x2)-—x2dx的递推公式(x—+a。