负折射率材料研究报告学号：08221033 陈法伟一、折射的理论1、基本定义与关系式电磁学的早期即由实验发现了以下规律：各向同性介电物质中电位移矢量与电场强度矢量方向 一致，人小成正比，故有DnE,式中是比例系数，称为介电率或介电常数.另外，实验还证 明，对各向同性非铁磁性物质，磁感应强度矢屋与磁场强度矢量方向一致，人小成正比，故有B = pH ,式中“比例系数称为导磁率.w和“被看成衣征物质电磁性质的宏观参数.在自山空间（无电荷源及传导电流），山麦克斯韦方程组导出的电磁波波方程为：V2E-Z/^ = 0,V2W-^^-^ = 0dt2 严 dr由此得无色散电磁波传播速度:1式中6 =/%是相对介电常数；=“/“（），是相对磁导率％ “（）则为, “在真空中的值；而C为白由空间（真空中）光速,1实际上，按照麦克斯韦场理论，电磁作用过程是经过场（波）而完成的，在真空条件下，这个作用传 递的速度就是C・可见，麦克斯韦山于提出电磁场方程组而被后人认为是伟大的科学家这点没错；但由 于时代的局限（经典场论产生于距今136年前），他的理论不可能解释近年来以量子力学、量子光学为基 础而完成的超光速、超慢光速实验.2、折射折射是口然界最基本的电磁现象Z-o当电磁波以任意角度入射到两种不同折射率的介质交界 而处时，波传播的方向会发生变化。
那么，介质的折射率是如何定义的？图1,表示介质1中的入射波在介质2中折射, 虚线AC, BE为波前由丁 sinQsing故有AB = CB sin 01 - vj,CE = CB sin O2 - v2r,此式即为Snell定律,由它可以计算折射波前 进的方向，式中片，冬均为相速这个比值被称为折射率，JU n表示， n = l2^2 ,如s =勺,=“o ,介质1为真空）,贝有n=- =在V 斫“] " _ v上述推导中折射率不是以〃2形态出现的，即使巧<0,“「<0,仍有〃〉0. （R卩折射率恒为止值）对 于一般的材料来说，n总大于1但近儿年来，人们发观在周期性排列的人工电介质材料即光子晶体中存在着反常的折射现象: 光在空气一晶体的界面进入晶体发生折射时、折射光不是偏向于界面的法线方向而是偏向于界面 方向也就是说在光的频率范围内，光子晶体的折射率小于1有实验表明，光子晶体中的折射光 其至对以与入射光位于界血法线方向的同一侧因而出现负折射3、电介质理论1837年，法拉第最先提出电介质在电场中极化的概念.1850年，0. F. Mosotti提岀了电介质极化理论方程：= —/V,6Z0 ，式中M是分子量，。
是电介质密度，d（）是空气分子平均r +2 p 3极化率，心是阿伏伽徳罗常数.由于R. Clausius也曾导il〔此式，上式称为Clausius-Mosotti方程.它 的适用范围是：非极性分子、低密度介质.推导时用许多导体圆球代表分子.1880年，H. A. Lorenntz和L. V. Lorenz用光学方法导出了一个包含折射率的公式，称为>7 * — 1 M 4-7T -Lorentz-Lorenz —/V^z（）対比上式，『=… 其应用范围仍为非极性分子/r +2 p 3对于极性分子的介质，1912年，徳拜给出邑二L•竺二匹心[兔+上T，式中u为电偶极矩, +2 3 A 3kTk为玻尔兹曼常数，T为绝対温度.上式说明，静电场中总极化山诱导（变形）极化和取向极化两种作 用组成.如分子u=0,徳拜方程简化为Clausius-Mosotti方程.但如外场为交变电场，要考虑极性分子 M 4tt u2 1的弛豫时间「的影响，这时该式改为」 =—7VJ^0+- 1可见，弛豫时间sr +2 p 3 z 3kT 1 + ja）z的影响是山取向极化率的改变而实现的.1大I此，对极性分子介质而言，只有砂《1,巧（以及n）才与频率无关，才成立.总的讲, 当频率f<100GHz时，T的影响口J不考虑，式『保持止确.这就不难理解.近年來的负折射率 研究是在微波段（10GHz以下）取得成功的原因.二. 负折射率1、负折射的理论解释早在1968年，前苏联物理学家V. G・Veselago就提出过左手化媒质（lefthanded medium, LHM） 的物理思想，该理论认为微波穿过LHM时将射向与Snell定律不同的方向，即发生了微波异常传播的 现象。
所谓微波异常传播（anomalous microwave propagation）的概念是美国Wisconsin州Marguetle大学 的G. C. Giakos和T. K, ishij于1991年提出的，内容是说测量了微波脉冲在自由空间和波导中的传 播，发现有现彖与传统理论不相符一一认为与脉冲前沿相关的部分能量以相速（光速或超光速）传播, 而传统上认为的“信号以群速传播”在实验中却观测不到.论文发表后，国外有人发表不同意见， 但是，“微波异常传播”一词却流传下來，用以描写实验中发现的一•些反常现象2001年4月6日， 美国著名刊物《Science》发表了题为“负折射率的实验证明”的论文.虽然此前己有报道，但由著 名的科学刊物正式发表关于负折射率的文章尚属首次.我们知道，口然界的一切物质的折射率均为 正值(n>0),从來不曾在已知材料中观察到负折射率(nvO),因此美国科学家的新研究成果在学术界和 新闻界都颇为轰动.实验是在微波段(而非光频段)完成的，结果完全符合2000年初的预言：微波波束 从样殆中出来后，其方向与传统的Snell定律的叙述不同.为什么会产牛这种现象呢？因为在一般条件下有n? =6比.故有斤=辰万7,这里的负号不能随便丢掉.在某种材料同时具有》v0, “,.v0时，上式右端可能应取负值.接近透明媒质的折射 率函数n(w)的实部通常是止值.D. R. Smith和N. Kroll分析了电流源向一•维左手化媒质(LHM)辐射 的情况(该媒质的介电常数和导磁率均为负)，对n(w)函数的深入分析，证明在某个频区Re[n(w)J实际 上必须为负值.虽然口然界所有已知的材料是星现正折射率，具有负折射率的材料在理论上却有可能，并不违 反任何物理定律.询者称为右手化媒质(right handed medium, RHM)；后者称为左手化媒质(left hanndcd medium, LHM). LHM的电磁特性与常见的RHM相反.1968年，V. G. Veselago断言，平而电磁波在一个同时具有负介电常数和负导磁率的媒质中传 播时其方向将与能流方向相反.这结果不是从波方程得到的，因为衣无源情况卜该方程保持不变； 而是从单独的麦克斯韦旋度方程得出的.电场旋度方程为电场矢量E、磁感应强度B和波矢kH者的 方向提供了明确的右手(RH)规则.然而，能流方向山(ExH)提供，仅在导磁率“〉0时才形成右手 系统.当“ <0,波传播方向将反转，与能流方向相反，这时E, H, k三者形成左手系统关系，Veselago 称这种材料为左手化媒质(LHM).我们注意到，讨论这个问题必须涉及矢暈B,而LHM的形成并不 需要介电常数的条件.从表血上看，由于存在着关系式n = 7^7，如均为负，但二者相乘后仍为正，并不存在负折射率的问题.但是，正如我们在前血指出的，确切的表述是〃二丁莎，；因此，美国圣 迭戈加州人学(UCSD)研究组的科学家认为，当 v(), / v0同时发生时，取〃=-莎匚才更合理•他 们的根据是，实验己证明，LHM确实呈现负折射率的性质.2、负折射率的实验证明：在科学研究中，当理论上：出现模糊时，只有用可靠的实验才能使事情趋于明朗，问题得到解 决.UCSD的实验是在微波段进行的.他们所用的受试物并不是一种材料，而是一个经仔细设计的图2 图3独特的系统.具体讲，用一个二维线阵产生负介电常数（<0,用另一个SRR产生负导碰率 （“vO）；二者组合为一个相当于棱镜的体系.所谓SRR是有缝的环状谐振器（split ring resonator）,两 环之间的电容与自感形成谐振冋路，可发生谐振。
多个SRR纽成周期阵列并互相耦合，可以造成“山 止变负的效果（见图2）.用微波波束进行照射，测量其散射角（&）和有效折射率叫）.图3是测量装置，被测样品（棱镜）置于两块圆形铝板（直径30cM）Z间，板距1. 2cm・粗黑箭头表 示来波方向和折射（按n>0）方向，检测器是用x频段波导连接的微波功率测量装置，实际上是用波导 ——同轴转换器及HP8756A型标量网络分析仪.微波波束从棱镜射岀时，表面为折射界面（按Snell 定律规定的角度方向）.现在把检测器安装在可旋转的架子上（1. 5步进），这时试验人员就可以对 RHM, LHM分别测量其接收电平与角度（0）的关系，并作比较.下图左是取频率f=10. 5GHz时接收 电平与折射角的关系，为了方便，把两种样品的峰值电平都归一•化为1结果是，对于常规树料（RHM） 的Teflon,峰值发生在27处,对应n=l. 40. 1;对于LHM系统,峰值发生在・61处,对应n=—2・7 0. 1.可见，在LHM情况下、折射角与BHM相差88接近皿/ 2即90度）.故在一定频率（满足LHM 要求的频率）下，折射角按与Snell定律指示的不同方向偏转，呈现nvO。
下图右是折射率与频率的关系（蓝实线为Tenflon,黑实线为LHM）.当f=10. 2—10, 8GHz时，LHM 处在负折射率频区，且高度色散性.总之，Veselago在32年前的预测得到了证明.5O18 6 O■ ■o Q^35MMod pez-pauuoNAngle from normal (dog)absorber三、负折射率材料的奇异特性1、超透镜英国皐•家学院的Pendry研究了负折射晶体中电磁波的传播行为，指出这样的晶体对于光來说就 如同一个透镜，可以在晶体中和晶体后成2个实像但相比于普通的透镜，它突破了衍射的限制，因 此可以大幅度提高光学存储器的存储容量、还可以用于医学成像方面具体分析如下：假设在透镜前有一个很小的振荡频率为3的偶极子，电场强度用二维傅立叶展开得：E（r,O=工乞 gkjx严 223 选定z方向为波传播纵向•Maxwel 1 方程告诉我们：k： = ^2C~2-k；-k^ , CO2c2>^+k；.透镜的作用是调整每个傅立叶展开成分的相位，使它们在透镜外重新聚焦与一点，成一个实像但 是当横向传播常数较大，即川严<疋+々.时，k： =_jJk；+k：_a）2c-2 ,所以纵向传播常数 为熄数，随着波向+Z方向传播，幅度将按指数规律衰减。
所以要使波无衰减地传播，必须有一个限 制：/c -2>疋+々..然而，若使用一个负折射率材料的透镜，就可以不受到这个限制，并且使它 们在透镜中和透镜后两次聚焦如下图所示（假设n=-1）奥秘就在于介电常数e和磁导率口都是负的，假设 =-1, u =-lo由前面的理论可知我们应选择n = -J莎 =-1,但波阻抗Z虽如二1仍然是止的6匂所以在真空到介质的一侧，有着很好的阻抗匹配，在交界面处不会产生反射, 在另一侧也是如此计算也证实，所有能量都传入了介质证明并不闲难：假设真空中一个TE模的波，电场表示为[0,1,0kj(cot-k:z-kxx)传播常数化=-j^k~+k：-CO2C~2 , /「2 < k； +々・ 虚数表示为指数性地衰减在介质的交界面，一些波反射：Eo_ = r[0丄（J]"叭"3）,一些波折射入介质：巴+ "[0,1,00333）, 传播常数 R；。