等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一初中数学初中数学 吴娇吴娇 •等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简称互相重合简称““三线合一三线合一””））知识点知识点 课程内容课程内容•回顾概念回顾概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等腰三角形 相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰 另一条边叫做另一条边叫做底边底边 两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角 底边与腰所夹的角叫做底边与腰所夹的角叫做底角底角ABC腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角 •等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、、底边上的中线底边上的中线、、 底边上的高底边上的高互相重合互相重合简称““三线合一三线合一””）） 已知：在已知：在△△ABCABC中，中，AB=AC. AB=AC. 分三种情况讨论：分三种情况讨论： (1)(1)若若ADAD平分平分∠∠CABCAB，则，则D D为为CBCB的中点的中点, AD⊥CB. , AD⊥CB. (2) (2)若若ADAD是底边是底边 中线，则中线，则AD⊥CB, ADAD⊥CB, AD平分平分∠∠CAB.CAB. (3) (3)若若AD⊥CBAD⊥CB，则，则D D为为CBCB的中点的中点, AD, AD平分平分∠∠CAB.CAB.ACBD (1)(1)若若ADAD平分平分∠∠CABCAB，则，则D D为为CBCB的中点的中点, AD⊥CB. , AD⊥CB. 证明：证明：ADAD平分平分∠∠CAB CAB ，则，则∠ ∠ 1=1=∠∠2. 2. AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) ∠ ∠ 1=1=∠∠2( 2( 已作已作 ) ) AD= AD=ADAD ( (公公共边共边) ) ∴ △ ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∴BD=CDBD=CD，， ∠∠ADB=ADB=∠∠ADC.ADC. ∴ ∴ D D为为CBCB的中点的中点. . 又又∠∠ADB+ADB+∠∠ADC =180ADC =180°°，，∴ ∴ AD⊥CB.AD⊥CB.21ABDC在在△△BADBAD和和△△CADCAD中中 •(2)(2)若若ADAD是底边是底边 中线，则中线，则AD⊥CB, ADAD⊥CB, AD平分平分∠∠CAB.CAB. 证明：证明： ADAD是底边是底边 中线，则中线，则BD=CD.BD=CD. AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) BD=CD ( BD=CD ( 已已作作 ) ) AD= AD=ADAD ( (公公共边共边) ) ∴ △ ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ ∴ ∠ 1= ∠21= ∠2，， ∠ ∠ADB=ADB=∠∠ADC.ADC. 又又∠∠ADB+ADB+∠∠ADC =180ADC =180°°，，∴ ∴ AD⊥CB.AD⊥CB.BACD在在△△BADBAD和和 △△CADCAD中中 1 2 •(3)(3)若若AD⊥CBAD⊥CB，则，则D D为为CBCB的中点的中点, AD, AD平分平分∠∠CAB.CAB. 证明：证明： AD⊥CB AD⊥CB ，则，则∠ ∠ BDA=BDA= ∠ ∠ CDA=90CDA=90°°. . 在在RtRt△△BADBAD和和RtRt △△CADCAD中中 AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) AD= AD=ADAD ( (公共边公共边) ) ∴ △∴ △BAD ≌ △CAD (HL).BAD ≌ △CAD (HL). ∴ ∠ ∴ ∠ 1= ∠21= ∠2，，BD=BC.BD=BC.ACBD21 课程小结课程小结•我们从三个方面证明了：等腰三角形的我们从三个方面证明了：等腰三角形的 三线合一三线合一. . 即：等腰三角形底边上的高，是底边上的中线，也是即：等腰三角形底边上的高，是底边上的中线，也是顶角的平分线顶角的平分线. . 谢谢 谢！谢！ 。