§6 例题与练习例题与练习1 ( (一一) )可分离变量的方程可分离变量的方程: :(1)分离变量分离变量;(2)两端积分两端积分-------隐式通隐式通解解.解法解法:( (分离变量法分离变量法) )一一.基本概念：基本概念：微分方程；微分方程；微分方程的阶微分方程的阶; ;微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ;初始条件初始条件; ;特解特解; ;常微分方程；常微分方程；线性微分方程；线性微分方程；常系数线性微分方程；常系数线性微分方程；线性相关线性相关, ,可分离变量的方程；可分离变量的方程；线性无关线性无关; ;齐次线性方程齐次线性方程非齐次线性方程非齐次线性方程; ;特征方程特征方程, ,特征根特征根. .二二.基本公式和方法基本公式和方法:回顾本章知识内容回顾本章知识内容2 2.线性非齐次方程线性非齐次方程1.齐次的方程齐次的方程解法解法:常数变易法常数变易法通解为通解为:(三三).一阶线性方程一阶线性方程（二）齐次方程（二）齐次方程解法解法 作变换作变换3 解法解法特点特点 型型 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得( (四四) )可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程解法解法；降阶法；降阶法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解.4 (五五)二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质(六六)二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程解法解法:特征方程法特征方程法5 ( (七七) )二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程解法解法 待定系数法待定系数法6 基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性方程的解线性方程的解二阶方程二阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法本章主要内容本章主要内容7 例例1.求微分方程求微分方程 的通解的通解.解解:分离变量分离变量两边积分两边积分因因∴∴另解另解: (特征方程法特征方程法)因为因为 所对应的特征方程为所对应的特征方程为r+1=0,特征根特征根r= -1, ∴∴ 为为所求所求通解通解.解解三三:代代公公式式8 例例2.求微分方程求微分方程 的通解的通解.解一解一:齐次方程的通解为齐次方程的通解为因该方程对应的齐次方程因该方程对应的齐次方程 的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为又因为又因为恰是特征单根恰是特征单根故故设特解为设特解为代入原方程得代入原方程得∴∴∴∴所求通解为所求通解为9 解二解二: 该方程对应的齐次方程该方程对应的齐次方程 的的通解为通解为因为该方程的自由项因为该方程的自由项f(x)=sinx为为 的虚部的虚部∴∴可设辅助方程可设辅助方程※由于由于 恰是特征方程恰是特征方程 特征单根特征单根∴∴设设 为为※的一个特解的一个特解.将其代入将其代入※整理得整理得即即∴∴10 ∴∴为方程为方程 的一个特解的一个特解∴∴所求通解为所求通解为注意注意:三三.作业作业 P11 。