第六节 集合和集合的推演一、关于集合的几个基本概念——集合、元素、子集、空集、全集一个词项的外延是一类事物，该类中具体的事物是那个类的分子，在现代逻辑中，通常把作为词项的外延的类称 为集合，把组成类的分子称为元素例如：世界上最高的山峰太阳系的大行星中华人民共和国的直辖行政区这些都是集合用 A、B、C……表示集合，用 a、b、c 表示集合的元素集合 A 可以记为：A={a,b,c……}.或者记为 A={x,︴x=a,b,c……}a 是 A 的元素，叫做 a 属于 A，用符号“∈”表示，记为 a∈Aa 不是 A 的元素，叫做 a 不属于 A，记为 a?A例如，地球属于太阳系的大行星，-1 不属于自然数如果 A、B 两个集合，A 的每一个元素都是 B 的元素，那么，A 就是 B 的“子集合”，简称子集，叫做 A 包含于 B，或者说 A 和 B 有包含关系，用符号“í”表示，记为：AíB如果 A 包含于 B，且 A 不等于 B，那么，A 是 B 的真子集，或者说，A 与 B 有真包含关系，记为 AìB如果 A 包含于 B，且 B 也包含于 A，那么 A 与 B 相等，或者说，A 与 B 具有全同关系，记为 A=B。
如果一个集合不包含任何元素，则称之为“空集合”(简称空集)，用?表示，即?={ }如果一个集合包含了组成它的一切元素，则称之为“全集合”(简称全集)，用 I 表示 二、集合的推演集合的推演就是集合的运算即从给定的两个或两个以上集合推演出一个新的集合它体现了从两个(或两个以 上)的词项推导出一个新词项的过程集合有下面四种推演方式1、集合相加的推演(并运算)与词项和可以将不同的集合合并在一起如果我们将两个集合加在一起构成一个新的集合，就是用集合 A 和集合 B 的所 有元素组成一个新的集合，这个集合即包含了原来两个集合的所有成分，而这些成分又至少属于这些集合中的一个 这种运算称之为并集(简称“并”)，或者叫作逻辑和集合相加的推演可以在两个或两个以上集合中进行，也就是说，可以将两种、三种、四种乃至更多种类合并在一 起用符号“∪”作为并运算的联结项，两个集合的并运算可记为：A∪B例如，设 A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}则 A∪B={1，2，3，4，5 }又如，设 A={男学生}，B={女学生}，则 A∪B={学生}(以下 A、B、C 均表示词项)对于词项来说，这种运算也称为词项和比如将哺乳动物和非哺乳动物的集合合并在一起即是动物的集合。
奇数 与偶数的集合合并在一起即构成整数这一集合将外国诗人和中国诗人合在一起即是诗人这一集合如果将词项和的 运算表示为：A B = C从内涵上看：C 的每个分子，或者具有 A 的内涵，或者具有 B 的内涵；从外延上看：C 的外延是 A 与 B 的外延之和例如：男人 女人=人2、集合相乘的运算与词项积集合相乘的推演又叫作集合的交运算，就是用同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素构成一个新的集合，称之为 “交集”(简称“交”)，或叫做逻辑积用符号“∩”作为交运算的联结项，记为：A∩B如前例，设 A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A∩B={3 }又如，设 A=哲学系学生，B=大学一年级新生，则 A∩B={哲学系一年级新生 }再如，A=方形，B=圆形，则 A∩B=既是方形又是圆形={ }=?该运算对词项而言，可称词项积如果将词项积表示为：A ×B = C从内涵上看：C 的每个分子，既具有 A 的内涵，又具有 B 的内涵；从外延上看：C 的外延是 A 与 B 外延的共同部分例如：中国人×知识分子=中国知识分子男人×老人= 老头3、集合相减的运算与词项差集合相减的运算又叫做集合的差运算，就是用属于集合 A 而不属于集合 B 的所有元素组成一个新的集合，称之 为“差集”(简称“差”)，或叫做逻辑差。
用符号“-”作为差运算的联结项，记为：A-B如前例，设 A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A-B={1，2 }，B-A={4，5 }又如，设 A=干部，B=党员，有：A-B=非党员的干部，B-A=非干部的党员该运算对于词项而言，可称词项差如果将词项差表示为：A-B = C从内涵上看：C 的每个分子，具有 A 的内涵，但不具有 B 的内涵；从外延上看：C 的外延是从 A 的外延中除去 A 与 B 的积例如： 教授-离退休人员=在职教授4、补集与补词项补集是全集与其子集之间的差运算，用属于全集 I 而不属于其子集 A 的所有元素构成一个新的集合，这个新集合 就是集合 A 的补集，(简称“补”)，记为：I-A(或-A)对于词项而言，该运算称为补词项，词项 A 的补，记为﹁A，读作非 A指论域中除 A 以外的其他事物以 I 表 示论域，则﹁A = I-A例如，设 I= {自然数}，A={偶数}，有：I-A={奇数}，或﹁A={奇数}又如，设：I= 动物，A=哺乳动物，有：I-A=非哺乳动物，或﹁A=非哺乳动物例如： 非公理化理论= 理论-公理化理论三、集合演算的一些基本规律1、交换律 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A2、结合律 A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C3、A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C4、分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)5、A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)6、德摩根律﹁(A∪B)＝﹁A∩﹁B 7、﹁(A∩B)＝﹁A∪﹁B 以上基本规律的证明从略。
一、思考题 ：(一)什么是词项？它的逻辑特征是什么？它与语词、概念有什么联系与区别？(二)词项有哪些种类？集合词项与非集合词项有什么分别？(三)词项的外延间关系有哪几种？词项的矛盾关系与反对关系有什么区别？(四)什么是词项的概括和限制？如何对一个词项进行概括和限制？(五)违反定义的规则、违反划分的规则各有哪些逻辑错误？[①]任何语词(以及语句)都可以被使用(to be used)，也可以被提及(to be mentioned)在被使用的情况下，用不同语 词表达同一概念，可以视为同一词项，例如：“吾妻见字速来”与“老婆见信速来”可视为同一命题但在被提及时应视 为不同的词项，例如， “我知道苹果，可我不知道‘apple’ ”在这里， “苹果”是被提及。