第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2009）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解:令，则，，（*）令，则，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解:令，则，,解得3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解:因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解:方程的两边对求导，得因，故，即，因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解:故因此三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解:由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证:因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,,.七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.解，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，，于是 下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.解令，则因当，时，，故在上严格单调减。
因此即 ，又 ，，所以，当时, 与等价的无穷大量是。