任意四边形、梯形与相似模型任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲例题精讲 板块三相似三角形模型 (一一)金字塔模型金字塔模型(二二) 沙漏模型沙漏模型 G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG ； ； 22 : ADEABC SSAFAG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 【例 ， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 【例 1】 如图，已知在平行四边形】 如图，已知在平行四边形ABCD中，中，16AB ，10AD ，4BE ，那么，那么 FC 的长度是多少？的长度是多少？ F E DC B A 【考点】相似三角形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于 CD ，所以 :4:161:4BF FCBE CD，所以 4 108 14 FC 【答案】8 【例【例 2】 如图， 测量小玻璃管口径的量具】 如图， 测量小玻璃管口径的量具 ABC ，AB 的长为的长为15厘米，厘米，AC 被分为被分为60等份 如果小玻璃管口等份 如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上正好对着量具上20等份处等份处( DE 平行平行 AB )，那么小玻璃管口径，那么小玻璃管口径 DE 是多大？是多大？ 6050403020100 E A D C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】有一个金字塔模型，所以:DE ABDC AC，:1540:60DE，所以10DE 厘米 【答案】10 【例【例 3】 如图，】 如图， DE 平行平行 BC ，若，若:2:3AD DB ，那么，那么: ADEECB SS _ A E D C B 【考点】相似三角形模型【难度】2星【题型】填空 【解析】根据金字塔模型:2:(23)2:5AD ABAE ACDE BC， 22 :2 :54:25 ADEABC SS ， 设4 ADE S 份，则25 ABC S 份，255 315 BEC S 份，所以:4:15 ADEECB SS 【答案】4:15 【例【例 4】 如图，】 如图，ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB， 则 ， 则 : ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 E GF A D C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【解析】设1 ADE S 份 ， 根 据 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 所 以 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ， 22 :1:9 ADEABC SSADAB ， 因 此4 AFG S 份 ，9 ABC S 份 ， 进 而 有3 DEGF S 四边形 份 ， 5 FGCB S 四边形 份，所以:1:3:5 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 【答案】1:3:5 【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且2AD ，5AB ，4AE ，求，求AC的长的长 A E D C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC 【答案】10 【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，互相平行，ADDFFMMPPB， 则 ， 则: ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 Q E G NM F P A D C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【解析】设1 ADE S 份， 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ，因此4 AFG S 份，进而有3 DEGF S 四边形 份，同理有 5 FGNM S 四边形 份，7 MNQP S 四边形 份，9 PQCB S 四边形 份 所以有:1:3:5:7:9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列 【答案】1:3:5:7:9 【例【例5】已知已知ABC中，中，DE平行平行BC，若，若:2:3AD DB ，且，且 DBCE S梯形比比 ADE S大大 2 8.5cm，求，求 ABC S A E D C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】根据金字塔模型:2:(23)2:5AD ABDE BC， 22 :2 :54:25 ADEABC SS ，设4 ADE S 份， 则25 ABC S 份，25421 DBCE S 梯形 份， DBCE S梯形比 ADE S大17份，恰好是 2 8.5cm，所以 2 12.5cm ABC S 【答案】12.5 【例【例6】 如图：】 如图：MN平行平行BC，:4:9 MPNBCP SS ， 4 cmAM ，求，求BM的长度的长度 NM P A C B 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】在沙漏模型中，因为:4:9 MPNBCP SS ，所以:2:3MN BC ，在金字塔模型中有： :2:3AMABMN BC，因为4 cmAM ，4236AB cm，所以642 cmBM 【答案】2 【巩固】如图，已知【巩固】如图，已知DE平行平行BC，:3:2BO EO ，那么，那么:AD AB _ O E D C B A 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【解析】由沙漏模型得:3:2BO EOBC DE，再由金字塔模型得:2:3AD ABDE BC 【答案】2:3 【例【例7】 如图，】 如图，ABC中，中， 1 4 AEAB， 1 4 ADAC，ED与与BC平行，平行，EOD的面积是的面积是1平方厘米 那么平方厘米 那么AED 的面积是的面积是平方厘米平方厘米 A BC D E O 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【解析】因为 1 4 AEAB， 1 4 ADAC，ED与BC平行， 根据相似模型可知:1:4ED BC ，:1:4EO OC ，44 CODEOD SS 平方厘米， 则415 CDE S 平方厘米， 又因为:1:3 AEDCDE SSAD DC ，所以 15 5 33 AED S(平方厘米) 【答案】 5 3 【例【例8】 如下图，正方形如下图，正方形ABCD边长为边长为l0厘米，厘米，BO长长8厘米。
厘米AE=_厘米 E O DC BA 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分 【解析】AOB与EDA相似，对应边成比例AB：BOAE：AD，AEABADBO1010812.5(厘 米) 【答案】12.5 【例【例9】 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长是的边长是12厘米，厘米，E是是CD边上的中点，连接对角线边上的中点，连接对角线AC，交，交BE于点于点O， 则三角形 ， 则三角形AOB的面积是（）平方厘米的面积是（）平方厘米 A、24B、36C、48D、60 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛 【解析】C 【答案】C 【例【例10】在图中的正方形中，】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，分别是所在边的中点，CDO的面积是的面积是ABO面积的几倍？面积的几倍？ A B C D O E F A B C D O 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】连接BC， 易知OAEF， 根据相似三角形性质， 可知:OB ODAE AD， 且:1:2OA BEDA DE， 所 以CDOV的 面 积 等 于CBOV的 面 积 ； 由 11 24 OABEAC可 得3COOA， 所 以 3 CDOCBOABO SSS VVV ，即CDOV的面积是ABOV面积的3倍 【答案】3 【例【例11】图图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 10 1010 【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答 【解析】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG DC B A G x x xx 10 1010 设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x， 1 20 10100 2 ABF S即 100 3 x ，那么正方形内空白部分的面积为 400 4 3 x . 所以原题中阴影部分面积为 400800 20 20 33 (平方厘米) 【答案】 800 3 【例【例12】 如图，线段】 如图，线段AB与与BC垂直，已知垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？，那么图中阴影部分面积是多少？ E A B C D E A B C D O E A B C D O 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答 【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看 作辅助线BO，则图形关于BO对称，有 ADOCEO SS ， DBOEBO SS ，且:4:62:3 ADODBO SS 设ADO的面积为2份，则DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份 因为6 10230 ABE S ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415 解法二：连接DE、AC由于4ADEC，6BDBE，所以DEAC，根据相似三角形性质， 可知:6:103:5DE ACBD BA， 根据梯形蝴蝶定理， 22 :3 : 3 5 : 3 5 :59:15:15:25 DOEDOACOECOA SSSS ， 所以 :1515 : 915152515:32 ADEC SS 阴影梯形 ，即 15 32 ADEC SS 阴影梯形 ； 又 11 10 1066=32 22 ADEC S 梯形 ，所以 15 15 32 ADEC SS 阴影梯形 【答案】15 【例【例13】如图，四边形】如图，四边形ABCD和和EFGH都是平行四边形，四边形都是平行四边形，四边形ABCD的面积是的面积是16，:3:1BG GC ，则四 边形 ，则四 边形EFGH的面积的面积_ H G F ED CB A 【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空 【关键词】华杯赛，精英邀请赛 【解析】因为FGHE为平行四边形，所以/ /ECAG，所以AGCE为平行四边形 :3:1BG GC ，那么:1:4GC BC ，所以 11 164 44 AGCEABCD SS 又AEGC，所以:1:3AE BGGC BG，根据沙漏模型， :3:1FG AFBG AE，所以 33 43 44 FGHEAGCE SS 【答案】3 【例【例14】已知三角形】已知三角形ABC的面积为的面积为a，:2:1AF FC，E是是BD的中点，且的中点，。
