基本不等式专题基本不等式专题 一、知识点总结一、知识点总结 1、基本不等式原始形式1、基本不等式原始形式 （1）若，则 Rba,abba2 22 （2）若，则Rba, 2 22 ba ab 2、基本不等式一般形式（均值不等式）2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则 * ,Rbaabba2 3、基本不等式的两个重要变形3、基本不等式的两个重要变形 （1）若，则 * ,Rbaab ba 2 （2）若，则 * ,Rba 2 2 ba ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明 ： 以上不等式中， 当且仅当时取 “=”特别说明 ： 以上不等式中， 当且仅当时取 “=”ba 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论5、常用结论 （1）若，则 (当且仅当时取“=” ）0 x 1 2x x 1x （2） 若， 则 (当且仅当时取0 x 1 2x x 1x “=” ） （3） 若， 则 (当且仅当时取 “=” ）0ab 2 a b b a ba （4）若，则Rba, 2 ) 2 ( 22 2 baba ab （5）若，则 * ,Rba 22 11 1 22 baba ab ba 特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”ba 6、柯西不等式 6、柯西不等式 （1） 若， 则, , ,a b c dR 22222 ()()()abcdacbd （2）若，则有： 123123 ,,,,,a a a b b bR 2222222 1231 1231 1223 3 ()()()aaabbbaba ba b （3）设是两组实数，则有 1212 ,,,,,, nn a aabb与b 222 12 ( n aaa) 222 12 ) n bbb( 2 1 122 () nn aba ba b 二、题型分析二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设均为正数，证明不等式:ba,ab ba 11 2 2、 已 知为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：cba,, cabcabcba 222 3、已知，求证：1abc 222 1 3 abc 4、 已 知， 且， 求 证 ：, ,a b cR1abc abccba8)1)(1)(1 ( 5、 已 知， 且， 求 证 ：, ,a b cR1abc 111 1118 abc 6、（2013 年新课标卷数学（理）选修 45：不等式选 讲 设, , , ,a a b b c c均为正数,且1 1a ab bc c ,证明: () 1 1 3 3 a ab bb bc cc ca a ; () 2 22 22 2 1 1 a ab bc c b bc ca a . 7、（2013 年江苏卷（数学）选修 45：不等式选讲 已知，求证:0 babaabba 2233 22 题型二：利用不等式求函数值域题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域1、求下列函数的值域 （1） （2） 2 2 2 1 3 x xy)4(xxy （3） （4）)0( 1 x x xy)0( 1 x x xy 题型三：利用不等式求最值 （一） （凑项）题型三：利用不等式求最值 （一） （凑项） 1、已知，求函数的最小值；2x 42 4 42 x xy 变式 1：已知，求函数的最小值；2x 42 4 2 x xy 变式 2：已知，求函数的最大值；2x 42 4 2 x xy 练习 ： 1、已知，求函数的最小值 ； 5 4 x 1 42 45 yx x 2、已知，求函数的最大值； 5 4 x 1 42 45 yx x 题型四：利用不等式求最值 （二） （凑系数）题型四：利用不等式求最值 （二） （凑系数） 1、当时，求的最大值；(82 )yxx 变式 1：当时，求的最大值；4 (82 )yxx 变式 2： 设，求函数的最大值。
2 3 0 x)23(4xxy 2、若，求的最大值；02xyxx()63 变式变式：若，求的最大值；40 x)28(xxy 3、求函数的最大值；) 2 5 2 1 (2512xxxy （提示：平方，利用基本不等式） 变式：变式：求函数的最大值； ) 4 11 4 3 (41134xxxy 题型五：巧用“1”的代换求最值问题题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知，求的最小值；12, 0,babat ab 11 法一：法一： 法二：法二： 变式 1变式 1： 已知， 求的最小值 ；22, 0,babat ab 11 变式 2变式 2：已知，求的最小值； 28 ,0,1x y xy xy 变式 3变式 3： 已知， 且， 求的最小值0,yx 11 9 xy xy 变式 4变式 4： 已知，且，求的最小值 ；0,yx 19 4 xy xy 变式 5：变式 5： （1）若且，求的最小值；0,yx12 yx 11 xy （2）若且，求的最小值 ； Ryxba,,, 1 y b x a yx 变式 6：变式 6：已知正项等比数列满足：，若 n a 567 2aaa 存在两项， 使得， 求的最小值 ； nm aa , 1 4aaa nm nm 41 题型六：分离换元法求最值（了解）题型六：分离换元法求最值（了解） 1、求函数的值域；) 1( 1 107 2 x x xx y 变式：变式：求函数的值域；) 1( 1 8 2 x x x y 2、求函数的最大值；（提示：换元法） 52 2 x x y 变式：变式：求函数的最大值； 94 1 x x y 题型七：基本不等式的综合应用题型七：基本不等式的综合应用 1、已知，求的最小值1loglog 22 ba ba 93 2、 （2009 天津）已知，求的最小值 ；0,ba ab ba 2 11 变式变式 1：：（2010 四川）如果，求关于的表0 baba, 达式的最小值； )( 11 2 baaab a 变式变式 2：：（2012 湖北武汉诊断）已知，当时，1, 0aa 函数的图像恒过定点，若点在直1) 1(logxy a AA 线上，求的最小值；0nymx nm 24 3、已知，，求最小值；0,yx822xyyxyx2 变式变式 1：：已知，满足，求范围；0,ba3baabab 变式变式 2： （： （2010 山东）山东） 已知，，0,yx 3 1 2 1 2 1 yx 求最大值；（提示：通分或三角换元）xy 变式变式 3：（：（2011 浙江）浙江）已知，，0,yx1 22 xyyx 求最大值；xy 4、（ 2013 年 山 东 （ 理 ））设 正 实 数满 足zyx,, ,则 当取 得 最 大 值 时 ,043 22 zyxyx z xy 的最大值为（ ）（） zyx 212 A B C D01 4 9 3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值） 变式：变式：设是正数，满足，求的zyx,,032zyx xz y2 最小值； 题型八：利用基本不等式求参数范围题型八：利用基本不等式求参数范围 1、 （2012 沈阳检测） 已知， 且0,yx9) 1 )(( y a x yx 恒成立，求正实数的最小值；a 2、已知且恒成立，0zyx zx n zyyx 11 如果，求的最大值；（参考：4） Nnn （提示：分离参数，换元法） 变式：变式：已知满则，若恒成立，0,ba2 41 ba cba 求的取值范围；c 题型九：利用柯西不等式求最值题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 1、二维柯西不等式 ),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba 若，则, , ,a b c dR 22222 ()()()abcdacbd 2、二维形式的柯西不等式的变式2、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba 2222 ) 1 ( ),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba bdacdcba 2222 )2( ),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a Rdcba 2 )())()(3(bdacdcba ),0,,,(时等号成立；即当且仅当bcad d b c a dcba 3、二维形式的柯西不等式的向量形式3、二维形式的柯西不等式的向量形式 ),,, 0(等号成立时使或存在实数当且仅当 kak 4、三维柯西不等式4、三维柯西不等式 若，则有： 123123 ,,,,,a a a b b bR 2222222 1231 1231 1223 3 ()()()aaabbbaba ba b ),,( 3 3 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 b a b a b a Rba ii 5、一般维柯西不等式5、一般维柯西不等式n 设是两组实数，则有: 1212 ,,,,,, nn a aabb与b 222 12 ( n aaa) 222 12 ) n bbb( 2 1 122 () nn aba ba b ),,( 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 n n ii b a b a b a Rba 题型分析题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设，若，则的, ,x y zR 222 4xyzzyx22 最小值为时， ),,(zyx 析：2)2(1)()22( 2222222 zyxzyx 3694 最小值为zyx22 6 此时 3 2 2)2(1 6 221 222 zyx ，， 3 2 x 3 4 y 3 4 z 2、设，，求的最, ,x y zR226xyz 222 xyz 小值，并求此时之值。
m, ,x y z ：Ans) 3 4 , 3 2 , 3 4 (),,( ; 4zyxm 3、 设，， 求, ,x y zR332zyx 222 ) 1(zyx 之最小值为 ，此时 y （析：）0) 1(32332zyxzyx 4、（2013 年湖南卷（理） ）已知, ,,236,a b cabc 则的最小值是 () 222 49abc12:Ans 5、 （ 2013 年 湖 北 卷 （ 理 ） ）设,且 满 足 :, ,x y zR ,,求的值； 222 1xyz2314xyzzyx 6、求 的最大值与coscossincos3sin2 最小值 （：最大值为，最小值为 ）Ans2222 析 ： 令 (2sin，cos， cos)， (1， sin， cos) a3 b 。