直线与圆相交弦长问题

一、 知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d | Aa+Bb+C|—VA2+B2 寸［Ax+By+C=0性质2：由］x-a 2+ y-b 2 = r2消元得到一元二次方程的判别式△ >0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心 距为d,半径为r,弦长为|AB|，则有(^1-^^2+ d2 = r2,二、 典例练习［例］已知圆的方程为X2 + y2 = 8，圆内有一点P(-1,2)，AB为过点P且倾斜角为a的弦.(1)当a =135°时，求AB的长；⑵当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程.解析：法一： 3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2源，求 圆C的方程.解析：…一 ［练习已知某圆圆心在乂轴上，半径长为5,且截 y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.解析：…一 法二;图2三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1,直线l与圆C交于A，B两 点，设弦心距为d，圆的半径为r， 弦长为|AB|,则有［手|2+d2= r2,即 | AB|=2、Jr2 — d2.(2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设 直线与圆的两交点分别是A(x , y ), B(x , y ),则|AB|1 1 2 2=寸'1一乂2y —y2 =、.,； 1+k2|'1一、2顼+||y1—y2|(直线l的斜率k存在).为¥2|=司'国|.由半径、弦心距、半弦长的关系二、直线与圆相交弦长问题一、 知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d | Aa+Bb+C|—-.《A2+B2 —'［Ax+By+C=0性质2：由］ | K 消元得x—a 2+ y—b 2 = r2到一元二次方程的判别式△ >0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心 距为d,半径为r,弦长为|AB|，则有^=\ 1 + 1 ［ x1+x2 2—4x1x2］ ='30.^1^2+ d2 = r2,二、 典例与练习［例］已知圆的方程为X2 + y2 = 8，圆内有一点 P( — 1,2)，AB为过点P且倾斜角为a的弦.(1) 当a =135°时，求AB的长；⑵当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程. ［解］(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作 OC ± AB.由已知条件得直线的斜率为 k = tan 135°= — 1，.L直线AB的方程为y—2= — (x+1)， 即 x+y—1 = 0. \,圆心为(0,0)， .•・|OC| =^^=f •..r=2也 •'•|BC|="\J'8-〔斜=琴，••• |AB|=2|BC|=m：30.法二：(代数法)当a =135。

时，直线AB的方程 为 y—2= — (x+1)，即 y=—x+1，代入 x2+y2 =8，一 . 7得 如图，当弦AB被点P平分时，OPLAB， -J|AC|2—|AO|2=寸52—42=3.设点C坐标 ■为(a, 0)，则 |OC| = |a|=3， .：...a=±3..・.所求圆的方程为(x+ 3%+y2 = 25，或(x—3)2+y2 = 25.法二：由题意设所求圆的方程为(x—a)2 + y2=25.幻一於一7 = °..・.％危2=1，罕2=—2，• |AB| =''1+k2|x1 — x2|1•kOP=—2，-kAB=2，•.直线AB的方程为y—2=«（x+乙1），即 x—2y+5 = 0.［练习已知圆C和y轴相切，圆心在直线x—3y =0上，且被直线y=x截得的弦长为2顼7,求圆 C的方程.解：设圆心坐标为(3m，m). 圆C和y轴相切， 得圆的半径为3|m|，.•.圆心到直线y=x的距离得9m2=7 + 2m2，.・.m=±1，.•・所求圆C的方程为 (x—3)2+ (y—1)2 = 9 或(x+3 •圆截y轴线段长为8，.・・圆过点A(0,4) .代入 方程得a2+16 = 25, .a=±3..所求圆的方程为 (x+3%+y2=25，或(x—3)2 + y2=25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1,直线l与圆C ■ f / 交于A, B两点，设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|+ (y+1)2=9.［练习已知某圆圆心在乂轴上，半径长为5,且截 y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.［解］法一：如图所示，由题设|AC|=r=5, |AB|=8， |AO | =4.在 Rt △ AOC 中，|OC| =AB|,则有［^B|)2+d2=r2即 |AB|=2'jr2 — d2.（2）代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆 ’的两交点分别是A（x1，y1），B（x2,虱呵攵 y2）,则 |AB|= ':x1—x22+ y1 — y22=^1+k21 x1—x21 =\^1+£|* 一尸2|（直线l的斜率k存在）.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配 合！。