函数推理题综述210008 江苏省南京外国语学校 李平龙函数是中学数学的核心内容，是连接高等数学的桥梁与纽带由于函数推理题着重考查考生的逻辑思维能力和抽象概括能力，因此已成为高考命题改革的新热点；函数推理本质上属于演绎推理，这种推理方式在高等数学中被大量采用，颇受高考命题专家的青睐；由于函数推理题具有题型的新颖性、内容的综合性、解法的灵活性、思维的抽象性，使其不可避免地成为教与学的难点本文就此种推理题的常见类型及其相应的思维策略综述于下，供参考1 关于具体函数的推理已给出函数解析式的函数推理问题，常体现为多种基本初等函数的复合与迭加，因此在对具体函数进行推理时，务必充分利用“非知识型的结论”提高思维的深远度，对能作出草图的函数应注意借助于函数的图象增强问题的直观性达到捕捉解题信息之目的，但在推理过程中务必协调好“直觉”与“逻辑”间的关系1．1 关于指对数函数的推理例1 设函数（1）判断该函数的单调性，并加以证明；（2）已知该函数的反函数为，问函数的图象与x轴是否有交点？若有交点，求出交点的坐标；若无交点，说明理由分析：题中函数是由一次分式函数先与对数函数复合，再与一次分式函数迭加而生成的，因此关于函数单调性的“同增异减法则”便成为我们发现结论的重要手段：因与在函数的定义域内均为减函数，故在其定义域内也是减函数，将此“跳跃式”的发现过程“逻辑化”后便可产生题（1）的简捷证明；由于难以求出题（2）中反函数的解析式，因此利用互反函数的图象关于直线y=x对称进行“正逆”间的转换，便是推理论证的必由之路。
证明：（1）当时，∵，，∴，，从而，故在其定义域上是增函数2）∵，∴，这说明反函数的图象与x轴有交点，且交点坐标为评注：若用单调函数的定义直接作差探索，则极易在繁杂的数式变形中迷失方向；而靠直觉导航，既避免了盲目作差，又增强了推理的有效性，且证题过程中逻辑的作用只不过是履行手续而已数学解证题中看出结论的能力是数学素质高低的重要表现若改变本例结论的呈现方式：求证存在反函数或求证图象上任意相异两点连线的斜率小于零或探索图象上是否存在相异两点使其连线平行于x轴，则问题的本质并未改变例2 函数，正数a、b满足分析：函数的图象是函数知识的源头活水，从图象出发有助于捕捉推理信息、发现推理方向作出函数的图象后（图略），便可发现重要信息：，利用对数函数的单调性即可证明该信息然而，它却帮助我们顺利地渡过推理难关——去掉绝对值符号证明：由进而有，再一次由去掉绝对值符号得，即，，又∵，∴，解此不等式并结合可推出评注：在函数推理中，函数的图象可助你思考，帮你捕捉有益的信息，但它不能代替“数”上的演绎推理，即形上的信息必须经过严密的证明方可运用读者可补上的证明1．2 关于的推理函数由基本初等函数正比例函数与反比例函数迭加而生成的，研究其图象、性质及其应用，无疑是课本知识的自然延伸。
当时，其图象如右图所示，它是以直线为渐近线的奇函数，在时有最小值，单调递增区间是、，单调递减区间是、涉及函数应用的推理题主要有，解证不等式、函数观点下方程与不等式解的探索、函数在区间上的最值及与此相关的恒不等式问题，但应用最为广泛的应属该函数的单调性，它在协调应用和积不等式求该类函数的最值“失灵”时具有独特的功能例3 已知函数为奇函数，且不等式的解集是1）求；（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）由奇函数对定义域内一切自变量x都成立，知b=0（注：若从f（0）=0出发，则得b=0；此举既非等价转换，又难以保证f（x）对0有定义，当属思维肤浅之表现）若从出发得或，再去求不等式组的解集，则必然导致繁冗的分类讨论而抓住不等式的解集是进行赋值推理（属非等价转化），则有，即，得这一信息有效地避免了分类讨论，再行等价转化便较为简捷由知，故（Ⅰ）或（Ⅱ）由题意知，不等式组（Ⅰ）的解集必为[2，4]，不等式组（Ⅱ）的解集必为[，不难求得a=2综上知，a=2，b=0，2）由（1）知，它在上是增函数，而，所以的值域为，而，故使不等式恒成立的m不存在。
评注：诸多函数应用性问题建模后常转化为研究函数的性质，如1997年高考的运输成本问题对涉及函数的客观性试题，由于不需解题过程，因此，抓住前述非“知识”性的结论、尤其是图象，常可直接发现结论；而对主观性试题，若能抓住它的图象，则常可使我们高瞻远瞩地看出结论，有利于对问题进行整体把握，解题者只要协调好直观与逻辑的关系，例行公事地补充必要的推理或证明，便可使问题获解1．3 关于二次函数的推理二次函数是重要的基本初等函数，是初高中内容衔接的典范，以此为载体的推理题主要体现为最值及实根分布等两类问题例4 已知二次函数，对于任意且，求证：方程=有不等的两实根，且必有一实根属于区间分析 此为以二次函数为载体，研究二次方程根的分布的推理题，体现了函数、方程和不等式的交汇，其解题的入口仍为证明判别式大于零，在此巧妙地利用值域，可使证题过程简捷证明 原方程可化为=0，其判别式⊿=∵，∴，，又，∴，∴ ，即⊿故方程有两相异实根∵ ，∴方程必有一实根属于区间评注：若将的代数式代入原方程，则极易在繁杂的代数变形中致误；而利用二次函数的值域产生的不等关系进行论证则较为轻松本例的后半部分证明已经利用了二次方程实根分布的有关重要结论。
例5 已知函数，方程的两个实根都在区间[0，1]内1）求证：；（2）求证：；（3）若方程有一个根为，且函数在区间[0，1]上的最大值为M，求证：证明：（1）设方程的两个实根分别为，则，由韦达定理知2）设，则3）不妨设当时，；当时，综上所述，评注：涉及二次函数在闭区间上最值的推理题，关键在于把握对称轴与区间的相对位置关系，作好分类讨论工作本例通过转换二次函数的解析表达式产生了较为简捷的证法，而其它证明方法均较繁冗，读者不妨试之例6 已知函数若，在上的最大值为2、最小值为，求证：且分析 本例实质上是证明二次项系数不为零且二次函数的对称轴不能从区间的端点及两侧穿过可见，结论是以否定的形式给出的，若硬行从正面突破，则必然产生繁冗的分类讨论，而从反面思考既符合逻辑要求又使证法自然、简捷证明 假设则，由题意知，，故，矛盾，所以；假设，由二次函数的对称轴为，知在上为单调函数，其最值必在区间的端点处取得当或时，据知且，矛盾，所以评注：当命题的结论含有至少、至多、必有、存在、不可能等要求，或以否定的形式呈现结论，或从正面出发不易构造或推理时，此时宜尝试采用反证法进行推理2 关于抽象函数的推理在函数的推理与分析中，常见未给出函数解析式、仅给出函数恒等式或函数方程的一类抽象函数问题。
由于问题条件与结论所呈现的都是抽象函数的有关性质，因此很难像具体函数推理问题那样去寻求信息、布置解题方案本着化抽象为具体，在思维活动中若能先寻找出一个满足抽象函数性质的相应的具体模型（如下表所示），并展开联想、猜测隐藏在抽象函数内部的重要信息，再行赋值推理，常使用问题化难为易抽象函数初等模型f（x+y）=f（x）+f（y）-b一次函数Y=ax+bf（m-x）=f（m+x）二次函数f（x+y）=f（x）f（y）指数函数f（xy）=f（x）+f（y）对数函数f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）[或f（x）+f（y）]三角函数y=cosx例7 已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x）+f（y）①，f（0），且存在非零常数c使f（c）=01）求f（0）的值；（2）讨论函数f（x）的奇偶性；（3）求证：f（x）是周期函数分析：由满足条件的一个模型函数是y=cosx，联想知f（0）=1，且f（x）是偶函数又因=0，且y=cosx的一个周期是，故理应猜测f（x）是以4c为周期的周期函数解：（1）令x=y=0，代入①式得，2f（0）=2[f（0）]2，又f（0），故f（0）=1；（2）令y=-x，代入①式得，f（x）+f（-x）=2 f（0）f（x），∴f（-x）=f（x），即原函数为偶函数。
3）∵f（2c+x）+f（x），∴f（2c+x）=-f（x），∴f（4c+x）= -f（2c+x）=f（x），从而f（x）是以4c为周期的周期函数评注：从特殊走向一般、具体走向抽象，是数学学习与研究的必由之路在本例条件下经联想与猜测还可证明：f（2c）=-1；或抽象函数的模型化思考方法，可助你捕捉有益的解题信息，帮你拟定合理的解题计划；值得注意的是，在解题的过程中切不可用满足题中抽象函数的一个模型去代替演绎推理，那样就犯了“以偏概全、以特殊代替一般、具体代替抽象”的逻辑错误此外，以多种具体函数作为模型的抽象函数推理题已在2001年高考压轴题中出现．因此，平时教学中对抽象函数的分析与推理应予以高度重视3 关于函数图象的对称性常用结论1：方程的曲线函数的图象常用结论2：关于原点对称的充要条件是：；关于y轴对称的充要条件是：；关于直线y=x对称的充要条件是：；关于直线x=m对称的充要条件是：；关于点（m，n）对称的充要条件是： 评注：产生上述结论的思维过程与思维方式是我们进行对称性推理的依据，因此务必把握上述结论的证明方法例8 已知函数f（x）是定义在实数集R上的增函数，记F（x）= f（x）- f（k-x）。
求证：y=F（x）的图象关于点A（a，0）对称的充要条件是k=2a证明：先证必要性：∵y=F（x）的图象关于点A（a，0）对称，∴y=F（x）的图象上任一点关于点A（a，0）对称的对称点也在y=F（x）的图象上∴，即，又，∴，即若，则，又f（x）是定义在实数集R上的增函数，∴，∴矛盾，故不成立；同理可证也不成立充分性的证明留给读者完成评注：若在“方程的曲线”与“函数的图象”间进行合理的交汇，视函数的解析式为曲线的方程、函数的图象为方程的曲线，则所有关于函数图象的变换问题均可转化为方程的曲线的求解问题，这样关于函数对称性的演绎推理题便可相应在转化成平面解析几何中曲线轨迹方程的求解问题，进而既将“演绎法”转化为“坐标法”，又有效地降低也抽象思维的难度如运用坐标法证明函数的图象C1关于函数的图象C2关于点或直线对称，只需求出曲线C1关于点或直线对称的曲线的方程，再证明曲线与 C2的方程相同便可4 巩固练习练习1 已知函数是否存在实数a使该函数在区间（0，2]上为减函数，且在区间[2，上为增函数若存在，求a的值；若不存在，请说明理由答：存在a=16）练习2 函数，a、b满足1）求证：；（2）在（1）的条件下，若，求证：。
提示仿例2）练习3 已知函数是奇函数；当时，f（x）有最小值2设当点P（x，y）是函数图象上的点时，点Q（是函数图象上的点1）求证：；（2）求函数的表达式；（3）若在区间[上函数为减函数，求证：d练习4 设函数，1）求函数的最小值及其相应的自变量的值；（2）问函数的图象是否关于直线对称；（3）设的图象为C1，C1关于直线的对称图象为C2，C2的解析式为y=g（x），试比较与g（x）的大小答：（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，）练习5 设α、β是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的两个实根若|α|<1、|β|<1，求证：|a|>|c|且|b|