九年级上册,RJ,初中数学,22.1.3,二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象和性质,二次函数的图象和性质,说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：,(,1),y,=,ax,2,(,2),y,=,ax,2,+,k,(,3),y,=,a,(,x,-,h,),2,y,x,O,x,y,O,y,x,O,y,x,O,知识回顾,y,x,O,y,x,O,y,x,O,y,x,O,y,x,O,y,x,O,1.,会用描点法画出,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),的图象,.,2.,掌握二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),的图象和性质并会应用,.,3.,理解二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),与,y,=,ax,2,(,a,0),之间的联系,.,学习目标,二次函数图象可以互相平移得到,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,k,y,=,a,(,x,-,h,),2,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,课堂导入,左右平移,上下平移,画出函数,y,=-,(,x,+1),2,-1,的图象,.,指出它的开口方向、,对称轴和顶点,.,先列表,知识点,1,新知探究,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-5.5,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,再描点、连线：,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,直线,x,=-1,开口方向向下；对称轴是直线,x,=-1,；顶点坐标是,(-1,，,-1).,y,=-,(,x,+1),2,-1,向左平移,1,个单位长度,怎样移动抛物线,y,=-,x,2,可以得到抛物线,y,=-,(,x,+1),2,-1,？,平移方法,1,向下平移,1,个单位长度,y,=-,x,2,y,=-,x,2,-1,y,=-,(,x,+1),2,-1,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y,=-,(,x,+1),2,-1,平移方法,2,向左平移,1,个单位长度,向下平移,1,个单位长度,怎样移动抛物线,y,=-,x,2,可以得到抛物线,y,=-,(,x,+1),2,-1,？,y,=-,x,2,y,=-,(,x,+1),2,y,=-,(,x,+1),2,-1,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y,=-,(,x,+1),2,-1,二次函数,y,=,ax,2,与,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,图象间的关系,可以互相平移得到：,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,k,y,=,a,(,x,-,h,),2,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,函数平移有规律，左加右减自变量，上加下减常数项,.,y,=,a,(,x-h,),2,+,k,a,0,a,0,开口方向,对称轴,顶点坐标,最值,增减性,向上,向下,直线,x=h,（,h,，,k,）,当,x,=,h,时，,y,最小值,=,k.,当,x,=,h,时，,y,最大值,=,k.,当,x,h,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,h,时，,y,随,x,的增大而增大,.,当,x,h,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,h,时，,y,随,x,的增大而增大,.,从,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),中可以直接看出抛物线的顶点坐标是,(,h,，,k,),，所以通常把它称为二次函数的,顶点式,.,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,a,h,决定增减性,h,k,决定顶点坐标,a,决定开口方向和大小,h,决定对称轴,k,决定最值,二次函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y,=2(,x,+3),2,+5,向上,(1,-2),向下,向下,(3,7),(2,-6),向上,直线,x,=-3,直线,x,=1,直线,x,=3,直线,x,=2,(-3,5),y,=,3(,x,1),2,2,y,=4(,x,3),2,7,y,=,5(2,x,),2,6,1.,完成下列表格,:,跟踪训练,新知探究,2.,对于抛物线,y,=,(,x,+2),2,+3,，给出下列结论：抛物线,y,=,(,x,+2),2,+3,可由抛物线,y,=,x,2,先向左平移,2,个单位长度，再向上平移,3,个单位长度得到；对称轴为直线,x,=2,；顶点坐标为,(-2,，,3),；当,x,-2,时，,y,随,x,的增大而增大,.,其中正确结论的个数为,(),C,A.1 B.2 C.3 D.4,例题精讲,例,1,已知抛物线的顶点为,(,-1,，,2,),且过原点，,求抛物线的,函数,解析式,.,解：因为抛物线的顶点为,(-1,，,2),，,所以可设抛物线的函数解析式为,y,=,a,(,x,+1),2,+2.,又因为抛物线过,(,0，0),所以,0=,a,(0+1),2,+2,解得,a,=-2,所以抛物线的函数解析式为,y,=,-2(,x,+1),2,+2.,想一想：上述问题可以抽象成什么数学问题呢？,例,2,要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为,1 m,处达到最高，高度为,3 m,，水柱落地处离池中心,3 m,，水管应多长？,O,A,3,1,B,C,3,？,O,A,3,1,B,C,(3,0),(1,3),y,x,解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为,x,轴，水管所在直线为,y,轴，建立直角坐标系,因为这段抛物线的顶点,B,的坐标为,(1,，,3),，,故可设这段抛物线对应的函数解析式是,y,a,(,x,-1),2,+3(0,x,3),又因为落地点,C,的坐标为,(3,，,0),，,解得,a,=-,.,所以抛物线的解析式为,y,=-,(,x,-1),2,+,3.,所以有,0,a,(3-1),2,+3,，,当,x,=,0,时，,y,2.25,即水管长,2.25,米,.,O,A,3,1,B,C,y,x,方法一,O,A,3,-2,B,C,y,x,方法二,O,A,3,2,B,C,y,x,方法三,想一想：除了上述这种建坐标系的方法外，还有别的建坐标系的方法吗？,1.,把抛物线,y,=-3,x,2,先向上平移,2,个单位长度，再向右平移,1,个单位长度，那么所得抛物线是,_.,y,=-3(,x,-1),2,+2,随堂练习,注意：二次函数图象的平移是“左加右减”，且改变的是自变量,.,2.,下列关于二次函数,y,-2(,x,-,2),2,1,图象的叙述,其中错误的是,(,),A,开口向下,B,对称轴是直线,x,2,C,此函数有最小值是,1,D,当,x,2,时，,y,随,x,的,增大而减小,C,3,二次函数,y,2,(,x,2,),2,1,的图象是,(,),C,A B C D,二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象和性质,图象,特点,当,a,0,时，开口向上；,当,a,0,时，开口向下,.,对称轴是,x,=,h,.,顶点坐标是（,h,k,).,平移,规律,左右平移：括号内左加右减；,上下平移：括号外上加下减,.,课堂小结,思想方法,：,转化思想，模,型,思想，数形结合,.,利用二次函数解决实际问题,基本流程：,1.将抛物线,y,x,2,1先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是,.,y,(,x,2),2,-2,对接中考,2.,已知二次函数,y,=(,x,-,m,),2,+2,，当,x,3,时，,y,随,x,的增大而减小，则,m,的取值范围是,.,m,3,解：二次函数,y,=(,x,-,m,),2,+2,的图象的对称轴为直线,x,=,m,，,而抛物线开口向上，,所以当,x,m,时，,y,随,x,的增大而减小,.,又因为当,x,3,时，,y,随,x,的增大而减小，,所以,m,3,3.,当,-2,x,1,时，二次函数,y,=-(,x,-,m,),2,+,m,2,+1,有最大值,4,，则实数,m,的值为,(),解：二次函数,的图象,对称轴为直线,x,=,m,，,A.-,B.3,或,-,C.2,或,-,D.2,或,或,-,若,m,-2，,则,x,=-2,时,取得最大值，-,(,-2-,m,),2,+,m,2,+1=4，,解得,m,=-,，,与,m,-2,矛盾，,舍去；,若,-2,m,1，,则,x,=,m,时,取得最大值，,m,2,+1=4，,解得,m,=,，,因为,m,=,不满足-2,m,1的范围，,所以,m,=-,；,3.,当,-2,x,1,时，二次函数,y,=-(,x,-,m,),2,+,m,2,+1,有最大值,4,，则实数,m,的值为,(),若,m,1，,则,x,=1,时,取得最大值，-,(,1-,m,),2,+,m,2,+1=4，解得,m,=2,综上所述，,m,=2或-,时，二次函数有最大值4,C,A.-,B.3,或,-,C.2,或,-,D.2,或,或,-,。