留数留数计算方法计算方法孤立奇点孤立奇点对数留数对数留数留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用辐辐角角原原理理路路西西原原理理Ch6 留数理论及其应用留数理论及其应用 Ch6 留数理论及其应用留数理论及其应用这一章是第三章柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数及罗朗级数都是研究解析函数的有力工具 第三章的柯西积分公式描述了解析函数在围线内部点处的值，可以用它在围线上的值所确定的积分来表示，反过来，通过计算解析函数的值来代替围线上积分的计算就是残数定理的思想，因此残数定理可以看作是柯西积分公式在积分计算的应用上的延伸 引入残数的主要目的是用于计算积分另外，应用残数理论还可以考察区域内函数的零点分布状况 §1 留留 数数1.留数定义留数定义 设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域邻域内包含邻域内包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线留数的引入 0(高阶导数公式高阶导数公式)0 (柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理) 定义定义6.1 记作记作的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以如果如果留数留数 说明说明:2. 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.定理定理6.1. 在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末立奇点立奇点函数函数利用留数求积分柯西留数定理柯西留数定理 证证[证毕证毕]两边同时除以两边同时除以 且且...如图如图 (1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末•规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, (3) 如果如果为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将2.留数留数的求法COR 6.3 如果如果 为为 的的 级极点级极点, •规则规则2 2证证那末那末TH 6.2 +(含有含有 正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数, [证毕证毕]得得 •规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，证证的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点, 且有且有TH 6.5 解析且解析且在在因此因此其中其中 在在 解析且解析且为为 的一级极点的一级极点, 例例6.2 求求 。
解解 以 为一级极点， 于是 .4 3.在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向说明说明记作记作 定义定义 6.2 设函数设函数在圆环域在圆环域内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， .......证证由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在 定理定理6.6如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.[证毕证毕] 说明说明: 由定理得由定理得(留数定理留数定理)计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点: 使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数) 在无穷远点处留数的计算•规则规则4 4说明说明: 定理二和规则定理二和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单. 现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周 :于是有于是有证证 内除内除在在外无其他奇点外无其他奇点 .[证毕证毕] 思考思考: 若若z=∞是是f (z)的可去奇点的可去奇点, 则则 f (z)在在z=∞ 的留数是否的留数是否 为为0 ? 6.6 典型例题例例1 求求在在的留数的留数.解解 例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则3得得计算较麻烦计算较麻烦.典型例题 如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求较方便较方便:解解典型例题 说明说明: 如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数 .2. 在应用规则在应用规则2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取典型例题 例例3 求求在在的留数的留数.解解 是是的四级极点的四级极点.在在内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:典型例题 例例4 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,典型例题 典型例题 例例5 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部, 除除点外没有点外没有其他奇点其他奇点. 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4: 典型例题 与以下解法作比较与以下解法作比较 :被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部 , 所以所以由规则由规则3 典型例题可见可见, 利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单. 例例6 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周 :解解 除除被积函数被积函数点外点外, 其他奇点为其他奇点为典型例题 由于由于与与 1在在C的内部的内部, 则则所以所以 思考题思考题 思考题答案思考题答案 留数留数计算方法计算方法孤立奇点孤立奇点对数留数对数留数留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用辐辐角角原原理理路路西西原原理理 §1 留数留数 习题习题P2691 (1) (2) (5) (6)2 (1) (4)3 (3) (4) 一、形如 的积分 二、形如 的积分三、形如 的积分四、小结与思考§2 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用 1、 形如 的积分思想方法思想方法 :封闭路线的积分封闭路线的积分 .两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条 形如当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周 z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. 例例6.8 计算积分计算积分解解则则 例例 计算计算解解 令令 极点为极点为 :(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外) 思考题思考题 思考题答案思考题答案 例例6.7 解解 故故积分有意义积分有意义. 因此因此 例例6.9 例例6.10 若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可 .2. 形如 的积分 2. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可可取取 f(z)=R(z) . xy..这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内都包在这积分路线内. 根据留数定理得根据留数定理得 :当当 充分大时充分大时, 总可使总可使 例例 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点 例例6.11 xy..积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(z)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.与与曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内包在这积分路线内 .同前一型同前一型: 补线补线一起构成封闭一起构成封闭都都3. 形如 的积分 对于充分大的对于充分大的 , 且且 时时, 有有 从而从而 由留数定理由留数定理: 定理定理6.8 6.8 设如果 (1) (2) Q(x)在实轴上不等于0，则 例例6.13 例例 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又 注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点. 4.4.计算积分路径上有奇点的积分计算积分路径上有奇点的积分 引理引理6. 36. 3 设f (z)在Cr上连续，Cr： 且在Cr上 ，则 例例6.15 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点, 所以可取图示路线所以可取图示路线: 解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由 当当 充分小时充分小时, 总有总有 即即 例例6.16证证 如图路径，如图路径， 令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅菲涅耳耳(fresnel)积分积分 定理定理6.2.36.2.3 留数留数计算方法计算方法孤立奇点孤立奇点对数留数对数留数留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用辐辐角角原原理理路路西西原原理理 定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分:说明说明:1) 对数留数即函数对数留数即函数 f(z)的对数的导数的对数的导数在在C内孤立奇点处的留数的代数和内孤立奇点处的留数的代数和;2) 函数函数 f(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是的奇点的奇点.§3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用1.对数留数对数留数 定理定理6.9内零点的总个数内零点的总个数, P为为 f(z)在在C内极点的总个数内极点的总个数.其中其中, N为为 f(z)在在C且且C取正向取正向. 注意注意: m级的零点或极点算作级的零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点. 证证 [证毕证毕]由由以上所述和留数定理，得以上所述和留数定理，得 例例 求求 。
解解 例例 求求 解法二解法二令 ，则 为 的一级零点, .不一定为简单闭曲线不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原其可按正向或负向绕原点若干圈点若干圈. 对数留数的几何意义对数留数的几何意义2.辐角原理辐角原理 单值函数单值函数等于零等于零 结论结论:(k总为整数总为整数)对数留数的对数留数的几何意义几何意义是是 绕原点的绕原点的回转次数回转次数k 由由定理定理6.9及对数留数的几何意义得及对数留数的几何意义得可计算可计算f(z)在在C内零点的个数内零点的个数此结果称为辐角原理此结果称为辐角原理 定理定理 (辐角原理辐角原理)如果如果 f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C上与上与C内解析内解析, 且在且在C上不等于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在C内零点的个数内零点的个数等于等于乘以当乘以当z沿沿C的正向绕行一周的正向绕行一周 f(z)的的辐角的改变量辐角的改变量. 辐角原理辐角原理证（大意）根据定理证（大意）根据定理6.9 例例6.21 ,试验证辐角原理。
证证 故辐角原理成立例例 注注: : 2)辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别地,可以借此研究在一个指定区域内多项式零点的个数问题.P263 Ex6.22 3.儒歇儒歇(Rouché)定理定理定理定理6.10(儒歇儒歇定理定理)说明说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 . 证证在在C内部解析内部解析 [证毕证毕] 例例6.23 设设 次多项式 满足条件 ,则 在单位圆 内有 个零点 证证例例 6.25 在圆内的零点数为在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为在圆内的零点数也为n 例例 对数留数对数留数.解解所以这些零点是二级零点所以这些零点是二级零点, 从而是从而是 f(z) 的二级极点的二级极点. 所以由对数留数公式得所以由对数留数公式得 例例 求方程求方程 在 内根的个数。
解 令 ，当 时， ， ，故已知方程在 内根的个数与 在 内零点个数相同，都是5个 思考题思考题 思考题答案思考题答案 只有一个根只有一个根.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 定理定理6.116.11 定理定理6.116.11=0 留数留数计算方法计算方法孤立奇点孤立奇点对数留数对数留数留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用辐辐角角原原理理路路西西原原理理 。