地震作用分析的振型分解反应谱法地震作用分析的振型分解反应谱法 1 基础知识基础知识 1.1 多自由度系统振型的正交性多自由度系统振型的正交性 多自由度体系动力学特征方程为 2[]{ }[]{ }KM 将上式分别对应到第 i 和第 j 阶振型，可得22[]{ }[]{ }[]{ }[]{ }iiijjjKMKM将上式分别左乘{ }Tj和{ }Ti，得到 222 j{ } []{ }{ } []{ }{ } []{ }{ } []{ }{ } []{ }{ } []{ }TT jiijiTTTT ijjijijjiKMKMKM两边转置注意到[K]和[M]为对称矩阵，故转置是成立的，于是有 22(){ } []{ }0T ijjiM 当ij的时候，ij，此时：{ } []{ }0()T jiMij 代入动力学特征方程又有：{ } []{ }0()T jiKij 以上结论说明多自由度系统关于刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]是正交的 1.2 地震反应谱地震反应谱 为便于求解地震作用， 将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期 T 的关系定义为地震加速度反 应谱，简称地震反应谱地震反应谱。
单自由度体系一般地面运动强迫振动（见单自由度受迫振动相关内容）的解由 Duhamel 积分可知 ()01( )( )sin()ntt gD Dx txetd 上式求二阶导()20( )( ){[1 () ]sin()2cos()}( )nttnn DgDDg DDx txettdxt，当nD时， ()0( )( )sin()( )ntt ngngx txetdxt 得到质点质点绝对加速度绝对加速度最大值最大值表达式 ()max0max( )( )( )( )sin()ntt agngnS Txtx txetd 其中2n nT 地震加速度反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系， 所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线 1.3 地震影响系数地震影响系数与地震反应谱的关系与地震反应谱的关系 ()()()anan nmS TS Ta TGg 具体涉及到设计反应谱的编制内容将另外撰文总结 2 质点质点 i 在任意时刻的在任意时刻的水平相对位移反应水平相对位移反应 由振型的正交性可知，1{ }、2{ }，……，{ }n相互独立，故体系的位移反应向量{ }x可表示成 1{ }{ }njj jxq 其中jq可理解为{ }x性空间{ }j下的坐标值，且jq是时间的函数。
有阻尼多自由度体系在地震作用下的运动方程如下 [ ]{ } [ ]{ } []{ }[]{1}gmxCxKxMx ，其中gx 为地面加速度 用振型向量表示，得 1([ ]{ }[ ]{ }[]{ }[]{1}njjjjjjg jmqCqKqMx 两边左乘{ }Ti得 1({ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } []{ }{ } []{1}n TTTT ijjijjijjig jmqCqKqMx 由振型向量的正交性，当振型关于阻尼矩阵也正交的时候，即{ } [ ]{ }0T ijCij，有 { } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } []{ }{ } []{1}TTTT iiiiiiiiiigmqCqKqMx (*) 由方程2{ } []{ }{ } []{ }TT iiiiiKM 可知2{ } []{ } { } []{ }T ii iT iiK M 如果令{ } [ ]{ }2{ } []{ }T ii iiT iiC M，{ } []{1} { } []{ }T i iT iiM M，(*)式可化简为 22iiiiiigqx 其中i称为第 i 阶振型的阻尼比阻尼比，而i称为第 i 阶振型的振型参与系数振型参与系数 由 Duhamel 积分可求以上 n 个独立的关于iq的微分方程的解为 ()01( )( )sin()iitt iigiD iDq txetd ，其中21iDini为第 i 阶振型的有阻尼固有频率有阻尼固有频率 注意到阻尼比为i，自振频率为in的单自由度体系在地震作用下的动力方程22iniingx 的解为 ()01( )sin()iintt gD Dxetd 由此可知，( )it实际是阻尼比为i，自振频率为i的单自由度体系在地震作用下的地震位移反应地震位移反应。
于是 ( )( )iiiq tt 多自由度体系地震位移反应的解为 11{ ( )}( ){ }{( )}nnjjjj jjx ttx t其中{( )}( ){ }jjjjx tt为体系第 j 阶振型的地震反应 质点 i 在第 j 阶振型下的水平相对位移为 ( )( )ijjjjix tt 3 质点质点 i 在任意时刻的在任意时刻的地震惯性力地震惯性力 i 质点在任意时刻的水平相对位移反应为 1( )( )nijjji jx tt求二阶到，可得任意时刻的水平相对加速度反应为 1( )( )nijjji jx tt 将单位向量表示为{ }i的线性组合，有 11{1}{ }{ } [ ]{1}{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }nn TTT iijijijjj iiamamam正交性{ } [ ]{1}{ } [ ]{ }T j jjT jjmam 所以11{1}{ }( )()( )nniigjjig ijxtxt 故质点 i 任意时刻的水平地震惯性力为 11[ ( )( )][( )( )]nniigijjijgji jjfm x txtmtxtf 其中jif为质点 i 的第 j 振型水平地震惯性力[( )( )]jiijjijgfmtxt 4 质点质点 i 的第的第 j 振型水平地震作用振型水平地震作用 质点质点 i 第第 j 振型水平地震作用振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即maxmax|||( )( )|jijiijjijgFfmtxt ( )( )jgtxt是自振频率为j，阻尼比为j的单自由度体系的地震绝对加速度反应，由地震反应谱的定义可知 ()( )( )ajjgS Ttxt 于是，可将质点 i 的第 j 振型水平地震作用表达为 ()jiijjiajFmS T 或者 jiijjjiFG 5 振型组合振型组合 由振型 j 各质点水平地震作用，按静力分析方法计算，可得体系振型 j 最大地震反应jS，从而估计特定体系最大地震反应 S，由 SRSS 法（另外整理）得估计方法为 2 jSS。