本溪县中2022-2023学年高三上学期9月第一次月考数学命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数的概念与基本初等函数；三角函数与解三角形；平面向量；复数；数列（数列的概念、等差数列、等比数列）；导数及其应用一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1.已知集合，，则（ ）A. B.C. D.2.设、均是复数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.则（ ）A. B. C. D.4.设公比为3的等比数列前项和为，且，则（ ）A.3 B.9 C.27 D.815.设、都是锐角，且，，则等于（ ）A. B. C.或 D.或6.若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.7.已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B.C. D.8.已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（ ）A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，计20分；错选得0分，漏选得2分）9.若向量，，下列结论正确的是（ ）A.若，同向，则B.与垂直的单位向量一定是C.若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则D.若与所成角为锐角，则的取值范围是10.下列命题中是真命题的是（ ）A.“”是“的最小正周期为”的必要不充分条件B.已知平面向量，的夹角为，，，则C.为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平行移动个单位长度D.函数是定义在上的偶函数且在上为减函数，，则不等式的解集为11.已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ）A. B.C. D.12.在中，角所对边长为，，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）A.若，则 B.若，则的外接圆半径是C. D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为3，，，则的值为________.14.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则________.15.已知函数在数上单调递增，且，则的最小值为________.16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时________.四、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，其余每小题满分12分，计70分）17.（10分）在等差数列中，已知，，（1）求此数列的通项公式；（2）若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.18.（12分）已知是自然对数的底数，实数是常数，函数的定义域为.（1）设，求函数的图象在点处的切线方程；（2）判断函数的单调性.19.（12分）某城市棚户区改造，四边形为撰写拆迁的棚户区，测得，，千米，千米，工程规划用地近似为图中四边形的外接圆内部区域.（Ⅰ）求四边形的外接圆半径；（Ⅱ）求该棚户区即四边形的面积的最大值.20.（12分）如图，在中，，，且点段上.（1）若，求的长；（2）若，，求的面积.21.（12分）在①函数；②函数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知________，函数的图像相邻两对称中心之间的距离为.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若，且，求的值.22.（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（2）当时，证明：.本溪县中2022-2023学年高三上学期9月第一次月考数学答案一、选择题1.C解：，，则，故选：C.2.B解：由、均是复数，知：“”推不出“”，比如：，，且，“”“”，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.D解：点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.可得.，则.故选：D.4.C解：根据题意，等比数列公比为3，且，即，则；故选：C.5.A解：∵为锐角，，∴，∵，且，∴①，且，∴，则.故选：A.6.C解：根据题意，若两个正实数，满足，变形可得，即，则有，当且仅当时等号成立，即的最小值为4，若不等式有解，必有，解可得或，即的取值范围为；故选：C.7.A解：当时，，，令，得，作图，由图可知，时，，即；当时，，，∴在上单调递减，∴，符合题意，综上所述，的解集为：，故选：A.8.A解：已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，则，由，得，∵，∴，则，过作轴于，则，，即周期，即，得，故选：A.9.AC解：∵，，若，同向，则，∴，得，，故A正确；∵，∴也是与垂直的单位向量，故B错误；∵在上的投影向量为，∴，则，解得，故C正确；∵与所成角为锐角，∴且，不同向，∴，解得，故D错误.故选：AC.10.BC解：因为的最小正周期为，所以，解得，所以“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件，故选项A是假命题；，选项B是真命题；只需把函数的图象向左平行移动个单位长度，即可得到函数的图象，故选项C是真命题；因为是上的偶函数且在上为减函数，又，所以，不等式可变形为，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选项D是假命题；故选：BC.11.ABC解：令，则对恒成立，∴在时单调递增.又由实数，满足，即，∴，故A、B选项错误；令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故C选项错误；令，则，此时单调递增，又∵，∴，∴，即，故D选项正确.故选：ABC.12.ABD解：对于A，时，在中，由余弦定理，所以，故A正确；对于B，若时，为等腰三角形，所以，所以在中，，由正弦定理，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，可得，当且仅当时，等号成立，故正确.故选ABD.二、主观题13.解：∵，，，∴由的面积为，得：，又∵，得，，∴由余弦定理得.14.256解：因为数列为等比数列，首项，数列满足，且，所以即，因为数列为等比数列，所以，所以，，则.15.5解：由题意，因为函数在上单调递增，所以恒成立，所以，所以，又因为，所以且，，则，而，根据对勾函数的性质，当时，的最小值是5.16.解：作交于，交于，且，设，则，，设，作交于，交于，∵，∴，，，∴，则，即，，∴.∵，∴当，即时，最大，也就是最长时，.故答案为：.17.解：（1）设的公差为，有.…………2分解得，，…………5分（2）依题意，………………6分.…………10分18.（1），，，，…………2分当时，函数的图象在点处的切线方程为.…………4分（2），.…………5分易知在上单调递增当时，，故在上单调递增；…………6分当时，由，得，…………7分当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增.…………9分综上，当时，在上单调递增；…………10分当时，在上单调递减，在上单调递增.…………12分19.解：（Ⅰ）由题得：在中，，，，由余弦定理得：，…………2分由正弦定理得：，所以.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由余弦定理得：，即：，…………8分所以，（当且仅当时等号成立），……9分而故.即四边形的面积的最大值为平方千米.……12分20.（1）解：∵，∴，则，…2分∵，解得，，……4分∵，∴，在中，由正弦定理可知得……6分（2）解：由得，……7分所以，因为，，所以，，……9分在中，由余弦定理得，即，得，所以，……11分.……12分21.解：若选条件①，……3分又函数的图像相邻两对称中心之间的距离为，∴，∴，……5分∴.令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，；……7分若选条件②，……3分即，又函数的图像相邻两对称中心之间的距离为，，∴，……5分∴.令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，；……7分【小问2详解】解：因为且，所以，所以，……8分，因为，所以，……9分所以，……10分所以……12分22.解：（1）由函数的定义域，因为，是的极值点，所以，所以，所以，……2分易知在上单调递增，……3分∴当时，；时，，此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，……5分（2）证明：当时，，……6分设，则，……7分易知在上单调递增，因为，，所以存在使得，……8分所以在上使得，在上，所以在单调递减，在上单调递增，所以……9分因为，即，所以，……10分所以，……11分因为，所以，所以.……12分。
