单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,,1.1,反比例函数,第,1,章 反比例函数,,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,九年级数学上（,XJ,）,教学课件,1.1 反比例函数第1章 反比例函数导入新课讲授新课当堂,1.,理解并掌握反比例函数的概念,. (,重点,),2.,从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知,条件确定反比例函数的解析式,. (,重点、难点,),,学习目标,1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)学习目标,？,？,导入新课,情境引入,,新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备,.,妈妈给了小明,30,元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？,,通过填表，你发现,x,，,y,之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？,20,15,12,10,6,4,？,？？导入新课情境引入 新学期伊始，小明想买一些,讲授新课,,,,反比例函数的概念,一,,下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式,.,合作探究,(,1,),京沪线铁路全程为,1463 km,，某次列车的平均速,度,v,(,单位：,km/h),随此次列车的全程运行时间,t,,(,单位：,h),的变化而变化；,讲授新课反比例函数的概念一 下列问题中，变量间,(,2,),某住宅小区要种植一块面积为,1000 m,2,,的矩形草,坪，草坪的长,y,(,单位：,m),随宽,x,(,单位：,m),的,变化而变化；,(,3,),已知北京市的总面积为,1.68,×,10,4,km,2,,，人均占,有面积,S,(km,2,/,人,),随全市总人口,n,(,单位：人,),的,变化而变化,.,(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草,,,观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？,问题：,都具有,,的形式，其中,,是常数．,分式,分子,(,k,为常数，,k,≠ 0),的函数，,叫做,反比例函数,，其中,x,是自变量，,y,,是函数,.,,一般地，形如,观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共,,反比例函数,(,k,≠,0),的自变量,x,的,取值范围,是什么？,思考：,,,因为,,x,作为分母，,不能等于零,，因此自变量,,x,的取值范围是,所有非零实数,.,,,但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量,的,取值范围,.,,例如，在前面得到的第一个解析式,中，,t,的取值范围是,t,＞,0,，且当,t,取每一个确定的,值时，,v,都有唯一确定的值与其对应,.,反比例函数 (k,,反比例函数除了可以用,(,k,≠,0),的形式表示，还有没有其他表达方式？,想一想：,反比例函数的三种表达方式：,(,注意,k,≠ 0,),反比例函数除了可以用,下列函数是不是反比例函数？若是，请指出,k,的值,.,,是,，,k,= 3,,,,,不是,不是,不是,练一练,是,，,下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.是，k =,解：因为 是反比例函数,,,所以,,,4,－,k,2,=0,，,k,－,2≠0.,,解得,k,=,－,2.,,,所以该反比例函数的解析式为,,方法总结：,已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程,(,组,),求解即可,.,例,1,,若函数 是反比例函数，求,k,的值，并写出该反比例函数的解析式,.,解：因为,1.,,已知函数 是反比例函数，则,,k,必须满足,,.,2.,,当,m=,,时， 是反比例函数,.,k≠,2,且,k≠,－,1,±,1,练一练,1. 已知函数,,,,确定反比例函数的解析式,二,例,2,,已知,y,是,x,的反比例函数，并且当,x,=2,时，,y,=6.,(,1,),写出,y,关于,x,的函数解析式；,提示：,因为,y,是,x,的反比例函数，所以设,.,把,x,=2,和,y,=6,代入上式，就可求出常数,k,的值,.,,解：设,.,因为当,x,=2,时，,y,=6,，所以有,,解得,k,=12.,,因此,确定反比例函数的解析式二例2 已知 y 是 x 的反比例函数,(,2,),当,x,=4,时，求,y,的值,.,解：把,x,=4,代入 ，得,方法总结：,用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，,②将已知条件,(,自变量与函数的对应值,),代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；,,④写出反比例函数解析式,.,(2) 当 x=4 时，求 y 的值.解：把 x=4 代入,练一练,已知变量,y,与,x,成反比例，且当,x,=3,时，,y,=,－,4.,(,1,),写出,y,关于,x,的函数解析式；,(,2,),当,y,=6,时，求,x,的值,.,,解：,(1),设,.,因为当,x,=3,时，,y,=,－,4,，所以有,,解得,k,=,－,12.,,因此,练一练已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－,(2),把,y,=6,代入 ，得,解得,x,=,－,2.,,(2) 把 y=6 代入 ，得解,例,3,：,在压力不变的情况下，某物体承受的压强,p,Pa,是它的受力面积,S,m,2,的反比例函数，如图,.,（,1,）求,p,与,S,之间的函数表达式；,（,2,）当,S,=0.5,时，求,p,的值,.,解：（,1,）设,,（,k,≠0,），,因为函数图象过点（,0.1,1000,）,,,代入上式，得,解得,k,=100.,所以,p,与,S,的函数表达式是 ；,,（,2,）,当,S,=0.5,时，,p,s,O,,0.1,1000,例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa是它的受力,,,,建立简单的反比例函数模型,三,例,4,,人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50,km/h,时，视野为 80 度，如果视野,f,(,度,),是车速,v,(km/h),的反比例函数，求,f,关于,v,的函数解析式，并计算当车速为100,km/h,时视野的度数,.,建立简单的反比例函数模型三例4 人的视觉机能受运动速度的影响,当,v,=100 时，,f,=40.,所以,当车速为100,km/h,时视野为,40,度,.,解：设,.,由题意知，当,v,=50,时，,f,=80,，所以,,解得,k,=4000.,,因此,当 v=100 时，f =40.解：设,,如图所示，已知菱形,ABCD,的面积为,180,，设它的两条对角线,AC,，,BD,的长分别为,x,，,y,.,写出变量,y,与,x,之间的关系式，并指出它是什么函数,.,,A,B,C,D,练一练,解,:,因为菱形的面积等于两条对角线长,乘积的一半，,所以,所以,变量,y,与,x,之间的关系式为,，,它是反比例函数,.,如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的,当堂练习,1.,,生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，,,x,和,y,成反比例函数关系的有,( ),,,①,x,人共饮水,10 kg,，平均每人饮水,,y,kg,；②底面半径为,,x,,m,，高为,,y,,m,的圆柱形水桶的体积为,10,,m,3,；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为,,x,,cm,，做成圆的半径为,,y,,cm,；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为,,x,，放满一桶水的时间,,y,,A,.,1,个,,B,.,2,个,,C,.,3,个,,D.,4,个,,B,当堂练习1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，,A.,,B.,,C.,,D.,2.,,下列函数中，,y,是,x,的反比例函数的是,( ),A,A.,3.,,填空,(,1,),若 是反比例函数，则,m,的取值范围,是,,.,(,2,),若 是反比例函数，则,m,的取值范,围是,,,.,(,3,),若 是反比例函数，则,m,的取值范围,是,,.,,,m,≠ 1,m,≠ 0,且,m,≠,－,2,m =,,－,1,3. 填空m ≠ 1m ≠ 0 且 m ≠ －2m = －1,4.,已知,y,与,x,+1,成反比例，并且当,x,= 3,时，,y,= 4.,(,1,),写出,y,关于,x,的函数解析式；,(,2,),当,x,= 7,时，求,y,的值．,解：,(1),设 ，因为当,x,= 3,时，,y,=4,，,所以有 ，解得,k,=,16,，因此,.,,(2),当,x,=,7,时，,4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时,5.,,小明家离学校,1000 m,，每天他往返于两地之间，有,时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速,度为,v,( m/min ),，所用的时间为,t,( min ),．,(,1,),求变量,v,和,t,之间的函数关系式；,,解：,,(,t,>0),．,5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有解,(,2,),小明星期二步行上学用了,25 min,，星期三骑自行,车上学用了,8 min,，那么他星期三上学时的平均,速度比星期二快多少？,125,－,40,＝,85 ( m/min ),．,答：他星期三上学时的平均速度比星期二快,85 m/min.,解：当,t,＝,25,时， ；,,当,t,＝,8,时，,.,(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行,能力提升：,6.,,已知,y,=,y,1,+,y,2,，,y,1,与,(,x,－,1),成正比例，,y,2,与,(,x,+ 1),,成反比例，当,x,= 0,时，,y,=,－,3,；当,x,=1,时，,y,=,－,1,，,求：,(,1,),y,关于,x,的关系式；,能力提升：6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1),解：设,y,1,=,k,1,(,x,－,1) (,k,1,≠0),，,(,k,2,≠0),，,则,.,∵,x,= 0,时，,y,=,－,3,；,x,=1,时，,y,=,－,1,，,－,3=,－,k,1,+,k,2,，,∴,k,1,=1,，,k,2,=,－,2.,∴,,∴,解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)，,(,2,),当,x,=,时，,y,的值,.,解：把,x,,=,代入,(1),中函数关系式，得,y,=,,(2) 当 x = 时，y 的值.解：把 x,课堂小结,建立反比例函数模型,用待定系数法求反比例函数解析式,,反比例函数：定义,/,三种表达方式,,,反比例函数,课堂小结建立反比例函数模型用待定系数法求反比例函数解析式 反,,1.2,反比例函数的图象与性质,第,1,章 反比例函数,,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,九年级数学上（,XJ,）,教学课件,第,1,课时 反比例函数 的图象与性质,1.2 反比例函数的图象与性质第1章 反比例函数导入新课,学习目标,1.,了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象．,2.,了解并学会应用反比例函数 图象的基本性质．,(,重点、难点,),学习目标1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的,导入新课,,我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？,,,写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？,复习引入,导入新课我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时,,,,反比例函数的图象和性质,一,讲授新课,例,1,,画反比例函数 与 的图象,.,合作探究,提示：,画函数的图象步骤一般分为：列表,→,描点,→,连线,.,需要注意的是在反比例函数中自变量,x,不能为,0.,反比例函数的图象和性质一讲授新课例1 画反比例函数,解：,列表如下：,－,1,－,1.2,－,1.5,－,2,－,3,－,6,6,3,2,1.5,1.2,1,－,2,－,2.4,－,3,－,4,－,6,6,4,3,2.4,2,解：列表如下：－1－1.2－1.5－2－3－66321.51,O,－,2,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．,5,6,x,,,,,,,,,,,,,,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,－,3,－,4,－,1,－,5,－,6,－,1,－,2,－,3,－,4,－,5,－,6,,连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可,得 的图象．,,,,,,,,,,,,,O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘,方法归纳,,,,绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为,曲线,，连线时应该尽量保证,线条自然，,图象是,延伸的,，注意不要画成有明,确端点．曲线的发展趋势,只能靠近,坐标轴,,,但,不能和坐标轴相交,．,,方法归纳 绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步,观察这两个函数图象，回答问题：,思考：,(1),每个函数图象分别位于哪些象限？,(2),在每一个象限内，随着,x,的增大，,y,如何变化？,你能由它们的解析式说明理由吗？,(3),对于反比例函数,(,k,＞,0),，考虑问题,(1)(2),，,你能得出同样的结论吗？,,观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分别,●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限,它们与,x,轴、,y,轴都不相交；,●在每个象限内，,y,随,x,的增大而减小,.,,反比例函数,(,k,＞,0),的,图象,和,性质,：,●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限反比例函数,1.,,反比例函数,,的图象大致是,(,),C,y,,,A.,x,y,o,B.,x,o,D.,,,x,y,o,,,C.,x,y,o,,,练一练,1. 反比例函数 的图象大致是,2.,已知反比例函数 的图象过点,(,－,2,，－,3),，函,数图象上有两点,A,(,，,y,1,),，,B,(5,，,y,2,),，则,y,1,与,y,2,,的大小关系为,( ),A.,y,1,>,y,2,B.,y,1,=,y,2,C.,y,1,<,y,2,D.,无法确定,C,提示：,由题可知反比例函数的解析式为 ，因为,6,＞,0,，且,A,，,B,两点均在该函数图象的第一象限部分，根据,>5,，可知,y,1,，,y,2,的大小关系,.,,,2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，,例,1,,已知反比例函数的图象经过点,A,(2,，,6).,(,1,),这个函数的图象位于哪些象限？,y,随,x,的增大如,何变化？,解：因为点,A,(2,，,6),在第一象限，所以这个函数的,图象位于第一、三象限；,在每一个象限内，,y,随,x,的增大而减小,.,例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).解：因为点,(,2,),点,B,(3,，,4),，,C,(,，,),，,D,(2,，,5),是否在这个,函数的图象上？,解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点,,A,(2,，,6),在其图象上，所以有 ，解得,k,=12.,,因为点,B,，,C,的坐标都满足该解析式，而点,D,的坐标不满足，所以点,B,，,C,在这个函数的图象上，点,D,,不在这个函数的图象上,.,,所以反比例函数的解析式为,.,(2) 点B(3，4)，C( ，,(,1,),图象的另一支位于哪个象限？常数,m,的取值范围,是什么？,O,x,y,,例,2,,如图，是反比例函数 图象的一支,.,根据图象，回答下列问题：,解：因为这个反比例函数图象的一,支位于第一象限，所以另一支,必位于第三象限,.,由因为这个函数图象位于第一、,三象限，所以,m,－,5,＞,0,，,解得,m,＞,5.,(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围Oxy,(,2,),在这个函数图象的某一支上任取点,A,(,x,1,，,y,1,),和,点,B,(,x,2,，,y,2,).,如果,x,1,＞,x,2,，那么,y,1,和,y,2,有怎样的,大小关系？,解：因为,m,－,5,＞,0,，所以在这个函数图象的任一支,上，,y,都随,x,的增大而减小，因此当,x,1,＞,x,2,时，,,y,1,＜,y,2,.,(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1),,2,．,已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则,m,的取值范围是,________.,,当堂练习,1.,,反比例函数 的图象在,( ),,A.,第一、二象限,B.,第一、三象限,C.,第二、三象限,D.,第二、四象限,,B,2．已知反比例函数 的图象在,3.,在反比例函数,(,k,>0),的图象上有两点,A,(,x,1,,,y,1,),，,,B,(,x,2,,,y,2,),且,x,1,>,x,2,>0,，则,y,1,-,y,2,的值为,( ),,A,．,正数,B,．,负数,,C,．非正数,D,．非负数,B,3.在反比例函数 (k>0)的图象上有两点A( x1 ,,4.,已知反比例函数,y,=,mx,m,²,－,5,，它的两个分支分别在,第一、第三象限，求,m,的值,.,解：因为反比例函数,y,=,mx,m,²,－,5,的两个分支分别在第,一、第三象限，,所以有,m,2,－,5=,－,1,，,m,＞,0,，,,解得,,m,=2.,4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别,5.,已知反比例函数,,的图象经过点,A,(2,，,3),．,(,1,),求这个函数的表达式；,,解：,∵,反比例函数,,的图象经过点,A,(2,，,3),，,∴ 把点,A,的坐标代入表达式，得 ，,,解得,k =,6.,∴ 这个函数的表达式为,.,,,5.已知反比例函数 的图象经过点 A (,(,2,),判断点,B,(,－,1,，,6),，,C,(3,，,2),是否在这个函数的,图象上，并说明理由；,,解：分别把点,B,，,C,的坐标代入反比例函数的解析,式，因为点,B,的坐标不满足该解析式，点,C,,的坐标满足该解析式，,所以点,B,不在该函数的图象上，点,C,在该函,数的图象上．,(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函,,(,3,),当 －,3<,x,<,－,1,时，求,y,的取值范围．,解：,∵,当,x,=,－,3,时，,y,=,－,2,；,当,x =,－,1,时，,y,=,－,6,，且,k,> 0,，,∴ 当,x,< 0,时，,y,随,x,的增大而减小，,∴ 当 －,3 <,x,<,－,1,时，－,6 <,y,<,－,2.,(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．,,性质：在每个象限内，,y,随,x,的增大而减小,图象：分别位于第一、三象限,课堂小结,图象的画法（描点法）：列表、描点、连线,性质：在每个象限内，y随x的增大而减小图象：分别位于第一、三,,1.2,反比例函数的图象与性质,第,1,章 反比例函数,,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,九年级数学上（,XJ,）,教学课件,第,2,课时 反比例函数 的图象与性质,1.2 反比例函数的图象与性质第1章 反比例函数导入新课,学习目标,1.,了解反比例函数 的相关性质,.,(,重点、难点）,2.,理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．,（重点、难点）,3.,利用双曲线的性质解决简单的数学问题．,学习目标1.了解反比例函数 的相关性质.,观察与思考,导入新课,,问题,,下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画．,观察与思考导入新课问题 下表是一个反比例函数的部分取值，,,,,反比例函数 图象与性质,一,讲授新课,问题：,如何画反比例函数 的图象？,解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为,列表,描点,连线,需要注意的是在反比例函数中自变量,x,不能为,0,．,解：列表如下,反比例函数 图象与性质一讲,描点：,以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．,连线：,用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象．,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,-6,-5,5,6,y,x,,,,,,,,,,,,,,y,=,,x,6,,O,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应,,,,,图象的画法与 图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象,所在的象限．,方法归纳,方法归纳,观察与思考,,当,k,=,－,2,，,－,4,，,－,6,时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数,(k,＞,0),的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数,,(k,＜,0),的图象和性质吗？,,观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，,,,y,x,O,,,y,x,O,,,y,x,O,yxOyxOyxO,反比例函数,(,k,＜,0),的,图象,和,性质,：,●由两条曲线组成，,且分别位于第二、四象限,它们与,x,轴、,y,轴都不相交；,●在每个象限内，,y,随,x,的增大而增大,.,,归纳：,,反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：,归纳：,,(1),当,k,> 0,时，双曲线的两支分别位于第一、三,象限，在每一象限内，,y,随,x,的增大而减小；,(2),当,k,< 0,时，双曲线的两支分别位于第二、四,象限，在每一象限内，,y,随,x,的增大而增大,.,,,一般地，反比例函数,的图象是双曲线，它具有以下性质：,,k,的正负决定反比例函数所在的象限和增减性,归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一,,点,(2,，,y,1,),和,(3,，,y,2,),在函数 上，则,y,1,,y,2,,(,填“,>,”“,<,”,或“,=,”,),.,<,练一练,点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1,例,1,：,反比例函数 的图象大致是（ ),y,,,A.,x,y,o,B.,x,o,,,D.,x,y,o,,,C.,x,y,o,,,典例精析,D,例1：反比例函数 的图象大致是（ ) yA.,例,2,：,若双曲线,y,=,的两个分支分别在第二、四象限，则,k,的取值范围是,( ),A.,k,＞,B.,k,＜,C.,k,= D.,不存在,解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有,2,k,-1,＜,0,，解得,k,＜,,.,故选,B,.,B,例2：若双曲线y = 的两个分支分别在,例,3,,已知反比例函数 ，,y,随,x,的增大而增大，求,a,的值,.,解：由题意得,a,2,+,a,－,7=,－,1,，且,a,－,1<0,．,解得,a=,－,3,.,例3 已知反比例函数,,,,双曲线的概念及性质,二,问题：,观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？,,,,,,x,y,x,y,双曲线,,是,轴对称,图形，也是,以原点为对称中心的,中,心对称,图形．,,O,O,双曲线的概念及性质二问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们,例,4,：,如图，已知直线,y=mx,与双曲线 的一个交点坐标为,(-1,3),，则它们的另一个交点坐标是,( ),A. (1,3) B. (3,1),C. (1,-3) D. (-1,3),,,x,y,C,O,例4：如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐,例,5,：,点,(2,，,y,1,),和,(3,，,y,2,),在函数 上，,则,y,1,,y,2,．（填“,>,”“,<,”,或“,=,”,）,<,解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且,y,随着自变量,x,的增大而增大，,故,y,1,<,y,2,．,例5：点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，<解,当堂练习,１．若反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则,k,的取值可能是,,( ),A. 1 B. 2,C. 3 D. 4,A,当堂练习１．若反比例函数 的图象分别位于第二、四,2.,在同一直角坐标系中，函数,y,= 2,x,与 的,图象大致是,( ),,,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,,,,,,,,,A.,B.,C.,D.,B,2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与,,3.,已知反比例函数 的图象在第一、三象,限内，则,m,的取值范围是,________.,,4.,,下列关于反比例函数 的图象的三个结论：,,(1),经过点,(,－,1,，,12),和点,(10,，－,1.2),；,,(2),在每一个象限内，,y,随,x,的增大而减小；,,(3),双曲线位于二、四象限,.,其中正确的是,,(,填序号,).,(1)(3),m,＞,2,3. 已知反比例函数 的图,5.,已知反比例函数的图象的一支如图所示．,(1),判断,k,是正数还是负数；,(2),求这个反比例函数的表达式；,(3),补画这个反比例函数图象的另一支．,解：,(1),因为反比例函数的图象在第二象限，所以,k,是负数．,5.已知反比例函数的图象的一支如图所示．解：(1)因为反比例,(2),设反比例函数的表达式为 将,(-4,，,2),代入,其,中，解得,k=-,8,，所以反比例函数的表达式为,:,(3),根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略．,(2)设反比例函数的表达式为 将(-4,6.,,已知反比例函数 的图象经过点,A,(2,，－,4).,(,1,),求,k,的值；,解：,∵,反比例函数,,的图象经过点,A,(2,，－,4),，,∴ 把点,A,的坐标代入表达式，得 ，,,解得,k,=,－,8.,6. 已知反比例函数 的图象经过点 A,(,2,),这个函数的图象分布在哪些象限？,y,随,x,的增大,如何变化,?,,解：,这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个,象限内，,y,随,x,的增大而增大,.,(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大解：,(,3,),画出该函数的图象；,,O,x,y,,,解：如图所示：,(3) 画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：,(,4,),点,,B,(1,，－,8),，,C (,－,3,，,5),是否在该函数的图象上？,因为点,B,的坐标满足该解析式，而点,C,的坐标,不满足该解析式，,所以点,B,在该函数的图象上，点,C,不在该函数,的图象上,.,,解：该反比例函数的解析式为,.,(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数,能力提升：,7.,,点,(,a,－,1,，,y,1,),，,(,a,＋,1,，,y,2,),在反比例函数,(k,＞,0),,的图象上，若,y,1,＜,y,2,，求,a,的取值范围,.,,解：由题意知，在图象的每一支上，,y,随,x,的增大而,减小,.,,① 当这两点在图象的同一支上时，,∵,y,1,＜,y,2,，∴,a,－1＞,a,+1， 无解；,②当这两点分别位于图象的两支上时，,∵,y,1,＜,y,2,，,∴,必有,y,1,＜,0,＜,y,2,.,∴,a,－1＜0，,a,+1＞0， 解得：－1＜,a,＜1,.,故,a,的取值范围为：－1＜,a,＜1．,能力提升：7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比,图象位于第一、三象限,,图象位于第二、四象限,在每个象限内，,y,随,x,的增大而减小,在每个象限内，,y,随,x,的增大而增大,,课堂小结,图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限在每个象限内，y 随,,1.2,反比例函数的图象与性质,第,1,章 反比例函数,,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,九年级数学上（,XJ,）,教学课件,第,3,课时 反比例函数图象与性质的综合应用,1.2 反比例函数的图象与性质第1章 反比例函数导入新课,学习目标,1.,理解反比例函数的系数,k,的几何意义，并将其灵活,运用于坐标系中图形的面积计算中,. (,重点、难点,),2.,能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题,.,,(,重,,点、难点),3.,体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想,方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运,用能力. (重点、难点),学习目标1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵,导入新课,,反比例函数的图象是什么？,反比例函数的性质与,k,有怎样的关系？,反比例函数的图,象,是双曲线,,当,k,> 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，,在每个象限内，,y,随,x,的增大而减小；,,当,k,< 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，,y,随,x,的增大而增大,.,复习引入,问题,1,,,问题,2,,,导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有,,,,反比例函数解析式中,k,的几何意义,一,1.,在反比例函数 的图象上分别取点,P,，,Q,向,,x,轴、,y,轴作垂线，围成面积,分别,为,S,1,，,S,2,的矩形，,填写下页表格：,,合作探究,反比例函数解析式中 k 的几何意义一1. 在反比例函数,5,1,2,3,4,－,1,5,x,,y,O,P,S,1,,,S,2,,,4,,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,k,－,5,－,4,－,3,－,2,1,4,3,2,－,3,－,2,－,4,－,5,－,1,,Q,51234－15xyOPS1 S2 4 4S1=S2,2.,,若在反比例函数 中也,用同样的方法分别取,P,，,Q,两点，填写表格：,4,,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,－,k,y,x,O,,,P,Q,S,1,,,S,2,2. 若在反比例函数 中也4 4S,由前面的探究过程，可以猜想：,,若点,P,是 图象上的任意一点,，作,P,A,垂直于,x,轴，作,P,B,垂直于,y,轴，矩形,AOB,P,的面积与,k,的关系是,S,矩形,AOB,P,=,|,k,|,.,由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是,,y,x,O,,,P,S,我们就,k,< 0,的情况给出证明：,设点,P,的坐标为,(,a,，,b,),A,B,∵,点,P,(,a,，,b,),在函数 的图,象上，,∴,，即,ab=k,.,∴,S,矩形,AOB,P,=,PB,·,PA=,－,a,·,b=,－,ab=,－,k,；,若点,P,,在第二象限，则,a,<0,，,b,>0,，,若点,P,在第四象限，则,a,>0,，,b,<0,，,∴,S,矩形,AOB,P,=,PB,·,PA,=a,·,(,－,b,),=,－,ab=,－,k,.,,B,P,A,综上，,S,矩形,AOB,P,=,|,k,|.,自己尝试证明,,k,> 0,的情况,.,yxOPS我们就 k < 0 的情况给出证明：设点 P 的坐,,点,Q,是其图象上的任意一,点，作,QA,垂直于,y,轴，作,,QB,垂直于,x,轴，矩形,AOBQ,,的面积与,k,的关系是,,S,矩形,AOBQ,=,.,推理：△,QAO,与△,QBO,的,面积和,k,的关系是,S,△,QAO,=,S,△QBO,=,.,Q,,对于反比例函数,，,A,B,|,k,|,y,x,O,,,归纳：,反比例函数的,面积不变性,点 Q 是其图象上的任意一Q对于反比例函数,A.,SA,>,SB,>,SC,B.,SA,<,SB,<,SC,C.,SA,=,SB,=,SC,D.,SA,<,SC,<,SB,,1.,如图，在函数 (,x,＞0)的图像上有三点,A,，,B,，,,C,，过这三点分别向,x,轴、,y,轴作垂线，过每一点,所作的两条垂线与,x,轴、,y,轴围成的矩形的面积分,别为,SA,，,SB,，,SC,，,则,( ),y,x,O,,A,B,C,C,练一练,A. SA >SB>SC B. SA0,),图像上的任意两点，过点,P,作,x,轴的垂线,PA,，垂足为,A,，过点,C,作,x,轴的,垂线,CD,，垂足为,D,，连接,OC,交,PA,于点,E,.,设 △,POA,的面积,为,S,1,，则,S,1,=,,；梯形,CEAD,的面积为,S,2,，则,S,1,与,S,2,的大小,关系是,S,1,,S,2,；△,POE,的面,积,S,3,和,S,2,的大小关系是S,2,,S,3,.,典例精析,2,,S,1,,S,2,,＞,＝,,S,3,例1 如图，P，C是函数 (x>0),,,,如图所示，直线与双曲线交于,A,，,B,两点，,P,是,AB,上的点，△,AOC,的面积,S,1,、,△,BOD,的面积 S,2,、,△,POE,的面积,S,3,的大小关系为,,.,,,S,1,=,S,2,<,S,3,练一练,解析：由,反比例函数面积的不变,性易知,S,1,=,S,2,.,PE,与双曲线的一,支交于点,F,，连接,OF,，易知，,S,△,OFE,,=,S,1,=,S,2,，而,S,3,＞,S,△,OFE,，,所以,S,1,，,S,2,，,S,3,的大小关系为,S,1,=,S,2,<,S,3,,,,F,S,1,S,2,S,3,,,如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P,y,D,B,,,A,C,x,例,2,,如图，点,A,是反比例函数 (,x,＞0)的图象上,任意一点，,AB,//,x,轴交反比例函数,(,x,＜,0),的图象于点,B,，以,AB,为边作平行四边形,ABCD,，其中,点,C,，,D,在,x,轴上，则,S,平行四边形,ABCD,=,___,.,,,,,3,2,5,yDBACx例2 如图，点 A 是反比例函数,,如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与,x,轴平行，且直线分别与反比例函数 (,x,＞0) 和,(,x,＜0),的图象交于点,P,，,Q,，若△,POQ,的面积为 8，则,k,=______,.,,Q,P,O,x,M,,,y,－,10,练一练,如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与,,,例,3,,如图所示，点,A,(,x,1,，,y,1,)，,B,(,x,2,，,y,2,)都在双曲线,上，且,x,2,－,x,1,= 4，,y,1,－,y,2,=2,.,分别过点,A,，,B,向,x,轴、,y,轴作垂线，垂足分别为,C,，,D,，,E,，,F,，,AC,与,BF,相交于,G,点，四边形,FOCG,的面积为 2，五边形,AEODB,的面积为 14，那么双曲线的解析式,为,,.,解得,k,= 6.,∴,双曲线的解析式为,.,解析：,∵,x,2,－,x,1,= 4，,y,1,－,y,2,=2，,∴,BG,= 4,，,AG,=5,，,∴,S,△,ABG,=4,×,5,÷,2=10.,由,反比例函数面积的不变,性可知，,S,长方形,ACOE,=,S,长方形,BDOF,=,k,.,∴,S,五边形,AEODB,,=,,S,四边形,ACOE,+,S,四边形,BDOF,－,S,四边形,F,O,CG,+,S,△ABG,=,k,+,k,－,2+4=14.,,,,,,,例3 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双,,如图，已知点,A,，,B,在双曲线 上，,AC,⊥,x,轴于,点,C,，,BD,⊥,y,轴于点,D,，,AC,与,BD,交于点,P,，,P,是,AC,的中点，若△,ABP,的面积为6，则,k,=,,.,24,练一练,E,F,解析：作,AE,⊥,y,轴于点,E,，,BF,⊥,x,,轴于点,F,.,∵,P,,是,AC,的中点，,∴,S,四边形,OCPD,=,S,四边形,ACOE,=,S,四边形,BDOF,,=,k,，,,,,S,△,ABP,=,S,四边形,BFCP,，,= (,S,四边形,BDOF,－,S,四边形,OCPD,),= (,k,－,k,)=,k,= 6.,∴,k,=24.,,,,如图，已知点 A，B 在双曲线,,,,反比例函数与一次函数的综合,二,,在同一坐标系中，函数 和,y= k,2,x+b,的图象大致如下，则,k,1,,、,k,2,、,b,各应满足什么条件？,,,k,2,>0,b,>0,k,1,>0,k,2,>0,b,<0,k,1,>0,合作探究,①,,,x,y,O,,,x,y,O,②,反比例函数与一次函数的综合二 在同一坐标系中，,,k,2,<0,b,<0,k,1,<0,k,2,<0,b,>0,③,,,x,y,O,k,1,>0,④,,,x,y,O,k2 0④xyO,,例,4,,函数,y,=,kx,－,k,与 的图象大致是,( ),,,,,D.,x,y,O,,,C.,y,,,A.,y,x,,B.,x,y,O,D,,O,O,k,＜,0,k,＞,0,×,×,×,√,k,＞,0,k,＜,0,由一次函数增减性得,k,＞,0,由一次函数与,y,轴交点知,－,k,＞,0,，,则,k,＜,0,,x,提示：,由于两个函数解析式都含有相同的系数,k,，可对,k,的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案,.,,例4 函数 y=kx－k 与,,在同一直角坐标系中，函数,与,y,=,ax,+1,(,a,≠0),的图象可能是,( ),,,,A.,y,x,O,,,B.,y,x,O,,,C.,y,x,O,,,D.,y,x,O,B,练一练,在同一直角坐标系中，函数,例,5,,如图是一次函数,y,1,=,kx,+,b,和反比例函数 的图象，观察图象，当,y,1,﹥,y,2,时，,x,的取值范围为,,,.,,－,2,3,,y,x,0,,－,2<,x,<0,或,x,>3,解析：,y,1,﹥,y,2,即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时,.,观察右图，可知－,2<,x,<0,或,x,>3.,,,,方法总结：,对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了,.,例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数,练一练,,如图，一次函数,y,1,=,k,1,x,+,b,,(,k,1,≠0,),的图象与反比例函数,的图象交于,A,，,B,两点，观察图象，当,y,1,＞,y,2,时，,x,的取值范围是,,．,,,－,1,2,,y,x,0,A,,B,,,－,1<,x,<0,或,x,>2,,,,练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b,例,6,,已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点,P,(,－,3,，,4),.,试求出它们的解析式，并画出图象,.,由于这两个函数的图象交于点,P,(,－,3,，,4),，则点,P,(,－,3,，,4),是这两个函数图象上的点， 即点,P,的坐标分别满足这两个解析式,.,,解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为,,y,=,k,1,x,和,.,,所以 ，,.,解得 ，,.,例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (,P,则这两个函数的解析式分别为 和 ，,它们的图象如图所示,.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,想一想：,P则这两个函数的解析式分别为 和,,反比例函数 的图象与正比例函数,y,= 3,x,的图象的交点坐标为,,．,(2,，,6),，,(,－,2,，－,6),解析：,联立两个函数解析式，解方程即可,.,,练一练,反比例函数 的图象与正,例,7,,已知,A,(,－,4,，,),，,B,(,－,1,，,2),是一次函数,y,=,kx,+,b,与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数,解析式及,m,的值,.,,解：把,A,(,－,4,，,),，,B,(,－,1,，,2),代入,y,=,kx,+,b,中，得,－,4,k,+,b,=,，,－,k,+,b,=2,，,,k,=,，,解得,b,=,，,,所以一次函数的解析式为,y,=,x,+ .,,例7 已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数 y,把,B,(,－,1,，,2),代入 中，得,m,=,－,1,×,2=,－,2.,,把 B (－1，2)代入 中，得 m,当堂练习,A. 4 B. 2,C.,－,2 D.,不确定,1,.,如图所示，,P,是反比例函数 的图象上一点，,过点,P,作,PB,,⊥,x,轴于点,B,，点,A,在,y,轴上，,△,ABP,的面积为 2，则,k,的值为,( ),,O,B,A,,P,x,y,A,当堂练习A. 4 B. 2,2.,如图，函数,y,＝－,x,与函数 的图象相交于,A,，,B,两点，过点,A,，,B,分别作,y,轴的垂线，垂足分别,为,C,，,D,，则四边形,ACBD,的面积为 ( ),A,.,2 B,.,4,C,.,6 D,.,8,D,,y,x,O,,C,A,,,B,D,2. 如图，函数 y＝－x 与函数,3.,反比例函数 的图象与一次函数,y,= 2,x,+1 的,图象的一个交点是 (1，,k,)，则反比例函数的解析,式是_______．,,3. 反比例函数 的图象与一次函数 y,4.,如图，直线,y,=,k,1,x,+,b,与反比例函数,(,x,＞,0),交于,A,，,B,两点，其横坐标分别为1和5，则不等式,k,1,x,+,b,＞ 的解集是___________．,1,＜,x,＜,5,O,B,A,,x,y,1,5,4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数,,,x,y,O,B,A,5,.,如图，直线,y,=,a,x,+,b,与双曲线 交于两点,A,(1,，,2),，,B,(,m,，,4),两点，,(,1,),求直线与双曲线的解析式；,,所以,一次函数的解析式为,y,= 4,x,－,2.,,把,A,，,B,两点坐标代入一次函数解析式中，得到,a,=4,，,b,=,－,2.,解：把,B,(1,，,2),代入双曲线解析式中，,得,k,= 2,，故其解析式为,.,当,y,=,－,4,时，,m,= .,,xyOBA5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线,(,2,),求不等式,a,x,+,b,＞ 的解集,.,,,,,x,y,O,B,A,解：根据图象可知，若,,a,x,+,b,＞ ，,则,x,＞,1,或 ＜,x,＜,0.,(2) 求不等式 ax + b＞ 的解集.,6,.,如图，反比例函数 与一次函数,y,=－,x,+,2,,的图象交于,A,，,B,两点,.,(,1,),求,A,，,B,两点的坐标；,,,,A,y,O,B,x,解：,y,=,－,x,+ 2,,，,,解得,x,= 4,，,y,=,－,2,,,所以,A,(,－,2,，,4),，,B,(4,，－,2),.,,或,x,=,－,2,，,y,= 4.,,,6. 如图，反比例函数 与一次函数,作,AC,⊥,x,轴于,C,，,BD,⊥,x,轴于,D,，,则,AC,=4,，,BD,=2.,(,2,),求△,AOB,的面积,.,解：一次函数与,x,轴的交点为,M,(2,，,0),，,∴,OM,=2.,,O,,A,y,B,x,M,C,D,∴,S,△,OMB,=,OM,·,BD,÷,2=2,×,2,÷,2=2,，,∴,S,△,OMA,=,OM,·,AC,÷,2=2,×,4,÷,2=4,，,∴,S,△,AOB,=,S,△,OMB,+,S,△,OMA,=2+4=6.,作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， (2) 求△AOB的面积,课堂小结,面积问题,面积不变性,与一次函数的综合,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意,b,的正负,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的,中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称,反比例函数图象和性质的综合运用,,,课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一,,1.3,反比例函数的应用,第,1,章 反比例函数,,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,九年级数学上（,XJ,）,教学课件,1.3 反比例函数的应用第1章 反比例函数导入新课讲授新,学习目标,1.,体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，,提高运用代数方法解决问题的能力.,2.,,能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反,比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图,象、性质的综合能。