双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例与欧几里德几何 的差别在于第五条公理（公设）一平行公设在欧几里德几何中，若平面上有一条直线R和线外 的一点P,则存在唯一的一条线满足通过P点且不与R相交（即R的平行线）但在双曲几何 中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与R相交，因此他违反了平行公设然 而，取代欧几里德几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的 定理，这也说明了平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得平行公设到目前为止，数学家对双曲几何中平行线的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义在 此，我们定义两条逐渐靠近的线为渐进线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线， 它们互相超平行，并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行双曲几何还有一项性质， 就是三角形的内角和小于一个平角（180在极端的情况，三角形的三边长趋近于无限，而三 内角趋近于0此时该三角形称作理想三角形双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有几多可以适用，以及会有什么特别不相交的线已知在双曲几何上，至少有两条直线满足过P点平行直线R。
接着在R上取一点B使得PB垂直 R于B点，设在所有满足过P点且不与R相交的直线中，存在一条直线x与PB的逆时针方向夹 角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与PB的逆时针夹角小于x与PB的逆时针夹角，则 必与R相交，并定义x为R的渐近线同理，若存在另一条直线y与PB的顺时针方向夹角比其 他直线都来的小，则y为R的另一条渐进线并且，在所有满足过P点且不与R相交的直线中， 唯有x与y是R的渐近线，其余的我们称之为R的超平行线由于满足小于90且大于x与PB 的夹角0的角度有无线多个，每个角度皆可引出两条R的超平行线，因此R有无线多条超平行线因此，对于平面上一条直线R以及线外的一点P,恰能引出两条直线过P且渐近于R,以及无限 多条直线过P超平行于R此外，渐进线和超平行线的差别还有：不论往线的哪端延伸，两条超平行线之间的距离皆会趋近 于无限；但两条件渐近之间的距离则会在一端趋近于零，在另一端趋近无限从而，在双曲几何 中有一定理超平行线定理：对于任两条超平行线存在唯一一条线同时垂直于这两条线对双曲平面上的一条直线R,作线段BP垂直R于B点，且线段BP的长度等于一个给定的值p, 则定义两条R的过P点的渐近线与线段BP的夹角0为p的渐近角(Angle of parallelism)，通 常记为n(p)。
因此有lim n(p) = lim II(p) = 0以及厂■■- '于是，随着线段长度的缩小，双曲几何的性质会越来越像欧几里得几何事实上，对任一个1双曲几何定义一个定值K-高斯曲率，借由线段长度与“ 人的比值，我们可以知道该平面 的性质与欧几里得几何的相似度三角形在双曲几何中，线段长度的定义为两点的最短距离除以 ，K-高斯曲率，正如同在球面几何中的长度为其圆心角弧度(最短距离除以曲率)，有了长度的定义后，我们可 以给出双曲几何中的勾股定理：若一直角三角形的两股长分别为a和b,斜边为c,则cosli c = cosh a cosh b在此，cosh指的是双曲余弦函数在双曲几何中，许多双曲三角学公式与欧几里得几何十分相像，大抵上双曲几何中的长度需 带入双曲函数例如双曲几何中的正弦定律为：sin A _ sinB _ sinCsinh d sinh b sinhc不同于欧几里得几何，双曲几何中三角形的内角和必小于n(180°),故称其内角和与n的差7为该三角形的角亏，则该三角形的面积等于该三角形的角亏成以R2,而 ：—…故所有三角形的面积均小于等于nR2，且等号成立当且仅当该三角形为理想三角形圆与球［编辑］1以下的圆或求半径皆为r，并且K代表高斯曲率，R代表"一凡双曲几何中圆的周长为2?r/?smli $Ji.歯 ?n-l- 1n=w 'Sb -r丄丿・因为sinh x的泰勒展开式为sinh工己 工§ 工了H —I— —I— —I— —I— ■ - ■十3!十5!十7!十x>O,s inh x>x厂 r故圆的周长必小于2nr。
27r/?2fcosh 丄一1）圆的面积则是 汀 "o4k J?2 sinli2 二 .2球的表面积为 V，必小于欧几里得几何的■■- ?2rsinh — — 2幵疋r球的体积为在n度空间中，定义Q_n是n维立体角，满足在此，「（n）是「函数则n-1维球面（在n度空间中）的测度是 ：-爲甲一1 f sinli^-1 ^-ds n维球（在n度空间中）的测度则是 '■ ■-罗式几何此图为一三角形于一双曲抛物面上，另外右下方有两条在欧式几何中应平行的分流线罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分散直线在其唯一公垂线 两侧无限远离几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替, 其他公理基本相同由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同 的新的几何命题我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理因此，凡是不涉及 到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的在欧 式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义 下面举几个例子加以说明：•欧式几何：• 同一直线的垂线和斜线相交。
• 垂直于同一直线的两条直线互相平行• 存在相似的多边形• 过不在同一直线上的三点可以作且仅能作一个圆•罗式几何• 同一直线的垂线和斜线不一定相交• 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷• 不存在相似的多边形• 过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾 所以罗式几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受但是，数学家们经过研究， 提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的1868年，意大利数学家贝尔特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧 几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现这就是说，非欧几何命题可以翻 译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了直到这时， 长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性 研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为'几何学中的哥白 尼”。