绝对值大全零点分段法、化简、最值

. - . -可修编. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键 1 利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x|=(0)(0)x xx x，有|x|c(0)0(0)(0)xcxc cxcxR c 或 2 利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|axb|>c(c>0)可为axb>c或axb<－c；|axb|

3 利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值 X 围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点 4 利用零点分段法去掉绝对值符号  . - . -可修编. 所谓零点分段法，是指：若数1x，2x，……，nx分别使含有|x－1x|，|x－2x|，……，|x－nx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，……，nx为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，nx将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化 5 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)类型不等式对||||axbcxdm(或

其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： （ 一）、要理解数 a 的绝对值的定义 在中学数学教科书中，数 a 的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值学习这个定义应让学生理解，数 a 的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数 a 本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数 （二）、要弄清楚怎样去求数 a 的绝对值 从数 a 的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零在这里要让学生重点理解的是，当 a 是一个负数时，怎样去表示 a 的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）  . - . -可修编. （三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的 3 个性质，判断出 a 的 3 种情况，便能快速去掉绝对值符号 当 a>0 时， ︱a︱=a (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； 当 a=0 时， ︱a︱=0 (性质 2：0 的绝对值是 0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质 3：负数的绝对值是它的相反数) 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把 a+b 看作是一个整体，再判断 a+b 的 3 种情况，根据绝对值的 3 个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简 当 a+b>0 时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； 当 a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0 的绝对值是 0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质 3：负数的绝对值是它的相反数) 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把 a-b 看作一个整体，判断出 a-b 的 3 种情况，根据绝对值的 3 个性质，去掉绝对值符号进行化简 但在去括号时最容易出现错误。

如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出 a 与 b 的大小即可（不论正负）因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当 a>b 时， ︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小 4、对于数轴型的一类问题， 根据 3 的口诀来化简，更快捷有效如︱a-b︱的一类问题，只要判断出 a 在 b 的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！  . - . -可修编. 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算 万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与 0 比较，大于 0 直接去绝对值号，小于 0 的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习 （1） 设 化简 的结果是（ B ） （A） （B） （C） （D） (2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ C ） （A） （B） （C） （D） (3) 已知 ，化简 的结果是 x-8 (4) 已知，化简 的结果是 -x+8 (5) 已知，化简 的结果是 -3x (6) 已知a、b、c、d满足 且 ，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成） (7) 若 ，则有（ A ） （A） （B） （C） （D） (8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子 化简结果为（ C ）． （A） （B） （C） （D） (9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子， 中负数的个数是（B ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3  . - . -可修编. (10) 化简 = (1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2) (11) 设x是实数， 下列四个结论中正确的是（ D ）。

（A）y没有最小值 （B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值 五、绝对值培优教案 绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手： l．绝对值的代数意义：)0()0(0)0(aaaaaa 2．绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负) ； ba表示数a、数b的两点间的距离． 3．绝对值基本性质 ①非负性：0a；②baab；③)0( bbaba；④222aaa． 培优讲解 （一）、绝对值的非负性问题 【例 1】若3150xyz ，则xyz 总结：若干非负数之和为 0， （二）、绝对值中的整体思想 【例 2】已知4, 5ba，且abba，那么ba =． 变式 1. 若|m－1|=m－1，则 m_______1; 若|m－1|>m－1，则 m_______1;  . - . -可修编. （三）、绝对值相关化简问题（零点分段法） 【例 3】阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21xx时，可令01 x和02 x，分别求得2, 1xx（称2 , 1分别为1x与2x的零点值）。

在有理数 X 围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： （1）当1x时，原式= 1221xxx; （2）当21x时，原式=321xx； （3）当2x时，原式=1221xxx 综上讨论，原式=221112312xxxxx 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1） 分别求出2x和4x的零点值；（2）化简代数式42xx 变式 1.化简 (1)12 x； (2)31xx； 变式 2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求ba 的值  . - . -可修编. （四）、ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离． 【例 4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与2，3 与 5，2与6，4与 3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___. （2）若数轴上的点 A 表示的数为x，点 B 表示的数为―1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 ______________. （3）结合数轴求得23xx的最小值为，取得最小值时x的取值 X 围为 ___. （4） 满足341xx的x的取值 X 围为 ______ . （5） 若1232008xxxx的值为常数，试求x的取值 X 围． （五）、绝对值的最值问题 【例 5】（1）当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，25 x有最大值？这个最大值是多少？（3）求54xx的最小值。

4）求987xxx的最小值 【例 6】．已知1, 1yx，设421xyyyxM，求 M 的最大值与最小值． 课后练习：  . - . -可修编. 1、若|1|ab 与2(1)ab互为相反数，求321ab的值 2．若1ba与2) 1(ba互为相反数，则a与b的大小关系是( )． A．ba  B．ba  C．ba  D．ba  3．已知数轴上的三点 A、B、C 分别表示有理数a，1，一 l，那么1a表示( )． A．A、B 两点的距离 B．A、C 两点的距离 C．A、B 两点到原点的距离之和 D． A、C 两点到原点的距离之和 4.利用数轴分析23xx，可以看出，这个式子表示的是x到 2 的距离与x到3的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当x 时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；⑵当x时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；⑶当x 时，发现，无论x在这个 X 围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，23xx有最小值，即等于 到的距离 5. 利用数轴分析71xx，这个式子表示的是x到7的距离与x到 1 的距离之差它表示两条线段相减：⑴当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；⑵当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ； ⑶当x时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零 因此，总结，式子71xx当x时，有最大值 ；当x时，有最小值； 9．设0cba，0abc，则cbabacacb的值是（ ）． A．-3 B．1 C．3 或-1 D．-3 或 1 10．若2x，则x11 ；若aa，则21aa ． 12．设cba、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且cba，则accbba可能取得的最大值是 ． 4、当 b 为______时，5-12 b有最大值，最大值是_______ 当 a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________. 5、当 a 为_____时，3＋|2a－1 |有最小值是________；当 b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.  . - . -可修编. 2、已知 b 为正整数，且 a、b 满足| 2a－4|＋b＝1，求 a、b 的值。

7.化简：⑴13xx ； ⑵213xx  4、如果 2x＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4 恒为常数，求 x 的取值 X 围 7、若|5||2| 7xx，求x的取值 X 围。