高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题1．转化有等价转化与非等价转化等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解二．命题趋势数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点预测高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题三．例题点评题型1：集合问题例1．（2004年全国高考试题卷III）设集合，，则集合中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（2004年全国高考题卷I）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ） 解析：（1）将集合中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆与抛物线交点的个数。
因此在同一坐标系内作出圆和抛物线的图象，观察可得选B；（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B项不正确，故应选B点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决题型2：函数问题例2．（1）已知函数α,β满足，求的值；（2）关于x的方程在［0，π］内有解，求a的取值范围解析：（1）构造函数则有又在R上是单调递增的奇函数，且故2）分析：此题就直接解三角方程再确定a的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求在的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快得到了a的取值范围是点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的题型3：不等式问题例3．（1）已知a，b，，且，求证：；（2）已知，，且，求证：解析：（1）分析1：，的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题图1 证法1：如图1，设A（b，a），B（-m，-m），其中因为，则直线OA的斜率： 直线AB的斜率： 因为B在第三象限的角平分线上，所以AB必与x轴正半轴相交，且有 所以，即 分析2：，的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来解题。
图2 证法2：如图2，在和，，，，作CE//BD交DF于E因为，所以（斜边大于直角边）（2）令，因为，当时，，所以在（0，1）上是减函数又，所以，即所以即原不等式成立点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果由联想而引发的构造称之为联想构造题型4：三角问题例4．（1）已知，且，求证：； 证明：设，其中 则 原不等式得证点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决2）若，则（ ） A． B． C． D． 解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了 因为 又因为 所以，所以 又因为，所以故选（A）点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题题型5：数列问题例5．等差数列的前n项的和为，且，，求解析：显然公差，所以是n的二次函数且无常数项于是设，，则，解得所以，从而点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。
数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数如等差数列的通项公式，前n项的和公式当时，可以看作自变量n的一次和二次函数因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识题型6：立体几何问题例6．（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD •PA=•BC·ED·PA=点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。
求证：SC垂直于截面MAB83年全国高考）分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，∴ AB⊥SC∵ AB⊥SC、AB⊥CD∴ AB⊥平面SDNC∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角由已知得∠MDC＝∠NSC又∵ ∠DCM＝∠SCN∴ △DCM≌△SCM∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠即 SC⊥DM所以SC⊥截面MAB点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识题型7：解析几何问题例7．（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题其中要注意隐含条件，即x的范围解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3由0≤x≤2得k∈[0,4]所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力此题还可以利用均值换元法进行解答各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型2）（2005全国卷Ⅰ（理）第15题）：DABC的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为H，＝m（＋＋），则实数m＝＿＿＿＿分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设DABC是以∠A为直角的直角三角形，则为斜边BC上的中点，H与A重合，＋＋＝＝，于是得出m＝1点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。
题型8：具体、抽象问题例8．（2004浙江卷（理）第12题）：若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（ ）（A）x2＋x－ （B） x2＋x＋ （C）x2－ （D）x2＋分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归题型9：正难则反转化问题例9．（2005全国卷Ⅱ第15题）：在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。
注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5用间接法所有四位数有×＝300个，末位为0时有＝60个，末位为5时有×＝48个，∴满足题意的数共有30。